北京市第四中学2025-2026学年八年级上学期第一次练习数学试题

这是一份北京市第四中学2025-2026学年八年级上学期第一次练习数学试题，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，则此项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；
故选：B．
2．关于x的方程根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．无实数根D．只有一个实数根
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．通过计算判别式并分析其符号即可确定根的情况．
【详解】解：对于方程，其判别式为：
由于，则，因此．
故判别式恒为负数，方程无实数根，
故选：C．
3．一元二次方程用配方法解方程，配方结果是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】分析：首先将二次项系数化为1，然后加上一次项系数一半的平方，从而得出配方的结果．
详解：
，故选B．
点睛：本题主要考查的是配方法的使用，属于基础题型．解决这个问题的关键就是要将二次项系数化为1．
4．由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元，设增长率为，则方程可以列为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据第一周的票房及增长率，即可得出第二周票房约亿元、第三周票房约亿元，根据三周后票房收入累计达约20亿元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：第一周票房约5亿元，且以后每周票房的增长率为，
第二周票房约亿元，第三周票房约亿元．
依题意得：．
故选：D．
5．已知二次函数的变量x，y的部分对应值如表：
根据表中信息，关于一元二次方程的近似解，（）的范围，有下列说法：①；②；③；④．其中正确说法的序号是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
【答案】B
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题：在和时函数值由负数变为正数，即可得到方程的一个近似解的范围，再根据和时，的值都是，得出抛物线的对称轴为直线，再结合二次函数的性质，得出的范围，即可作答．
【详解】解：当时，；当时，，
方程的一个近似根的范围是，
当和时，的值都是，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵方程的一个近似根的范围是，
∴
∴①④是符合题意；
故选：B
6．已知二次函数(a，b，c为常数，)图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论：
①关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；
②当时，y的值随x值的增大而减小；③；
④；⑤对于任意实数t，总有．
以上结论正确的有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，结合题意画出函数图像，结合函数图像一一判断即可得出答案．
【详解】解：∵二次函数(a，b，c为常数，)图像的顶点坐标是，
且经过，两点，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴，抛物线与x轴的交点为：和，
图象如下所示：
令，即把向下平移一个单位，
再结合函数图像可知有两个不相等的实数根，
故关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；故①正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，y的值随x值的增大而减小，故②正确；
∵抛物线与x轴的交点为：和
∴二次函数为，
∴，
∵
∴，
解得，故③正确，
结合函数图像可知，当时，，故④正确，
∵
∴，
∴
，
∵，，
∴，
即对于任意实数t，，故⑤正确，
综上：①②③④⑤正确，
故选：A．
二、填空题
7．若点，都在函数的图象上，则 （填“”“”或“”）．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的增减性解答即可，掌握反比例函数的增减性是解题的关键．
【详解】解：，
反比例函数的图象在第二、四象限内，且在每个象限内随的增大而增大，
，
．
故答案为：．
8．若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，，方程有两个不相等是实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程有没有实数根．据此列不等式求解即可．
【详解】解：方程有两个不相等的实数根，
，，
解得：且，
故答案为：且．
9．设，，是抛物线图象上的三个点，则，，的大小关系为 （用“”连接）．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的图象和性质是解决本题的关键．
根据二次函数的性质得到抛物线的开口向上，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
【详解】解：∵
，
∴的开口向上，对称轴为直线，
∵点，，的横坐标到对称轴直线的距离分别为、、，
∵抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大，
∴，
故答案为：．
10．如图，一块砖的，，三个面的面积比是5：3：1．如果面向下放在地上，地面所受压强为，那么面向下放在地上时，地面所受压强为 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是确定两个变量之间的关系．
根据题意，得出压强与受力面积之间的关系，分析计算即可．
【详解】解：设这块砖的质量为，与地面的接触面积为，地面所受压强为，
则（定值），
即与成反比例关系，
∵，
∴，
∵面向下放在地上，地面所受压强为，
∴面向下放在地上时，地面所受压强为，
故答案为：．
11．如图，正八边形的顶点，，，在坐标轴上，顶点，，，在第一象限．点在反比例函数的图象上，若，则的值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了正多边形的性质，等腰直角三角形的性质以及反比例函数解析式的求解，求解出点F的纵坐标是解决本题的关键．
先根据正八边形的内角和可求解每个内角度数，可得为等腰直角三角形，根据正八边形的边长可求解的长度，同理可求与的长度，即可得到点F的坐标，代入反比例函数解析式即可求解．
【详解】解：过点F作轴交y轴于点M，如图，
正八边形的内角和为，
∴每个内角为，
∴，
则为等腰直角三角形，
又∵正八边形的边长为，
∴，即，
可得，
同理可得为等腰直角三角形，
即，
∴可得，
∴点，
又∵点在反比例函数的图象上，
∴，解得．
故答案为： ．
三、解答题
12．如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．
(1)花圃的面积为 平方米（用含a的式子表示）；
(2)如果花圃所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽．
【答案】(1)
(2)此时通道的宽为5米．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，多项式乘法与图形面积：
（1）长方形花圃的长为米，宽为米，据此根据长方形面积计算公式求解即可；
（2）根据（1）所求结合题意建立方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，长方形花圃的长为米，宽为米，
∴花圃的面积为平方米，
故答案为：；
（2）解：由题意得，，
整理得，
解得或（舍去），
答：此时通道的宽为5米．
四、填空题
13．当时，二次函数的最大值与最小值的差为，则实数a的值为
【答案】或
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
先求出二次函数的对称轴，得到函数的增减性，再分为，和三种情况，然后分别求出对应的最大值与最小值，结合题意列出方程求解判断．
【详解】解：∵，
∴二次函数对称轴为：直线，
∴在对称轴右侧，y的值随着x的值增大而增大；在对称轴左侧，y的值随着x的值增大而减小；
①当时，即，则最小值为，最大值为，
∵函数的最大值与最小值的差为，
∴，
解得（舍），
②当时，即，
时，则最小值，最大值，
∵函数的最大值与最小值的差为，
∴，
解得（舍）或，
时，则最小值，最大值，
∵函数的最大值与最小值的差为，
∴，
解得或（舍），
③当时，即，则最大值为，最小值为，
∵函数的最大值与最小值的差为，
∴，
解得（舍），
综上所述，或，
故答案为：或．
14．关于x的方程，无论实数p取何值，该方程总有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，不等式的性质等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．先将方程整理为一般形式，根据“无论实数p取何值，该方程总有两个不相等的实数根”可得，解得，然后利用不等式的性质即可得出实数m的取值范围．
【详解】解：，
整理，得：，
无论实数p取何值，该方程总有两个不相等的实数根，
，
解得：，
，
，
，
，
故答案为：．
15．在中，是的中点，将绕着点旋转，使点落在射线上，点落在，以点为圆心为半径画弧交射线于点，则的度数为 ．

【答案】或
【分析】分点在线段上和在线段的延长线上，两种情况进行讨论，三线合一，得到，，，旋转得到，进而得到，作于点，得到，根据题意，得到，进而求出，得到，进而求出的度数即可．
【详解】解：如图，
当点在线段上时，
∵，是的中点，
∴，，，
∵旋转，
∴，
∴，
∴平分，
作于点，
∵，
∴，
∵以点为圆心为半径画弧交射线于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当点在线段的延长线上时，则：；
故答案为：或．
【点睛】本题考查三线合一，旋转的性质，角平分线的性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，根据题意，正确的画出图形，合理添加辅助线，构造特殊图形，是解题的关键．
16．在中，，，点是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，，，点为的中点，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质以及最小值问题，综合性比较强．根据条件构造辅助线，得到与全等，利用全等三角形的性质得到，，将求的最小值转化为求的最小值，设长为，则长为，利用勾股定理可得，根据的几何意义可表示点到点和的距离之和，最后利用将军饮马模型即可解答．
【详解】，，
为等腰直角三角形，
，
又线段是由线段绕点顺时针旋转得到，
也为等腰直角三角形，，
，
故，，，四点共圆，
，
又，
，
，
如下图，延长，交于点，
点为的中点，
，
，
，
又,
≌，
，，
，
设长为，则长为，
在中，，
在中，，
，
的几何意义可表示点到点和的距离之和，
在平面直角坐标系中分别用点、、表示点、、，
由图可知，点关于轴的对称点为点，，
故，也即当点、、三点共线时，距离之和取得最小值，此时点位于线段与轴交点处，
由勾股定理得，线段，也即点到点和的距离之和最小值为，
因此的最小值为，
故答案为：．
五、解答题
17．解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)，
(2)，
(3)，
(4)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解分式方程，解题的关键是熟练掌握解方程的步骤和方法．
（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（3）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（4）利用解分式方程的步骤进行求解并验证即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，
则，
所以，；
（2）解：，
，
，
，
则或，
∴，；
（3）解：，
，
，
则或，
∴，；
（4）解：，
，
，
，
，
则或，
所以，．
当时，，所以是原分式方程的增根．
当时，，所以是原分式方程的解．
18．如图，中，，D为内一点，连接，将绕点A逆时针旋转，得到，连接．

(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由旋转的性质可知，，从而可求，进而可证，即得出；
（2）设相交于点F，则．由等边对等角结合三角形内角和定理可求出，从而可求出，进而可得．
【详解】（1）证明：由题意可知，，
∴，即．
又∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，设相交于点F，

∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查旋转的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识．解答此题的关键是要明确：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．
19．已知关于x的方程．
(1)求证：无论k取何值，它总有实数根；
(2)若等腰三角形的一边长为3，另外两边的长为方程的根，求k的值及三角形的周长．
【答案】(1)证明见解析
(2)或6；周长为7或8
【分析】本题考查一元二次方程的判别式（实数根条件）、等腰三角形的性质（底边与腰的分类）和分类讨论思想，关键在于根据几何条件确定方程参数并验证解的有效性。
（1）通过计算判别式，利用完全平方式的非负性直接证明方程恒有实数根即可；
（2）根据等腰三角形中边长3的角色分类讨论：若3为底边，则两腰需相等一转化为方程有两个相等实数根()，解得并验证边长组合能否构成三角形；若3为腰，则3必为方程的一根，代入解出，求得另一根为2 并验证边长能否构成三角形．
【详解】（1）解： ，
，
无论k取何值，它总有实数根；
（2）解：分两种情况讨论：
①当3是等腰三角形的底时，
则，即，解得：，
则方程为，
即，
解得：，
，2，3能构成三角形，
此时等腰三角形的周长为7；
②当3是等腰三角形的腰时，则3是方程的一个根，
将代入，
得：，解得，
则方程为，
即，
解得，．
2、3、3能构成三角形，
则此时等腰三角形的周长为8．
综上所述，或6；三角形的周长为7或8．
20．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．

【答案】(1)见解析；(2)OE=5，BG=2.
【分析】(1)先证明EO是△DAB的中位线，再结合已知条件OG∥EF，得到四边形OEFG是平行四边形，再由条件EF⊥AB，得到四边形OEFG是矩形；
(2)先求出AE=5，由勾股定理进而得到AF=3，再由中位线定理得到OE=AB=AD=5，得到FG=5，最后BG=AB-AF-FG=2．
【详解】解：(1)证明:∵四边形ABCD为菱形，
∴点O为BD的中点，
∵点E为AD中点，
∴OE为△ABD的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，∴四边形OEFG为平行四边形
∵EF⊥AB，∴平行四边形OEFG为矩形．
(2)∵点E为AD的中点，AD=10，
∴AE=
∵∠EFA=90°，EF=4，
∴在Rt△AEF中，．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD=10，
∴OE=AB=5，
∵四边形OEFG为矩形，
∴FG=OE=5，
∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2．
故答案为：OE=5，BG=2．
【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的性质、勾股定理等知识点，解题的关键是掌握特殊四边形的性质和判定属于中考常考题型，需要重点掌握．
21．（1）问题：将函数的图象沿y轴翻折，所得到的图象对应的函数表达式是什么？
解决方法：设翻折后新的函数图象上任意P的坐标为→将点P沿y轴翻折得点（______，______）（点在原函数图象上）→翻折后的图象对应的函数表达式为_____．
（2）将函数（a，b，c为常数，）的图象先向左平移1个单位长度，再沿y轴翻折，最后绕原点旋转，求所得到的图象对应的函数表达式．
【答案】（1），
（2）
【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，二次函数折叠、平移、旋转的性质，掌握以上知识是关键．
（1）根据点关于轴的对称性质得到，代入计算即可求解；
（2）根据题意，设最后得到新函数图象的点为，由旋转，翻折，平移的性质得到点是函数（a，b，c为常数，）的一点，代入计算即可求解．
【详解】解：（1）设翻折后新的函数图象上任意P的坐标为，
∴将点P沿y轴翻折得点，
∵点在原函数的图象上，
∴，
∴翻折后的图象对应的函数表达式为，
故答案为：，；
（2）设最后得到新函数图象上的任意点为，
∴点绕原点旋转后对应点，
再沿y轴翻折后，点的对应点为，
图象向右移动1个单位长度后，点的对应点为，
∴点是函数（a，b，c为常数，）上的一点，
∴，
整理得，，
∴所得到的图象对应的函数表达式为．
22．某龙舟队进行500米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段．图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程与时间的近似函数图象．启航阶段的函数表达式为；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；在冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程与时间的函数表达式为．

(1)求出启航阶段关于的函数表达式（写出自变量的取值范围），
(2)已知途中阶段龙舟速度为5m/s．
①当时，求出此时龙舟划行的总路程，
②在距离终点125米处设置计时点，龙舟到达时，视为达标，请说明该龙舟队能否达标；
(3)冲刺阶段，加速期龙舟用时1s将速度从5m/s提高到5.25m/s，之后保持匀速划行至终点.求该龙舟队完成训练所需时间（精确到0.01s）．
【答案】(1)
(2)①龙舟划行的总路程为；②该龙舟队能达标．
(3)该龙舟队完成训练所需时间为
【分析】（1）把代入 得出的值，则可得出答案；
（2）①设，把代入，得出，求得，当时，求出，则可得出答案；
②把代入，求得，则可得出答案；
（3）由（1）可知，把代入，求得．求出，则可得出答案．
【详解】（1）把代入 得，
解得，
启航阶段总路程关于时间的函数表达式为；
（2）①设，把代入，得，
解得，
．
当时，．
当时，龙舟划行的总路程为．
②，
把代入，
得．
，
该龙舟队能达标．
（3）加速期：由（1）可知，
把代入，
得．
函数表达式为，
把代入，
解得．
，
．
答：该龙舟队完成训练所需时间为．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的应用，一次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法，根据条件准确得到表达式是解题关键．
23．在平面中以下两种不同方式所得线段的关系．
方式一：向右平移1个单位长度，后绕原点O按逆时针方向旋转，
方式二：先绕原点O按逆时针方向旋转，然后向右平移1个单位长度．
如图1小明将线段按方式一和方式二运动：分别得到线段、，发现它们除长度相等外还有其他关系．
【实践体验】
（1）如图2，小明已画出线段按方式一运动得到的线段．请你利用网格，在图2中画出线段按方式二运动得到的线段；
【探索发现】
（2）在平面直角坐标系中，将线段a按方式一、方式二运动，分别得到线段、，则线段、所在直线可能_______________（写出所有可能的序号）；①相交；②平行；③是同一条直线
【综合应用】
（3）如图3，已知点，是第一象限内两个不重合的点，将线段GH按方式一、方式二运动，分别得到线段、（、是G的对应点． 、是H的对应点）．
①若点与点重合，求点H的坐标；
②若线段与线段有公共点，直接写出y与x之间的函数表达式，并写出实数x的取值范围．
【答案】（1）见详解；（2）；（3）①；②，或
【分析】（1）按顺序应用旋转和平移的性质画图即可；
（2）先求出按方式一和方式二变换后的端点坐标，然后再根据待定系数法列方程组，求出一次项系数，通过一次项系数来判断直线的位置关系；
（3）①先由平行性质转化为共线问题，再通过参考直线方程得到函数关系；
②通过线段端点位置关系分析范围，结合不等式确定临界点（和），结合图形，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求作的线段；
（2）设线段的端点为和，
按方式一变换得到线段对应端点分别为，，
按方式二变换得到线段对应端点分别为：，
设直线的解析式为：，代入得，
，消去后，整理得，，
设直线的解析式为：，代入得，
消去后，整理得，，
，即和所在直线可能平行或是同一直线．
故选：②③；
（3）按方式一运动：向右平移1个单位长度，再绕原点O按逆时针方向旋转90°，坐标为；
按方式一运动：向右平移1个单位长度，再绕原点O按逆时针方向旋转90°，坐标为．
按方式二运动：先原点O按逆时针方向旋转，再向右平移1个单位，坐标为；
按方式二运动：先原点O按逆时针方向旋转，再向右平移1个单位，坐标为．
① 点与点重合，
，解得，即．
②由（2）可知，若线段与线段有公共点，则点在一条直线上，
设直线的解析式为：，则，解得，
直线的解析式为：，
将点坐标为代入得，．整理得，，
，
讨论有交点情况：
．当点在线段上时，两线段有交点，
，即，
当点在线段上（不与端点重合）时，两线段无交点，
，即，
同理，当点在线段上（不与端点重合）时，两线段无交点，
，即，
∵不重合，则，
∴，且时，两线段无交点，
当点在线段上时，两线段有交点，
，即，
由于点在第一象限，，
．
综上所述，若线段与线段有公共点，，或．
【点睛】本题综合考查图形运动（平移、旋转的坐标变换）、一次函数的平移、二元一次方程求解、不等式应用及坐标系中的位置关系，解题关键是通过代数计算描述几何变换，并运用数形结合分析线段属性．
x
…
0
1
…
y
…
1
1
…