2025-2026学年广东省广州市天河外国语学校九年级数学上学期10月月考试卷

这是一份2025-2026学年广东省广州市天河外国语学校九年级数学上学期10月月考试卷，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝2x﹣3B．
C．y＝（x﹣5）2﹣x2D．y＝x（1﹣x）
3．把一元二次方程化为一般形式，二次项系数； 一次项系数；常数项分别为（ ）
A．1，6，4B．1，-6，4
C．1，-6，-4D．1，-6，9
4．用配方法解方程，应在方程两边同时加上（ ）
A．9B．6C．36D．3
5．关于的方程无实数根，那么满足的条件是（ ）
A．B．C．D．
6．抛物线y＝x2﹣5x+6与x轴的交点情况是（ ）
A．有两个交点B．只有一个交点
C．没有交点D．无法判断
7．将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）.
A．；B．；
C．；D．.
8．如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则旋转中心是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
9．如图，是一次函数y=kx+b的图像，则二次函数y=2kx2﹣bx+1的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
10．如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1．其中正确结论的个数是（ ）
A．5B．4C．3D．2
二、填空题
11．若是关于的一元二次方程，则的值为 ．
12．已知二次函数y＝-x2，当x＞0时，y随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”）；
13．如图，将绕点逆时针旋转一定的角度得到，此时边经过点，若，，则的长是 ．
14．设m是一元二次方程x2﹣x﹣2019＝0的一个根，则m2﹣m+1的值为 ．
15．已知等边三角形的边长为，则用边长表示等边三角形的面积的函数表达式为 ．
16．如图，矩形中，，，点从点出发，沿边向点以1cm/s的速度移动；点从点出发，沿边向点以2cm/s的速度移动．，同时出发，分别到，后停止移动，则的最小面积是 ．
三、解答题
17．解下列方程：
(1)
(2)
18．已知二次函数的图像如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（－1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．
（1）求此二次函数的表达式，和顶点坐标；
（2）直接写出当函数值时，自变量x的取值范围．
19．如图，方格纸中的每格都是边长为的正方形，将（顶点都是正方形的顶点）绕点按逆时针方向旋转得到．
(1)在所给的图形中画出；
(2)求的面积．
20．已知关于的一元二次方程有实数根．
(1)求的取值范围；
(2)方程的两个实数根、满足，求实数的值．
21．年，仪征市某商场于今年年初以每件元的进价购进一批商品．当商品售价为元时，三月份销售件．四、五月该商品十分畅销．销售量持续上涨．在售价不变的基础上，五月份的销售量达到件．
(1)求四、五这两个月的月平均增长率；
(2)从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价元，月销量增加件，当商品降价多少元时，商场月获利元？
22．某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点50米时达到最大高度25米．将发石车置于山坡底部处，石块从投石机竖直向上的点处被投出，已知高5米．山坡上有一点A，点A与点的水平距离为65米，与地面的竖直距离为10米，是高度为10米的防御墙．若以点为原点，建立如图的平面直角坐标系．

(1)求石块运动轨迹所在抛物线的解析式；
(2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙．
23．如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝12cm，AC＝8cm，现有动点P从点B出发，沿射线BA方向运动，动点Q从点C出发，沿射线CA方向运动，已知点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，它们同时出发，设运动时间是ts（t＞0）．
（1）当t＝4时，求△APQ的面积．
（2）经过多少秒时，△APQ的面积是△ABC面积的一半．
24．阅读下列例题的解答过程：
解方程：3（x－2）2＋7（x－2）＋4＝0
解：设x－2＝y，则原方程化为：3y2＋7y＋4＝0
∵a＝3，b＝7，c＝4，∴b2－4ac＝72－4×3×4＝1
∴y＝．
∴y1＝－1，y2＝－．
当y＝－1时，x－2＝－1，∴x＝1；
②当y＝－时，x－2＝－，∴x＝．
∴原方程的解为：x1＝1，x2＝．
(1)请仿照上面的例题解一元二次方程：（x－3）2－5（x－3）－6＝0；
(2)若，求代数式的值．
25．抛物线经过和两点，与轴交于点．连接．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，若点为在第三象限的抛物线上一点，且平分角，求点坐标；
(3)如图2，若为第三象限抛物线上的动点，，若与相交于点．是否存在点，使为直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
《广东省广州市天河外国语学校2025-2026学年九年级数学上学期10月月考试卷 》参考答案
1．C
【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：A、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项是错误的；
B、该图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，故该选项是错误的；
C、该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故该选项是正确的；
D、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项是错误的；
故选：C．
2．D
【分析】根据二次函数的定义判断即可．
【详解】解：A．y=2x-3，不是二次函数，故不符合题意；
B．，不是二次函数，故不符合题意；
C．y=（x-5）2-x2=x2-10x+25-x2=-10x+25，不是二次函数，故不符合题意；
D．y=x（1-x）=-x2+x，是二次函数，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
3．B
【分析】首先利用完全平方公式进行计算，然后再把5移到等号左边，合并同类项即可得到x2-6x+4=0，然后再确定二次项、一次项系数和常数项即可得答案．
【详解】x2-6x+9=5，
x2-6x+9-5=0，
x2-6x+4=0，
故二次项为1，一次项系数为-6，常数项为4，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
4．A
【分析】本题考查的是配方法解一元二次方程．解题的关键是掌握完全平方式．
要使方程左边配成一个完全平方式，在二次项系数为1的情况下，左右两边应该加上一次项系数一半的平方．
【详解】解：用配方法解方程，
两边都加上9，
得，
得．
故选：A．
5．C
【分析】方程左边是一个式的平方，根据负数没有平方根，可得关于m的不等式，求解不等式即可．
【详解】解：当时，方程无解．
即．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的直接开平方法，运用直接开平方法，等号的另一边必须是非负数．
6．A
【分析】根据题目中的函数解析式，可以求得该抛物线与x轴的交点坐标，从而可以解答本题．
【详解】∵y＝x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3），
∴当y＝0时，x＝2或x＝3，
即抛物线y＝x2﹣5x+6与x轴的交点坐标为（2，0），（3，0），
故抛物线y＝x2﹣5x+6与x轴有两个交点，
故选A．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，解答此题要明白函数y＝x2﹣5x+6与x轴的交点的坐标为y=0时方程x2﹣5x+6＝0的两个根．
7．B
【分析】根据抛物线图像的平移规律“左加右减，上加下减”即可确定平移后的抛物线解析式.
【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的平移规律，熟练掌握其平移规律是解题的关键.
8．B
【分析】本题考查了旋转图形的性质，根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出，的垂直平分线，线段垂直平分线的交点即为所求，熟练掌握旋转图形的性质是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接，，分别作出，的垂直平分线，
，的垂直平分线的交点为，
旋转中心是点，
故选：B．
9．B
【分析】根据一次函数的图像可以判断k和b的正负，从而可以判断二次函数y=2kx2-bx+1的图像的开口方向和对称轴，从而可以解答本题．
【详解】由一次函数y=kx+b的图像可得，k＞0，b＞0，
∴二次函数y=2kx2-bx+1的图像开口向上，对称轴为x=−＞0，
故选B．
【点睛】本题考查二次函数的图像、一次函数的图像，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10．C
【分析】根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系逐一判断即可
【详解】解：①由抛物线对称轴为直线，从而，则，故①正确；
②抛物线开口向下，与轴相交与正半轴，则，而，因而，故②错误；
③方程的解，即是与直线的交点的横坐标，
从图象可得，抛物线顶点为，则抛物线与直线有且只有一个交点，
故方程有两个相等的实数根，故③正确；
④由抛物线对称性，与轴的一个交点，根据对称轴为，可知另一个交点坐标为（−2，0），故④错误；
⑤由图象可知，当1＜x＜4时，y1＞y2，故⑤正确；
故正确的有①③⑤，共计3个
故选C
【点睛】本题考查二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系等知识，解答关键是数形结合．
11．1
【分析】根据未知数的次数为2和二次项系数不为0列方程和不等式求解即可．
【详解】解：∵是关于的一元二次方程，
∴，，
解得，；
故答案为：1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题关键是根据一元二次方程的定义列出方程，注意：二次项系数不为0．
12．减小
【分析】根据二次函数的解析式判断其开口方向以及对称轴，然后判断增减性即可．
【详解】解：∵二次函数y＝-x2的图像开口向下，对称轴为y轴，
∴当x＞0时，y随x的增大而减小．
故答案为：减小．
【点睛】本题考查了二次函数的增减性，根据二次函数的解析式得出其开口方向以及对称轴是解本题的关键．
13．
【分析】本题考查旋转的性质，由旋转得出，由解题．
【详解】解：由绕点逆时针旋转一定的角度得到，
，
．
故答案为：．
14．2020.
【分析】把x=m代入方程计算即可求解．
【详解】解：把x＝m代入方程得：m2﹣m﹣2019＝0，即m2﹣m＝2019，
则原式＝2019+1＝2020，
故答案为2020.
【点睛】本题考查一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
15．
【详解】试题分析：作出BC边上的高AD．由△ABC是等边三角形，边长为x，可得CD=x，所以可求得高为h=x，
然后根据三角形的面积公式可得y=x×h=x2．
考点：等边三角形的性质，三角形的面积
16．
【分析】假设经过t秒后最小，利用，用含t的式子表示三角形面积，计算即可．
【详解】解：假设经过t秒后最小，
结合图形可知：，，，
∴
化简得：
∴当时，有最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查图形运动问题，结合二次函数求三角形面积的最小值．该题的关键是找出等量关系，将转变成关于t的二次函数，求最值．
17．(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，选取适当的方法能够正确的运算是解题的关键．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可求解；
（2）先移项，利用因式分解法解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴或，
解得：，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得：，．
18．（1）二次函数的表达式为y=-x2+2x+3，顶点坐标为（1，4）；（2）当-1＜x＜3时，y＞0．
【分析】（1）将（-1，0）和（0，3）两点代入二次函数y=-x2+bx+c，求得b和c；从而得出抛物线的解析式，利用配方法求出顶点坐标；
（2）令y=0，解得x1，x2，得出此二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标，进而求出当函数值y＞0时，自变量x的取值范围．
【详解】解：（1）由二次函数y=-x2+bx+c的图象经过（-1，0）和（0，3）两点，
得，
解这个方程组，得，
抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，
由于y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
则抛物线的顶点坐标为（1，4）；
（2）令y=0，得-x2+2x+3=0．
解这个方程，得x1=3，x2=-1．
∴此二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标为（3，0）．
当-1＜x＜3时，y＞0．
【点睛】本题考查了二次函数与x轴的交点问题以及用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是正确求出抛物线的解析式，此题难度不大．
19．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据旋转的性质作图即可；
（2）利用勾股定理以及等腰直角三角形的性质求解．
【详解】（1）解：如图，三角形即为所求的图形；
（2）解：，，
的面积．
【点睛】本题考查作图——旋转变换、三角形的面积、勾股定理，熟练掌握旋转的性质以及勾股定理是解答本题的关键．
20．(1)
(2)4
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围；
（2）根据方程的系数结合，可得出关于的方程，解之经检验后即可得出结论．
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：找出关于的方程．
【详解】（1）解： 关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：．
（2）解：方程的两个实数根、，
∴，，
原式
∴
∴
∴
∴（与相矛盾，故舍去），．
21．(1)
(2)当商品降价2或3元时，商场获利6240元
【分析】设四、五这两个月的月平均增长率为x，利用五月的销量=三月的销售量×，即可得出关于x的一元二次方程，解出x即可求解．
设商品降价m元，则每件获利元，月销量为件，利用商场月销售利润=每件销售利润×月销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解出m即可求解．
【详解】（1）设四、五这两个月的月平均增长率为x，
依题意得：，
解得：，(不符合题意，舍去)，
答：四、五这两个月的月平均增长率为．
（2）设商品降价m元，则每件获利元，月销量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，
答：当商品降价2或3元时，商场获利6240元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，列出方程是解题关键．
22．(1)
(2)石块能飞越防御墙
【分析】（1）设石块运行的函数关系式为，用待定系数法求得a的值即可求得答案；
（2）把代入，求得y的值，与20作比较即可．
【详解】（1）解：∵发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点50米时达到最大高度25米，
∴设石块运行的函数关系式为，
高5米，
把代入得：
，
解得：，
石块运动轨迹所在抛物线的解析式为：；
（2）解：石块能飞越防御墙，
理由如下：
由题意可知：
把代入得：
，
，
，
石块能飞越防御墙．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出二次函数解析式，是解题的关键．
23．（1）S△APQ＝8；（2）经过2秒或12秒△APQ的面积是△ABC面积的一半．
【分析】（1）根据点的速度是，点的速度是，，，利用面积公式求解；
（2）设经过秒的面积是面积的一半，则，，
进而表示出，，利用面积公式表示出方程求解但是由于题目给的是射线，注意分类讨论．
【详解】解：（1）∵点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，
当t＝4时，BP＝2t＝8cm，CQ＝t＝4cm，
∴AP＝4cm，AQ＝4cm，
∴S△APQ4×4＝8．
（2）设经过t秒△APQ的面积是△ABC面积的一半．
根据题意得：S△ABC12×8＝24cm2，
当0＜t＜6 时如图1：
S△APQ（12﹣2t）（8﹣t）＝24，
整理得t2﹣14t+24＝0，
解得t＝12（舍去）或t＝2．
当6＜t＜8时如图2：
S△APQ（2t﹣12）（8﹣t）＝24，
整理得t2﹣14x+72＝0，
△＜0，无解．
当t＞8时如图3：
S△APQ（2t﹣12）（t﹣8）＝24，
整理得t2﹣14x+24＝0，
解得t＝12或t＝2（舍去）．
综上所述：经过2秒或12秒△APQ的面积是△ABC面积的一半．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，特别是动点问题更是中考的热点考题之一，注意审题，分类讨论思想的应用．
24．(1)
(2)
【分析】（1）令，则原方程为，然后根据因式分解法进行求解方程即可；
（2）令，则原方程可化简为，然后根据因式分解法进行求解方程即可．
【详解】（1）解：令，则原方程为，
∴或，
∴，
当时，则，解得：；
当时，则，解得：；
∴原方程的解为；
（2）解：令，则原方程可化简为，
∴或，
∴，
∵，
∴当时不符合题意，
∴，即；
∴原方程的解为．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用换元法求解一元二次方程是解题的关键．
25．(1)
(2)，
(3)或，
【分析】（1）已知抛物线经过和两点，运用待定系数法解方程组即可；
（2）如图1，将沿翻折得到．求出直线的解析式，证明点在线段上，构建方程组求解即可．
（3）需要对直角三角形的直角顶点进行分类讨论，运用勾股定理列出方程，运用方程求得点的坐标．
【详解】（1）解：抛物线经过和两点，
，
解得，，
；
（2）如图1中，将沿翻折得到，

由（1）可知：，
令，解得，
，
，，
，
将沿翻折得到，，，
，，，
，
，
点在线段上，
设，
，，
，解得，
直线的解析式为，
由，解得（即点或，
，；
（3）存在，点的坐标是或，

若时，即．
由，知，，
，
，
设直线解析式为：．
把代入，得，
解得，
故直线的解析式为，
联立，
解得或（舍去），
；
若时，是直角三角形，
设，则，
则由，即，
整理，得，
，
解得，，
在第三象
不符合题意，
当时，，即，
解得（舍去），，
．
若时，该种情况不存在．
综上所述，符合条件的点的坐标是或．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质，勾股定理的应用，注意解题过程中方程思想和分类讨论数学思想的应用．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
B
A
C
A
B
B
B
C