浙江省温州市乐清市山海联盟2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷（解析版）-A4

这是一份浙江省温州市乐清市山海联盟2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷（解析版）-A4，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1. 下列常见的微信表情包中，属于轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的概念求解．
【详解】解：A．是轴对称图形，故本选项符合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，熟练掌握轴对称图形的概念是基础，找到对称轴是关键．
2. 一个三角形的两边长分别为3cm和8cm，则此三角形第三边长可能是（ ）
A. 3cmB. 5cmC. 7cmD. 11cm
【答案】C
【解析】
【详解】设第三边长为xcm，
∴8﹣3＜x＜3+8，即5＜x＜11，
故选：C．
3. 要说明命题“若，则”是假命题，能举的一个反例是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求对各选项进行判断即可．
【详解】解：A．时．满足，则，不能作为反例，错误；
B．时．满足，则，不能作为反例，错误；
C．时．满足，则，不能作为反例，错误；
D．时，,但，能作为反例，正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了命题与定理；熟记：要判断一个命题是假命题，举出一个反例就可以．
4. 为了测出池塘两端A，B的距离，小红在地面上选择了点O，D，C，使，，且点A，O，C和点B，O，D分别都在一条直线上，小红认为只要量出D，C的距离，就能知道，小红是根据来判断的，那么判定这两个三角形全等用到的基本事实或定理是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件两边，及两边的夹角是对顶角解答．
【详解】解：在和中，，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，准确识图判断出两组对应边的夹角是对顶角是解题的关键．
5. 若一个三角形三个内角度数的比为，那么这个三角形是（ ）
A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及三角形的分类．根据三角形的内角和是，列式即可求得最大内角的度数，然后判断三角形的形状．
【详解】解：∵一个三角形三个内角度数的比为，
∴最大内角的度数为，
∴该三角形是直角三角形，
故选：A．
6. 一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是三角形的外角性质，先根据题意求出，再根据三角形的外角性质计算，得到答案．
【详解】解：如图，
由题意得：，
则，
故选：D．
7. 如图，中边的垂直平分线分别交、于点D、E，，的周长为，则的周长是（ ）

A. 10cmB. 12cmC. 15cmD. 17cm
【答案】C
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线的性质，即可求得，，又由的周长为，即可求得的值，继而求得的周长．
【详解】解：中，边的垂直平分线分别交、于点、，，
，，
的周长为，
，
的周长为：．
故选：C．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
8. 如图，在中，，于D，， 则等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设为单位1，由，，根据所对的直角边等于斜边的一半得到的长，利用勾股定理求出的长，然后在直角三角形中，再次利用得到等于的一半，求出的长，在利用勾股定理求出的长，又在直角三角形中，同理可得等于的一半，求出的长，利用求出的和的长即可得到与的倍数关系．
【详解】解：设，，，则，
根据勾股定理得：，
，
为直角三角形，
又，
，
在直角中，根据勾股定理得：，
由，得到，，则，
，
则，即．
故选：B．
【点睛】此题考查学生掌握直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半以及勾股定理的应用．设出为单位1表示出其他各边是解本题的关键．
9. 如图，是的角平分线，，，，分别是和上的任意一点，连结，，则的最小值是（ ）
A. B. C. 10D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，
先根据等腰三角形的性质得出是的垂直平分线，可得，作，此时最小，最小值为，再根据三角形的面积相等求出即可．
【详解】∵，平分，
∴是的垂直平分线，
∴，，
根据勾股定理，得．
连接，过点A作，交于点Q，交于点P，此时最小，最小值为，
∵，
即，
∴．
故选：B．
10. 如图，A，B，C，D四个点顺次在直线l上，．以为底向下作等腰直角三角形，以为底向上作等腰三角形，且．连接，当的长度变化时，与的面积之差保持不变，则a与b需满足（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】过点作于点，过点作于点，先根据等腰三角形的性质可得，，利用勾股定理可得，再利用三角形的面积公式可得与的面积之差，然后根据“当的长度变化时，与的面积之差保持不变”建立等式，化简即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，
是等腰直角三角形，且，
，
是等腰三角形，且，
，
，
，
与的面积之差为
，
当的长度变化时，与的面积之差保持不变，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．
二、填空题（本题有8个小题，每小题3分，共24分）
11. 命题“有两个角互余的三角形是直角三角形”的逆命题是______．
【答案】直角三角形两个锐角互余
【解析】
【分析】命题“有两个角互余的三角形是直角三角形”的题设为三角形中有两个锐角互余，结论为这个三角形为直角三角形，然后交换题设与结论即可得到原命题的逆命题．
【详解】解：“有两个角互余的三角形是直角三角形”的逆命题“直角三角形的两个锐角互余”．
故答案为：直角三角形的两个锐角互余．
【点睛】本题考查了命题与定理，主要考查了逆命题，解决本题的关键是理解原命题与逆命题之间的关系和正确分析出题设与结论．
12. 如图，已知，要使，你添加的一个条件是______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形判定，根据题意三角形中，，根据，当时或当时即可，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴当时，，
当时，，
故答案为：或．
13. 一等腰三角形的底边长是12，腰长为10，则底边上的高是______．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理，由等腰三角形的性质得出，再由勾股定理计算即可得出答案，熟练掌握等腰三角形的性质是解此题的关键．
【详解】解：如图，在中，，，，
，
，
，
故答案为：．
14. 如图，在中，，，为中线，则与的周长之差的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形的中线，熟练掌握三角形中线的定义是解题的关键．
根据三角形中线的定义得到，再根据三角形周长公式计算即可．
【详解】解：∵为的中线，
∴，
∵，
∴与的周长之差为：，
故答案为： ．
15. 如果一个等腰三角形的一个内角为，那么它的一个底角为________度．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的定义是解题的关键．
根据题意，分类讨论：当顶角为时；当底角为时；由三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：当顶角为时，两个底角相等，
∴它的一个底角为：；
当底角为时，另一个底角也是，
∴顶角为，符合题意；
∴底角的度数为：或，
故答案为：或 ．
16. 如图，折叠，使直角边落在斜边上，点落到点处，已知，，则的长为________．
【答案】##
【解析】
【分析】此题重点考查翻折变换的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，由，，，求得，由折叠得，，则，由，求得答案．
【详解】解：∵的斜边为，
∴，
∵，，
∴，
由折叠得，，
∴，
∵，且，
∴，
解得，
故答案为：
17. 如图，为外一点，，平分的一个外角，．若，，则的长为________．

【答案】8
【解析】
【分析】设与延长线交于E点，根据等边对等角可得，根据证明，可得，从而可求、的长度，最后在中利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，设与延长线交于E点．
∵，
∴．
又∵平分，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理得到．
故答案：8．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，添加合适的辅助线、构造等腰三角形是解题的关键．
18. 如图，以各边为斜边分别向外作等腰直角三角形，已知点在线段上，，，记面积为，面积为，则的值为________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，勾股定理等知识，根据等腰三角形的定义和勾股定理求出，，，再根据勾股定理求出，，最后根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵是以为边的等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵是以为边的等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是以为边的等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：1．
三、解答题（本题有6个小题，共46分）
19. 填空：
已知：如图，，，，试说明．
解：∵（已知），
∴ ，即．
在和中，
∵
∴ ．
∴ （全等三角形的对应角相等）．
【答案】；；；已知；；
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的运用性质进行推理的能力，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．求出，根据推出，根据全等三角形的性质得出即可．
【详解】解：∵（已知），
∴，
即．
在和中，
∵
∴．
∴（全等三角形的对应角相等）．
故答案为：；；；已知；；．
20. 如图，网格中每个小正方格的边长都为1，点A、B、C在小正方形的格点上．
（1）画出与关于直线l成轴对称的；
（2）求的面积；
（3）求边上的高．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）边上的高为．
【解析】
【分析】（1）利用网格特点和轴对称的性质画出点A、B关于直线l的对称点即可；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积；
（3）先计算出的长，然后利用面积法求边上的高．
【小问1详解】
解：如图，为所作；
【小问2详解】
解：的面积；
【小问3详解】
解：设边上的高为h，
∵，
∴，
解得，
即边上的高为．
【点睛】本题考查了作图-轴对称变换：作轴对称后图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键（先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点）．也考查了勾股定理．
21. 求证:等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等.
【答案】见解析
【解析】
【分析】首先根据题意画出图形，再结合图形写出已知及求证的内容，然后利用已学知识进行证明．
【详解】已知：在△ABC中，AB=AC，点D是BC边的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
求证：DE=DF．
证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵点D是BC边的中点，
∴DB=DC．
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
在Rt△DEB与Rt△DFC中，
,
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（AAS），
∴DE=DF．
【点睛】考查命题的证明步骤，等腰三角形的性质及全等三角形的性质与判定．根据命题画出图形是解题的关键．
22. 如图，在中，，于，是斜边的中点．
（1）若，，求的长；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）；（2）45°
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理求出AB，再利用斜边上中线等于斜边一半，求出CM即可；
（2）根据已知条件，求出，在利用直角三角形锐角互余求出，再由等边对等角，则问题可解．
【详解】解：（1）在中，，
是中点，
（2） ，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上中线等于斜边一半、以及三角形内角和知识，解答关键是根据题意利用三角形的外角性质求解．
23. 如图，、为等边三角形，点为延长线上一点，
（1）求证：；
（2）当，时，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）的面积为
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的 性质与判定，勾股定理；
（1）根据等边三角形的性质得出，，，进而得出，即可证明；
（2）根据全等三角形的性质以得出，，进而得出，则，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，得出，然后根据三角形的面积公式，即可求解．
【小问1详解】
解：证明：∵，为等边三角形
∴，，
∴
∴
∴
【小问2详解】
解：∵等边三角形
∴，
∵
∴，
∴
过点作于点，
∴
∴
∴
所以的面积为．
24. 在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．比如：三个内角分别为，，的三角形是“智慧三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点．
（1） ；
（2）若．求证：为“智慧三角形”；
（3）当为“智慧三角形”时，请求出的度数．
【答案】（1）50 （2）为“智慧三角形”
（3）的度数为或或或
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和定理和外角性质，角的和差，直角三角形两锐角互余，理解题意并运用分类讨论思想解答是解题的关键．
（1）根据直角三角形两锐角互余即可求解；
（2）求出的度数，得到，据此即可证明；
（3）由可得，再分，，，，和六种情况解答即可求解．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：50；
【小问2详解】
证明：∵，，
∴
∴
∴为“智慧三角形”
【小问3详解】
解：分情况讨论：①当时，，，
∴；
②当时，，，故舍去；
③当时，，故舍去；
④当时，，
∴；
⑤当时，，；
⑥当时，，
∴；