湖北省武汉市江武昌区七校2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（解析版）-A4

这是一份湖北省武汉市江武昌区七校2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列字母能看成是轴对称图形有（ ）
A. FB. LC. AD. G
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
2. 以下面各组线段的长为边，能组成三角形的是（ ）．
A. 3，4，8B. 5，6，11C. 3，3，6D. 5，6，10
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形的三边关系定理：两边之和大于第三边，即两条较短的边的和大于最长的边即可．
【详解】A.，故不能构成三角形，故选项不符合题意；
B.，故不能构成三角形，故选项不符合题意；
C. ，故不能构成三角形，故选项不符合题意；
D. ，故能构成三角形，故选项符合题意．
故选D．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系定理，解题的关键是正确理解三角形的三边关系定理．
3. 下列图形中具有稳定性的有（ ）
A. 正方形B. 长方形C. 梯形D. 直角三角形
【答案】D
【解析】
【详解】由于三角形具有稳定性，所以正方形、矩形、平行四边形、直角三角形中具有稳定性的是直角三角形．
故选D．
4. 已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（ ）
A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°
【答案】C
【解析】
【分析】利用全等三角形的性质及三角形内角和可求得答案．
【详解】解：如图，
∵两三角形全等，
∴∠2=60°，∠1=50°，
∴∠α=180°-50°-60°=70°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
5. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是( )
A. 四边形B. 五边形C. 六边形D. 八边形
【答案】C
【解析】
【分析】此题可以利用多边形的外角和和内角和定理求解．
【详解】解：设所求多边形边数为n，由题意得
（n﹣2）•180°＝360°×2
解得n＝6．
则这个多边形是六边形．
故选C．
【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征：任何多边形的外角和都等于360°，n边形的内角和为（n﹣2）•180°．
6. 如图，点、在上，，，、相交于点，要使得，添加下列哪一个条件（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定方法依次进行判断即可．
【详解】解：A、添加，不能使得，不符合题意；
B、添加，不能使得，不符合题意；
C、添加，不能使得，不符合题意；
D、添加，利用，可以使得，符合题意；
故选：D．
7. 等腰三角形的周长为15，其中一边长为3，它的底边长为（ ）
A 3B. 5C. 9D. 3或9
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件；由等腰三角形的定义得①当是底边时，②当是腰长时，即可求解；理解定义，能根据定义进行分类讨论是解题的关键．
【详解】解：①当是底边时，
腰长为：，
三边为：、、满足题意；
底边长为；
②当是腰长时，
底边为：，
三边为：、、，
，
、、不能构成三角形，
故此种情况不存在；
综上所述：底边长为．
故选：A．
8. 如图，电信部门要修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等．发射塔应该修建在（ ）
A. 、两角的角平分线的交点
B. 的角平分线与线段的垂线平分线的交点
C. 的角平分线与线段的垂线平分线的交点
D. 、两角的角平分线分别与线段的垂线平分线的交点
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，作图应用与设计作图．由线段垂直平分线的性质可知：要两个城镇，的距离，发射塔必须建在线段的垂直平分线上，再根据角平分线的性质可知要到两条高速公路和的距离相等需要建在的平分线上，即可知发射塔要在两线的交点位置．
【详解】解：要发射塔到两个城镇，的距离相等，发射塔必须建在线段的垂直平分线上，要到两条高速公路和的距离相等需要建在的平分线上，
发射塔应该修建在的平分线和线段的垂直平分线的交点处．
故选：B．
9. 平面直角坐标系中，已知，，若在坐标轴上取点，使为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了点的坐标，等腰三角形的性质．先根据点，的坐标求出与轴的交点为线段的中点，然后分两种情况进行讨论：（1）当点在轴上时，又有以下三种情况：①以点为圆心，以为半径画弧交轴于点，，②以点为圆心，以的长为半径画弧交轴于点，③过点作交轴于，（2）当点在轴上时，又有以下两种情况：①以点为圆心，以为半径画弧交轴于点，，②以点为圆心，以为半径画弧交轴于点，，综上所述可得出答案．
【详解】解：，，
，，
的中点坐标为，
与轴的交点即为的中点，
在坐标轴上取点，使为等腰三角形，
有以下两种情况：
（1）当点在轴上时，又有以下三种情况：
①以点为圆心，以为半径画弧交轴于点，，如图1所示：
此时，，
和均为等腰三角形，则点和点为所求的点；
②以点为圆心，以的长为半径画弧交轴于点，如图2所示：
此时，
为等腰三角形，则点为所求的点；
③过点作交轴于，连接，如图3所示：
点为的中点，
为线段的垂直平分线，
，
为等腰三角形，则点为所求的点．
综上所述：当点在轴上时，满足条件点有4个．
（2）当点在轴上时，又有以下两种情况：
①以点为圆心，以为半径画弧交轴于点，，如图4所示：
此时，，
和均为等腰三角形，则点和点为所求的点，
②以点为圆心，以为半径画弧交轴于点，，如图5所示：
此时，，
和均为等腰三角形，则点和点为所求的点．
综上所述：当点在轴上时，满足条件点有4个．
在坐标轴上取点，使为等腰三角形，则满足条件的点的个数是8个．
故选：D．
10. 如图，在中，，是角平分线，它们相交于点O，，若D是上一点，，则度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，与角平分线有关的三角形内角和问题，三角形外角的性质等知识．明确角度之间的数量关系是解题的关键．
根据，即，解得，则，，，由，可得，由，求的值，然后根据，计算求解即可．
【详解】解：∵，是角平分线，
∴，，，，
∴，即，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
解得，，
∴，
故选：B．
二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）
11. 点关于轴对称的点的坐标为____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标．根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答即可．
【详解】解：点关于轴对称点的坐标为．
故答案为：．
12. 若一个多边形从一个顶点出发可引出6条对角线，则这个多边形是 _____边形．
【答案】九
【解析】
【分析】根据多边形的一个顶点引出的对角线的条数与边数的关系解决此题．
【详解】解：任意n边形的一个顶点可引出的对角线的条数为条．
∴．
∴．
∴这个多边形是九边形．
故答案为：九．
【点睛】本题主要考查多边形的对角线，熟练掌握多边形的一个顶点引出的对角线的条数与边数的关系是解决本题的关键．
13. 如图的三角形纸片中，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△ADE的周长为 _____．
【答案】7
【解析】
【分析】本题主要考查了折叠的性质，熟练掌握折叠前后对应线段相等，对应角相等是解题的关键．根据折叠的性质，可得，从而，再由的周长，即可求解．
【详解】解：∵沿过点的直线折叠这个三角形，使得点落在边上的点处，
，
，
，
的周长．
故答案为：
14. 已知中，于点，则___________．
【答案】或
【解析】
【分析】根据题意，分类讨论，当顶角为钝角和锐角两种情况，画出图形，取的中点，连接，证明是等边三角形，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，取的中点，连接，
∵于点，
∴，，
∴
∴是等边三角形，
∴，
∴

如图所示，取的中点，连接，
∵于点，
∴，，
∴
∴是等边三角形，
∴，
∴

故答案为：或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识，分类讨论是解题的关键．
15. 如图，在四边形中，，且平分．若，则的度数为________．
【答案】##18度
【解析】
【分析】本题考查了三角形的外角的性质和角平分线的性质．分别延长，，过点作，，，然后根据三角形的外角的性质和角平分线的性质进行解答即可．
【详解】解：分别延长，，过点作，，，
，，
，
，
，，
又平分，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
16. 如图，在中，，分别平分和， P是上一点，，已知．当取最小值时，___________________．（用含m，n的式子表示）
【答案】
【解析】
【分析】由题意知，，，如图，作关于的对称点，连接，，，则，当三点共线时，和最小， 如图，过作于，交于，则是和的最小值，证明是等边三角形，则，，是等边三角形，，由，可得，然后作答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵分别平分和，
∴，，
如图，作关于的对称点，连接，，，
∴，，
∴当三点共线时，和最小，
如图，过作于，交于，则是和的最小值，
由对称的性质可得，，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形，轴对称的性质，三角形内角和定理．熟练掌握等边三角形的判定与性质，轴对称的性质是解题的关键．
三、解答题（共8小题，共72分）
17. △ABC中，AD⊥BC于D，∠B＝∠1，∠C＝65°．求∠B、∠BAC的度数．
【答案】∠B＝45°，∠BAC＝70°．
【解析】
【分析】根据已知条件可得，则，结合可得，再根据三角形的内角和定理得求解即可得.
【详解】
（三角形的内角和定理）
又
由三角形的内角和定理得.
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，熟记三角形的内角和定理是解题关键.
18. 用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的的两边上，分别截取，再分别过点M、N作、的垂线，交点为P，画射线，试说明平分．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，根据已知条件得出，根据全等三角形的性质得到，即平分．
【详解】证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴．
∴，即平分．
19. 如图，，，的垂直平分线交于点，求的度数．

【答案】的度数是．
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，线段的垂直平分线等知识点的应用．根据线段垂直平分线得出，求出，根据，推出，根据三角形的内角和定理求出，根据，代入求出即可．
【详解】解：是的垂直平分线，
，
，
，
设，则，
即，
解得：，
，
，
答：的度数是．
20. 如图，为等边三角形，为上一点，，分别为及其延长线上一点，，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识．过点作交于点，证明为等边三角形，推出，再证明，由可得，即可求解．
【详解】证明：过点作交于点，
为等边三角形，
，，
∴，
，
∴，
为等边三角形，
，
，，
，
，，
，
，
，
在和中，，
，
．
21. 尺规作图：有一块土地形状是三角形，其中，．
（1）在图1中，要把这块三角形的土地均匀分给甲、乙两家农户，要使这两家农户所得土地是面积相等的等腰三角形，请用无刻度直尺和圆规画出分法；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在图2中，要把这块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户，要使这三家农户所得土地的大小、形状都相同，请用无刻度直尺和圆规画出分法．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图—线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质、三角形全等的判定与性质、三角形中线的性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）以、为圆心，大于的长度为半径画弧，相交于两点，连接两点交于，连接，、即为所求；
（2）以、为圆心，大于的长度为半径画弧，相交于两点，连接两点交于，交于，连接，、、即为所求．
【小问1详解】
解：如图，、即为所求，
，
由作图可得：为的中点，
，
，
为的中线，
，，
、均为等腰三角形且面积相等；
【小问2详解】
解：如图，、、即为所求，
，
由作图可得：垂直平分，
，，，
，
，
在中，，，
，
，，
，
，
，
、、即为所求．
22. 如图，在中，，为延长线上一点，为上一点，．
（1）求证：；
（2）若是的中线，交于点，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】此题重点考查等腰三角形的性质、等角的补角相等、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）由，得，因为，，所以，由，得，所以；
（2）作交的延长线于点，则，而，且，所以，可证明，得，所以，再证明，得．
【小问1详解】
证明：，
，
，，
，
，
，
；
【小问2详解】
证明：作交的延长线于点，则，，
，且，
，
是的中线，
，
在和中，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
23. （1）如图1，学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．如果在一个三角形中，两个角不等，那么它们所对的边有什么大小关系呢？猜想：在中，如果，则 （填写“＞”“＜”或“＝”），请证明你的猜想；
（2）如图2，在中，平分交于点，连接，．判断与的大小关系，并证明；
（3）如图3，在中，，的角平分线，交于点，若，则 ．
【答案】（1）>，见解析；（2），见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）在上截取，连接，则，由，得，因为，所以，于是得到问题的答案；
（2）延长到点，使，连接，则，因为，所以，再证明，得，所以；
（3）在上截取，连接，可证明，则，，所以，由，得，则，作于点，于点，则，所以，则，于是得到问题的答案．
【详解】解：（1），
证明：如图1，在上截取，连接，则，
，
，
，
，
故答案为：；
（2），
证明：如图2，延长到点，使，连接，则，
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）如图3，在上截取，连接，
，的角平分线，交于点，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，，
，
作于点，于点，
平分，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题重点考查等腰三角形性质、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角、三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
24. 如图，点Aa,0，，满足，若点P为射线上异于原点O和点A的一个动点．
（1）如图1，
①直接写出点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
②当点P位于点O与点A之间时，连接，以线段为边作等腰直角（P为直角顶点，B，P，E按逆时针方向排列），连接．求证：；
（2）点D是直线上异于点A与点B的一点，使得，过点D作交y轴于点F，探究，，之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）①；②见解析
（2），见解析
【解析】
【分析】（1）①根据平方和绝对值的非负性，求出a和b的值，即可得出点A和点B的坐标；②通过证明，得出，则，再推出，即可得出，即可求证；
（2）根据题意进行分类讨论：①当点在线段上，过点作交延长线与点，通过证明，得出，即可得出结论；②当点在延长线上，过点作交延长线与点，通过证明，得出，即可得出结论．
【小问1详解】
解：①∵，
∴，
解得：，
∴点A的坐标为1,0，点B的坐标为0,1，
故答案为：1,0，0,1；
②证明：过点作交轴于点
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即；
【小问2详解】
解：①当点在线段上，
过点作交延长线于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②当点在延长线上，
过点作交延长线于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等绝对值的非负性，三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键．