湖南省邵阳市邵东市第一中学2025-2026学年高三上学期第三次月考数学试题

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一．选择题（共 8 小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B C D D A C A
二．多选题（共 3 小题）
题号 9 10 11
答案 BD ABC ACD
一．选择题（共 8 小题，满分 40 分，每小题 5 分）
1．（5 分）已知集合 P＝{x∈N|y ，y∈N}，Q＝{x|﹣1≤x≤4}，则 P∩Q＝（ ）
A．{1，2，4} B．{0，1，3} C．{x|0≤x≤3} D．{x|﹣1≤x≤4}
【解答】解：集合 P＝{x∈N|y ，y∈N}＝{0，1，3}，Q＝{x|﹣1≤x≤4}，
则 P∩Q＝{0，1，3}．故选：B．
【点评】本题考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（5 分）已知复数 z＝1+i，则 （ ）
A．1﹣2i B．1+2i C．2﹣i D．2+i
【解答】解：因为 z＝1+i，所以 ，
所以 1+2i．故选：B．
【点评】本题考查复数的运算性质的应用，属于基础题．
3．（5 分）命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．a≥4 B．a≤4 C．a＞4 D．a＜4
【解答】解：由“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题，
可得：a≥x2 在 x∈[1，2]时恒成立，当 x∈[1，2]时，（x2）max＝4，所以 a≥4，
则 a 的取值范围为 A＝{a|a≥4}，满足其一个充分不必要条件的集合为 B，则：B 为 A 的真子集，
结合选项可得只有 a＞4 符合题意．故选：C．
1
【点评】本题主要考查充分必要条件的应用以及计算能力，属于基础题．
4．（5 分）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【解答】解：已知 ，
结 合 诱 导 公 式 及 二 倍 角 公 式 可 得 ：
．故选：
D．
【点评】本题考查了二倍角公式，属基础题．
5．（5 分）已知向量 ， ， ，则向量 在 上的投影向量为（ ）
A． B．（﹣2，2） C．（2，﹣2） D．
【解答】解：由 ，
得 ，
由 ，得 ，则 ，
故所求投影向量为： ．故选：D．
【点评】本题主要考查投影向量的求解，属于基础题．
6．（5 分）已知函数 f（x）的定义域为 R，且 f（x）＞f'（x）+1，f（0）＝3，则不等式 f（x）＞2ex+1的
解集为（ ）
A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，1） D．（1，+∞）
【解答】解：设 g（x） ，则 g′（x） ，
∵f（x）＞f′（x）+1，∴f（x）﹣f′（x）﹣1＞0，
∴g′（x）＜0，∴y＝g（x）在定义域上单调递减，
∵f（x）＞2ex+1，∴g（x） 2，又 g（0） 3﹣1＝2，∴g（x）＞g（0），
∴x＜0，∴f（x）＞2ex+1 的解集为（﹣∞，0）．故选：A．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，由已知构造新函数是解题的关键，考查等价转化思想
与运算求解能力，属于中档题．
2
7．（5 分）如图，椭圆 1（a＞b＞0）与双曲线 1 有共同的右焦点 F，这两条曲线
在第一、三象限的交点分别为 A、B，直线 AF 与双曲线右支的另一个交点为 C，△BFC 形成以 BC 为斜
边的等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：椭圆 1（a＞b＞0）与双曲线 1 有共同的右焦点 F，
设左焦点为 F1，△BFC 形成以 BC 为斜边的等腰直角三角形，AF1⊥AC，设|AF|＝t，|BF|＝s，
，解得 s＝a+m，t＝a﹣m，
即|AF1|＝a+m，|AF|＝a﹣m，|CF|＝a+m，|CF1|＝a+3m，
在△AF1C 中用勾股定理（a+m）2+（2a）2＝（a+3m）2，化简得 ，
所以 ，所以 ，所以 ．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是中档题．
8．（5 分）已知三棱锥 S﹣ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，SA⊥平面 ABC，SA＝2，若球 O 的表面积
为 16π，则三棱锥 S﹣ABC 的体积的最大值为（ ）
A． B．3 C． D．6
【答案】A
【分析】根据球的表面积公式求出球的半径，从而求出△ABC 的外接圆半径，三棱锥底面△ABC 面积
3
最大时，三棱锥 S﹣ABC 的体积取得最大值，求出△ABC 为等边三角形时，△ABC 面积最大，求出面
积的最大值，进而求出体积的最大值．
【解答】解：设球的半径为 R，则 4πR2＝16π，解得 R＝2，
设△ABC 的外接圆半径为 r，则（ ）2+r2＝R2，
即 1+r2＝4，解得 r ，
当三棱锥底面△ABC 面积最大时，三棱锥 S﹣ABC 的体积取得最大值，
如图，要想△ABC 面积最大，当 A 位于 BC 垂直平分线与圆的交点（BC 与 A 点位于圆心两侧）时，
此时△ABC 是等腰三角形，面积最大，连接 BO 并延长，交圆于点 D，连接 CD，
则 BD＝2 ，BC⊥DC，
设 ，则 BC＝2 csα，OE sinα，
AE＝AO+OE ，则 S△ABC （ ）＝3csα
（1+sinα），
令 y＝3csα（1+sinα），则 y′＝﹣3sinα（1+sinα）+3cs2α＝﹣6sin2α﹣3sinα+3＝﹣3（sinα+1）（2sinα﹣1），
当 sinα∈（0， ），即α∈（0， ）时，y′＞0， 当 sin ，即α∈（ ）时，y′＜0，
即 y＝3csα（1+sinα）在α∈（0， ）单调递增，在α∈（ ）单调递减，
∴当 时，y＝3csα（1+sinα）取得最大值，
∴ymax ，∴三棱锥 S﹣ABC 的体积的最大值为： ．
故选：A．
【点评】本题考查球的表面积公式、三棱锥体积公式、三角形外接圆、三角函数性质、导数性质、函数
的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
4
二．多选题（共 3 小题，满分 18 分，每小题 6 分）
（多选）9．（6 分）已知 a，b，c 分别为△ABC 内角 A，B，C 的对边，下面四个结论正确的是（ ）
A．若 acsA＝bcsB，则△ABC 为等腰三角形
B．在锐角△ABC 中，不等式 sinA＞csB 恒成立
C．若 ，且△ABC 有两解，则 b 的取值范围是
D．若∠ABC＝120°，∠ABC 的平分线交 AC 于点 D，BD＝1，则 4a+c 的最小值为 9
【解答】解：A 中，由 acsA＝bcsB，由正弦定理可得 sinAcsA＝sinBcsB，即 sin2A＝sin2B，
所以 2A＝2B 或 2A+2B＝π，即 A＝B 或 A+B ，所以该三角形为等腰三角形或直角三角形，所以 A
不正确；
B 中，锐角△ABC 中，A+B ，所以 A B＞0，可得 sinA＞sin（ B）＝csB，即不等
式 sinA＞csB 恒成立，所以 B 正确；
C 中，若 ，且△ABC 有两解，则 asinB＜b＜a，即 3＜b＜2 ，即 b 的取值范围为（3，
2 ），所以 C 不正确；
D 中，因为∠ABC＝120°，且∠ABC 的平分线交 AC 于点 D，BD＝1，
可得 S△ABC acsinB a•BDsin c•BDsin ，
可得 ac＝a+c，即 1，a＞0，c＞0，
所以 4a+c＝（4a+c）•（ ）＝5 5+2 9，
当且仅当 ，即 c＝2a，即 a ，c＝3 时取等号，
所以 4a+b 的最小值为 9，所以 D 正确．故选：BD．
【点评】本题考查正弦定理的应用，三角形面积公式的应用，角平分线的性质的应用，基本不等式的性
质的应用，属于中档题．
5
（多选）10．（6 分）如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，M，N，P 分别是 AA1，CC1，C1D1
的中点，Q 是线段 D1A1 上的动点，则（ ）
A．存在点 Q，使 B，N，P，Q 四点共面
B．存在点 Q，使 PQ∥平面 MBN
C．三棱锥 P﹣MBN 的体积为
D．经过 C，M，B，N 四点的球的表面积为
【解答】解：如图，在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，连接 A1B， CD1，
因为 N，P 分别是 CC1，C1D1 的中点，所以 CD1∥PN，
又因为 CD1∥A1B，所以 A1B∥PN，
所以 A1，B，N，P 四点共面，即当 Q 与 A1 重合时，B，N，P，Q 四点共面，故选项 A 正确；
连接 PQ，A1C1，当 Q 是 D1A1 的中点时，因为 PQ∥A1C1，A1C1∥MN，所以 PQ∥MN，
因为 PQ⊄平面 BMN，MN⊂平面 BMN，所以 PQ∥平面 BMN，故选项 B 正确；
连接 DlM，DlN，DlB，因为 D1M∥BN，
所以 V 三棱锥 P﹣MBN＝V 三棱锥 M﹣PBN 1×1×2 ，
故选项 C 正确；
分别取 BB1，DD1 的中点 E，F，构造长方体 MADF﹣EBCN，
则经过 C，M，B，N 四点的球即为长方体 MADF﹣EBCN 的外接球，
设所求外接球的直径为 2R，则长方体 MADF﹣EBCN 的体对角线即为所求的球的直径，
即（2R）2＝AB2+BC2+CN2＝4+4+1＝9，
所以经过 C，M，B，N 四点的球的表面积为 4πR2＝9π，故选项 D 错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查了线面平行，三棱锥体积和长方体外接球的表面积计算，属于中档题．
6
（多选）11．（6 分）已知函数 f（x）＝xex，g（x）＝xlnx，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 f（x）与函数 g（x）有相同的极小值
B．若方程 f（x）＝a 有唯一实根，则 a 的取值范围为 a≥0
C．若方程 g（x）＝a 有两个不同的实根 x1，x2，则 x1x2＞a2
D．当 x＞0 时，若 f（x1）＝g（x2）＝t，则 x1x2＝t 成立
【解答】解：对于 A，f（x）＝xex，f'（x）＝（x+1）ex，
当 x＜﹣1 时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当 x＞﹣1 时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以 f（x）的极小值为 ， g（x）＝xlnx，g′（x）＝lnx+1，
时，g′（x）＜0，g（x）单调递减； 时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
所以 g（x）的极小值为 ，故 A 正确；
对于 B，若方程 f（x）＝xex＝a 有唯一实根，由于当 x→﹣∞时，f（x）→0，且 f（0）＝0，
结合 f（x）的单调性和最值可知，a≥0 或 ，故 B 错误；
对于 C，因为方程 g（x）＝a 有两个不同的实根 x1，x2，
假设 x1＞x2，则 a＜0， ，即 ，
两式相减得， ，
下面证对数均值不等式： ，即证 ，
设 ，即证 ，即证 ，
令 ，则 ，
则φ（m）在（1，+∞）单调递增，当 m＞1 时，φ（m）＞φ（1）＝0，得证．
所以 ，则 ，即 ，故 C 正确；
对于 D，当 x＞0 时，若 f（x1）＝g（x2）＝t，则 ⇒f（x1）＝f（lnx2），
显然 x1＞0，lnx2＞0，则 x1＝lnx2，则 x1x2＝x2lnx2＝t，故 D 正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的极值，函数的极值点偏移，属于难题．
三．填空题（共 3 小题，满分 15 分，每小题 5 分）
12．（5 分）A，B，C 三人计划假期去旅游，有甲、乙、丙、丁四个景点供选择，若每人随机选一个景点，
7
则三人选择的景点互不相同的概率为 ．
【解答】解：由题意，A，B，C 三人计划假期去旅游，有甲、乙、丙、丁四个景点供选择，若每人随
机选一个景点，不同的选择方案有 43＝64 种，
若三人选择的景点互不相同，则不同的选择方案有 种，
则三人选择的景点互不相同的概率为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查古典概型的应用，属于基础题．
13．（5 分）已知数列{an}满足 a1＝8，an+1﹣an＝n（n∈N*），则 取最小值时 n＝ 4 ．
【分析】利用“累加求和方法”可得 an，再利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵数列{an}满足 a1＝8，an+1﹣an＝n（n∈N*），
∴an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1
＝（n﹣1）+（n﹣2）+…+1+8
8，则 ，当且仅当 n＝4 时取等号．
∴ 取最小值时 n＝4．故答案为：4．
【点评】本题考查了数列递推关系、“累加求和方法”、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，
属于中档题．
14．（5 分）若关于 x 的方程 有实根，则 a2+b2 的最小值为 e2 ．
【答案】e2．
【 分 析 】 设 方 程 的 实 根 为 x0， 则 ， 推 导 出
．设点 P（a，b），则点 P 在直线 上．设点 O（0，0）到
直 线 的 距 离 为 d， 则 ， 设 ， 则
，利用导数性质能求出 a2+b2 的最小值．
【解答】解：关于 x 的方程 有实根，
设方程 的实根为 x0，则 ，
∴ ，∴ ．
8
设点 P（a，b），则点 P 在直线 上．
设点 O（0，0）到直线 的距离为 d，则 ，
设 ，则 ，
由 0，得 1，∴f（t）在 上单调递减，
由 0，得 x≥1，∴f（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴f（t）min＝f（1）＝e，则 d＝f（t）≥e，又 a2+b2＝|OP|2，由几何意义可知|OP|≥d，
∴a2+b2＝|OP|2≥e2．
检验：当 t＝1 时， ，由 ，解得 ，
由 ，解得 ，∴a2+b2 可以取到最小值 e2．
故答案为：e2．
【点评】本题考查对数方程、点到直线距离公式、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
本题也可以用柯西不等式分离出要求的目标。
四．解答题（共 5 小题，满分 77 分）
15．（13 分）已知函数 ，将函数 f（x）图象向左平移 个单位长度，得到函
数 g（x）的图象．
（1）求 g（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC 中，若 ，求△ABC 面积的最大值．
【解答】解：（1）
， 2 分
根据题意可知，将 的图象向左平移 个单位长度，
得到 csx， 4 分
因为 y＝csx 的单调递增区间是 2kπ﹣π≤x≤2kπ，k∈Z，
所以 g（x）的单调递增区间是[2kπ﹣π，2kπ]，k∈Z； 6 分
9
（2）已知 ，因为 0＜B＜π，所以 ，
由余弦定理 b2＝a2+c2﹣2accsB，则 ，即 12＝a2+c2﹣ac， 9 分
根据基本不等式 a2+c2≥2ac，所以 12＝a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac＝ac，当且仅当 a＝c 时取等号，即 ac≤12，
三角形面积公式 ac， 11 分
因为 ac≤12，所以 ，即△ABC 面积的最大值为 ． 13 分
【点评】本题考查了解三角形，属于中档题．
16．（15 分）已知 Sn 是数列{an}的前 n 项和， ．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{2n•an}的前 n 项和 Tn．
【解答】解：（1）由已知条件得，所以 ，①
当 n≥2 时， ，②
①﹣②得：
所以 an+2n﹣1＝nan﹣（n﹣1）an﹣1+1，所以 2（n﹣1）＝（n﹣1）an﹣（n﹣1）an﹣1，
所以 an﹣an﹣1＝2． 5 分
因为 a1＝1，所以{an}是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，
所以 an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1． 7 分
（2）由（1）得 ，
所以 ，
，
两式相减得 （3﹣2n）2n+1﹣6；
所以 ． 15 分
【点评】本题考查的知识点：数列的通项公式的求法，数列的求和，乘公比错位相减法的求和，主要考
查学生的运算能力，属于中档题．
17．（ 15 分 ） 如 图 ， 在 四 棱 锥 P﹣ ABCD 中 ， PD⊥平 面 ABCD， ∠ ADC＝ 90°， AB∥CD，
10
，M 为棱 PC 的中点．
（1）证明：BM∥平面 PAD．
（2）已知 PD＝1．
（i）求平面 PDB 与平面 BDM 夹角的余弦值．
（ii）在线段 PA 上是否存在点 Q，使得点 Q 到平面 BDM 的距离是 ？若存在，求出 的值；若不
存在，说明理由．
【解答】（1）证明：取 PD 的中点 N，连接 AN，MN，如图所示，
因为 M 为棱 PC 的中点，所以 MN∥CD， ，
因为 AB∥CD， ，所以 AB∥MN，AB＝MN，所以四边形 ABMN 是平行四边形，则 BM∥AN，
又 BM⊄平面 PAD，AN⊂平面 PAD，所以 BM∥平面 PAD； 4 分
（2）解：因为 PD⊥平面 ABCD，∠ADC＝90°，
所以 DA，DC，DP 两两垂直，以 D 为坐标原点，DA，DC，DP 所在直线分别为 x，y，z 轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
则 P（0，0，1），D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，2，0），B（1，1，0），
11
因为 M 为棱 PC 的中点，所以 ，
（i） ， ，设平面 BDM 的法向量为 ，
则由 ， ，可得 ，
令 z＝2，则 y＝﹣1，x＝1，可得 ，取 BD 的中点 E，连接 AE，易知 AE⊥平面 PDB，
即 是平面 PDB 的一个法向量， ，设平面 PDB 与平面 BDM 夹角为θ，
，
所以平面 PDB 与平面 BDM 夹角的余弦值为 ； 9 分
（ii）假设在线段 PA 上存在点 Q，使得点 Q 到平面 BDM 的距离是 ，
设 ，0≤λ≤1，则 Q（λ，0，1﹣λ）， ，
由（i）知平面 BDM 的一个法向量为 ，则 ，
所以点 Q 到平面 BDM 的距离是 ，
解得 ，即 ，所以存在点 Q 满足题意，此时 ． 15
分
【点评】本题考查线面平行的判定、面面角夹角的余弦值及点到平面的距离求法，属中档题．
18．（17 分）已知椭圆 经过点 ，C 的左、右焦点分别为 F1，F2，且
．
（1）求 C 的方程；
（2）若过点 的直线与 C 交于点 M，N，且线段 MN 的中点恰好为 Q，求直线 MN 的方程；
（3）若斜率为 k（k＞0）且不经过点 F1 的直线 l 与 C 交于不同两点 A，B，直线 AF1，l，BF1 的斜率成
等差数列，求 k 的取值范围．
【分析】（2）利用中点弦的相关知识求解即可；
12
（3）设直线 l 的方程为 y＝kx+m，与椭圆方程联立，由判别式大于零，得 2k2+1﹣m2＞0，再
由直线 AF1，l，BF1 的斜率成等差数列，可得 ，入 2k2+1﹣m2＞0，求解即可．
【解答】解：（1）设椭圆 C 的半焦距为 c，则 F1（﹣c，0），F2（c，0），
且点 满足 ，
即 ，
所以 c＝1，即 a2﹣b2＝1，因为点 P 在椭圆 C 上，所以 ，
联立 ，解得 a2＝2，b2＝1，所以椭圆 C 的方程为 ； 5 分
（2）设 M（x1，y1），N（x2，y2），则 ，
因为线段 MN 的中点为 ，所以 x1+x2＝2，y1+y2＝﹣1，
因为点 M、N 在椭圆 C 上，所以 ，
两式相减得 ，即 ，
所以 ，即直线 MN 的斜率为 1，
所以直线 MN 的方程为 ，即 ． 9 分
（3）设直线 l 的方程为 y＝kx+m，
联立 ，消去 y 得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，
由Δ＝16k2m2﹣4（2k2+1）（2m2﹣2）＞0，化简得 2k2+1﹣m2＞0，
设 A（x3，y3），B（x4，y4），则 ． 12 分
因为直线 AF1，l，BF1 的斜率成等差数列，所以 ，
即 ，整理得（m﹣k）（x3+x4+2）＝0，
因为 l 不经过点 F1，所以 ，
所以 ， 15 分
代入 2k2+1﹣m2＞0，得 ，所以 k 的取值范围是 ． 17 分
【点评】本题考查了直线与椭圆的综合，考查了方程思想及转化思想，属于中档题．
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19．（17 分）已知函数 的导函数为 f′（x）．
（1）当 a＝1 时，求 f（x）的图象在（0，f（0））处的切线方程；
（2）若 f′（x）有三个不同的零点，求实数 a 的取值范围；
（3）已知 ，若 h（x）在定义域内有三个不同的极值点 x1，x2，x3，且满足
，求实数 a 的取值范围．
【解答】解：（1）当 a＝1 时， ，则 f′（x）＝ex﹣x2+3，
因此 f（0）＝1，则 f′（0）＝4，
因此 f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程为 y﹣1＝4x，即 4x﹣y+1＝0． 4 分
（2）由题知，f′（x）＝aex﹣x2+3（a∈R），
因为 f′（x）有三个不同的零点，因此方程 aex﹣x2+3＝0 有三个不等实根，
化简可得方程 有三个不等实根，即可看成直线 y＝a 与曲线 有三个不同的交点，
，
因此当 x∈（﹣∞，﹣1）或 x∈（3，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；
当 x∈（﹣1，3）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
因此当 x＝﹣1 时，g（x）有极小值为 g（﹣1）＝﹣2e，当 x＝3 时，g（x）有极大值为 ，
当 x→+∞时，g（x）→0，且当 时，g（x）＞0，
因此作出函数 的图象如图 1 所示，
因此数形结合可知 ，即实数 a 的取值范围为 ． 9 分
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（3）由题知， ，其定义域为（0，+∞），
则 ，
令 h′（x）＝0，得 x＝1 或 ， 设 ，则 ，
当 x∈（0，1）时，φ′（x）＞0，因此φ（x）单调递增；
当 x∈（1，+∞）时，φ′（x）＜0，因此φ（x）单调递减，
又当 x→0 时，φ（x）→0；当 x→+∞时，φ（x）→0，且 ，
因此φ（x）的大致图象如图 2 所示，
因为 h（x）在定义域内有三个不同的极值点 x1，x2，x3，
因此φ（x）与 y＝a 有两个不同的交点，因此 ， 12 分
不妨设 x1＜x2＜x3，则 0＜x1＜1＝x2＜x3， 因此 ，因此
因此
，
令 ，则 ，
因为 y＝elna 在 上单调递增， 在 上单调递减，
因此 在 上单调递增，因此 ，
又 ，因此 p′（a）＞0，因此 p（a）在 上单调递增，
因为 ，因此当 时， 恒成立，
即当 时， 恒成立，
因此实数 a 的取值范围是 ． 17 分
【点评】本题考查利用导数求解函数的单调性和单调区间，属于难题．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复
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