2025-2026学年内蒙古区通辽市科尔沁左翼中旗九年级上学期10月月考数学试题

这是一份2025-2026学年内蒙古区通辽市科尔沁左翼中旗九年级上学期10月月考数学试题，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．抛物线y＝3（x﹣2）2+5的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，5）B．（﹣2，﹣5）C．（2，5）D．（2，﹣5）
3．方程经过配方后，其结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列关于抛物线的说法正确的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．顶点坐标为
C．在对称轴的右侧，随的增大而增大
D．抛物线与轴有两个交点
5．有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，对于甲、乙、丙三人的说法，下列判断正确的是（ ）
甲：第1轮后有个人患了流感；乙：第2轮又增加个人患流感；丙：依题意可列方程
A．甲错，丙对B．甲对，乙错C．甲对，丙错D．乙和丙都对
6．一元二次方程的根的情况是（ ）．
A．没有实数根B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
7．已知，点，，在二次函数图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
8．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可以是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．设，是一元二次方程的两个根，则 ．
10．将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为
11．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是 ．
12．如图，抛物线的对称轴是直线，且抛物线经过点，下面给出了四个结论：①；②抛物线与轴的另一个交点是；③；④，你认为其中正确的是 ．（填序号）
三、解答题
13．解方程：
(1)；
(2)
14．已知二次函数．
(1)将化成的形式；
(2)求出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标．
15．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)设是方程的两个实根，是否存在值使，若存在，求出值，若不存在，请说明理由．
(3)若方程两实数根为，且满足，求实数的值．
16．某水果商场经销一种水果，原价每千克50元．
(1)若连续两次降价后每千克32元，且每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率；
(2)若每千克盈利10元，每天可售出1000千克，经调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少40千克，现该商场要求每天盈利12000元，那么每千克应涨价多少元？
17．冬暖夏凉的黄土窑洞藏着四千年的智慧，高窗与厚土交织出天人合一的居住哲学．如图1所示的窑洞，其下部近似为矩形（图2），上部近似为一条抛物线．已知米，米，窑洞的最高点P（抛物线的顶点）离地面的距离为4米．以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若在窑洞的上部安装两根窗框、，点D、E在矩形的边上，点F、G在抛物线上，点D与点E恰好是的三等分点（点D在点E的左侧），求这两根窗框的总长度．
18．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求这个二次函数的关系解析式；
(2)点p是直线上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
(3)点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
《内蒙古自治区通辽市科尔沁左翼中旗2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题》参考答案
1．D
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程是指含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程．
根据一元二次方程定义逐项判断即可．
【详解】解：A．当时，方程为一元二次方程，所以A选项不符合题意；
B． 为二元一次方程，所以B选项不符合题意；
C．为分式方程，所以C选项不符合题意；
D．为一元二次方程，所以D选项符合题意．
故选：D．
2．C
【分析】根据二次函数的性质y＝a(x﹣h)2+k的顶点坐标是(h，k)进行求解即可.
【详解】∵抛物线解析式为y=3(x-2)2+5，
∴二次函数图象的顶点坐标是(2，5)．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的开口方向，顶点坐标(对称轴)，最大(最小)值，增减性等．
3．A
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．
先移项，再配方即可．
【详解】，
，
，
．
故选：A．
4．D
【分析】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，解题关键是熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系．
根据二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系即可找到说法正确的选项．
【详解】解：抛物线中的系数，
抛物线开口向下，选项说法错误；
抛物线的顶点坐标为，
选项说法错误；
抛物线开口向下，
在对称轴的右侧，随的增大而减小，选项说法错误；
一元二次方程中，
该方程有两个不等实数根，
即抛物线与轴有两个交点，选项说法正确．
故选：．
5．C
【分析】本题考查了列代数式及一元二次方程的应用，掌握等量关系是解答本题的关键，根据题意逐个计算出每轮感染人数，共感染人数即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
甲：第1轮后，1个人传染了x人，共有个人患了流感，故正确；
乙：第2轮后，个人中每人传染了x人，增加个人患流感，故正确；
丙：2轮后，共有人患流感，由题意得方程，即，故错误．
故选：C．
6．A
【分析】根据一元二次方程判别式的性质分析，即可得到答案．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程为，
∴，
∴方程没有实数根，
故选A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．
7．D
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是，根据时，y随x的增大而增大，即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴图像的开口向上，对称轴是直线，
∴当时，y随x的增大而增大，
∵，，，
又∵，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练的运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
8．C
【分析】本题考查了二次函数的图象、一次函数图象以及一次函数图象与系数的关系， 先根据二次函数图象与轴交点的位置确定的正负，再利用一次函数图象与系数的关系可找出一次函数经过的象限，对比后即可得出结论．根据二次函数的图象找出每个选项中的正负是解题的关键．
【详解】解：A、由可知抛物线的开口向上，当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，故选项A不符合题意；
B、由可知抛物线的开口向上，故B不合题意；
C、由可知抛物线的开口向上，当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，故选项C符合题意；
D、由可知抛物线的开口向上，当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，故选项D不符合题意；
故选：C．
9．
【分析】利用根与系数的关系可求得和的值，代入求值即可．
【详解】∵，是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，．
10．y=3（x+2）2﹣1
【详解】解：抛物线y=3x2的图象向左平移2个单位所得函数图象的关系式是：y=3(x+2)2；抛物线y=3(x+2)2的图象向下平移1个单位长度所得函数图象的关系式是：y=3(x+2)2﹣1，
故答案为y=3(x+2)2﹣1．
11．且
【分析】本题主要考查了根的判别式和一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的根与的关系是解题的关鍵，
根据“方程是一元二次方程”，得到，结合“该方程有两个实数根”，得到，得到关于的一元一次不等式，解之即可．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个实数根，
且，
解得：且，
故答案为：且．
12．①③④
【分析】由二次函数的图象得出，，再由题意得出，，综合可证明结论①③④的正误，再由二次函数的对称性可证明结论②的正误．
【详解】解：由图得，抛物线的开口向下，且与轴交于轴正半轴，
，，
抛物线的对称轴是直线，且抛物线经过点，
，，
，
，即结论①正确；
，
，即结论③正确；
抛物线的对称轴是直线，与轴的一个交点是，
抛物线与轴的另一个交点是，即结论②错误；
，
，
，即结论④正确．
综上，正确的结论是①③④．
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数的对称性，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．
13．(1)；
(2)．
【分析】本题考查了一元二次方程因式分解的方法解一元二次方程，解决此题的关键是熟练掌握各种一元二次方程的解法，选择最优．
（1）根据十字相乘因式分解的方法解一元二次方程即可；
（2）根据提公因式分解的方式解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
‘’
或，
∴；
（2）解：
，
，
∴或，
∴
14．(1)
(2)该函数图象的对称轴是直线，顶点坐标是
【分析】（1）利用配方法化成顶点式即可；
（2）根据顶点式写出对称轴、顶点坐标即可．
【详解】（1）．
（2）∵二次函数，
∴该函数图象的对称轴是直线，顶点坐标是．
【点睛】本题考查了用配方法把二次函数解析式化为顶点式，二次函数图像与性质，解题关键是熟练运用配方法进行，明确顶点式的意义．
15．(1)
(2)不存在，理由见解析
(3)
【分析】本题考查了一元二次方程的判别式以及根与系数的关系，解题的关键能够正确运用判别式的表达式以及根与系数的关系式．
（1）根据一元二次方程的判别式，然后解不等式即可；
（2）假设存在，代入两根和，两根积，求出k，再作出判断．
（3）联立可解得方程的一个根，再将这个根代入原方程即可求得k的值．
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
解得：即k的取值范围为
（2）解：是方程的两个实数根，
解得
∵方程有实数根时k的取值为
∴不存在k值使得
（3）解：由得
代入中得，
解得：，
把代入原方程得，，
解得：．
16．(1)
(2)5
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，具体涉及以下知识点：增长率/下降率问题模型，销售利润问题分析，考查了对实际问题的综合分析能力．
（1）根据原价和两次降价后的价格，利用降价公式建立方程求解降价百分率；
（2）依据每千克的盈利、销售量与涨价的关系，构建盈利方程来确定涨价金额．
【详解】（1）解：设每次下降的百分率为x．
第一次降价后的价格为元，第二次降价后的价格为元．
已知两次降价后每千克32元，可得方程．
解得
当时，；
当时，（舍去）．
所以每次下降的百分率是．
（2）解：设每千克应涨价y元．
每千克盈利变为元，日销售量变为千克．
要保证每天盈利12000元，可列方程．
，
解得，．
因为每千克涨价不能超过8元，所以．
每千克应涨价5元．
17．(1)
(2)米
【分析】本题考查了二次函数的图像和性质.
（1）由题意知，顶点P的坐标为，设抛物线的函数表达式为，将代入，求解即可；
（2）由题意知，，当时，求出，由对称性可知，即可得解.
【详解】（1）由题意知，顶点P的坐标为，
设抛物线的函数表达式为，
将代入，得，
解得，
∴抛物线的函数表达式为．
（2）由题意知，，
，
当时，，
由对称性可知，
，
故这两根窗框的总长度为米．
18．(1)
(2)存在点，使面积最大
(3)存在，
【分析】（1）用待定系数法求二次函数解析式即可．
（2）设点P坐标为，连接，作轴于M，轴于N．根据，最后利用二次函数的性质求解即可．
（3）假设存在点Q使以 A、C、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况①若平行于x轴，②若不平行于x轴，分别画出图形，利用平行四边形的性质求解即可．
【详解】（1）解：将，两点带入可得：
解得：
∴二次函数解析式为；
（2）设点P坐标为，如图连接，作轴于M，轴于N．
，，．
当时，，
∴
∴
，
∵，
∴函数有最大值，当时，有最大值，
此时；
∴存在点，使面积最大．
（3）存在，
假设存在点Q使以 A、C、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形
①若平行于x轴，如下图，有符合要求的两个点
此时
∵轴，
∴点M、点关于对称轴对称，
∴，
∴．由，
∵
∴；
②若不平行于x轴，如下图，过点M作轴于点G，
则
∵，且，
∴，
∴，
∴，，即．
设，
则有，
解得：．
又，
∴，
∴，
综上所述，存在点P使以 A、C、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形，Q点坐标为： ．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合问题，涉及待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数求三角形面积的最值， 二次函数和四边形的综合问题，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
D
C
A
D
C
A
D
C