北京市首都师范大学附属中学（通州校区）2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试卷

这是一份北京市首都师范大学附属中学（通州校区）2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试卷，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图，矩形的四个顶点分别在直线上．若直线且间距相等，交直线于点G，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A．两个矩形B．两个菱形C．两个正方形D．两个等腰梯形
3．已知是二次函数，且函数图象有最高点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（ ）
A．B．C．D．
5．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（ ）
A． B．
C． D．
6．某商场购进一批文创商品，进价为每件20元．当售价为每件28元时，每周可卖出160件；售价每降低1元，每周销量增加20件，设每件售价为x元，每周利润为y元，y与x的函数关系式为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知抛物线的图象如图所示，则（ ）
A．，B．C．D．
8．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系（）．下图记录了某运动员起跳后的与的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为
A．B．C．D．
二、填空题
9．黄金分割被视为最美丽的几何学比例，并广泛地用于建造和雕刻中，令人惊奇的是许多植物的叶片从上往下看时，相邻两片叶子错开的角度是按照图1所示的黄金比来排列的．如图2，为满足上述规律的某植物，设相邻两片叶子错开的角度为α，则α的度数约为 （结果保留到）．
10．如图，在中，点D、E分别在边上，，若，则
11．的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形，其最长边为16，则的周长是 ．
12．一条抛物线以直线为对称轴，且对称轴左侧部分是下降的，这条抛物线的解析式可以是 ．（写出一个即可）
13．若函数的图象与轴只有一个公共点，则实数的取值是 ．
14．二次函数图象的顶点坐标是 ．
15．如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是米，跨度是米，在线段上离中心处米的地方，桥的高度是 米
16．已知二次函数的图象与x轴的交点坐标为，，有下列结论：①；②若点，，均在该二次函数的图象上，则；③若方程的两个实数根为，且，则；④若m为任意实数，则，其中正确的结论有 ．
三、解答题
17．如图，已知二次函数（）与一次函数的图象相交于，两点．
(1)求，的值并写出两解析式．
(2)求点的坐标
(3)求．
18．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：
(1)这个二次函数的解析式是______；
(2)在给定平面直角坐标系中画出这个二次函数图象．
(3)当时，结合函数图象，直接写出的取值范围．
19．用一段长为米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为米，设矩形菜园的一边长为米，如图所示．
(1)若矩形菜园的面积为平方米，求此时的值；
(2)设矩形菜园的面积为平方米，
①列出与的函数关系式；
②当为多少时，菜园面积最大？最大面积是多少？
20．小明是一位羽毛球爱好者，在一次单打训练中，小明对“挑球”这种击球方式进行路线分析，球被击出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，击球点到球网的水平距离．
小明在同一击球点练习两次，球均过网，且落在界内．
第一次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度（单位：与水平距离（单位：近似满足函数关系．
第二次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度（单位：与水平距离（单位：的几组数据如下：
根据上述信息，回答下列问题：
(1)直接写出击球点的高度；
(2)求小明第二次练习时，羽毛球的飞行高度与水平距离满足的函数关系式；
(3)设第一次、第二次练习时，羽毛球落地点与球网的距离分别为，，则 （填“”，“ ”或“” ．
21．在平面直角坐标系中，点 在抛物线 上．设抛物线的对称轴为直线x=t．
(1)若 ，求t的值；
(2)若当 时，都有 求t的取值范围．
22．如图，平行四边形中，点E为边上任意一点（不与点C、D重合），连接并延长与的延长线交于点F．
(1)图形中有哪几对相似三角形？请分别写出来．
， ， ，
(2)若，，求的长及的值．
水平距离
0
1
2
3
4
飞行高度
1.1
1.6
1.9
2
1.9
《北京市首都师范大学附属中学（通州校区）2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试卷》参考答案
1．A
【分析】本题考查平行线分线段成比例，矩形的性质，根据平行线分线段成比例定理，可得．再由矩形的性质得出，即可求解．
【详解】解：如图，作于点F，交于点E．
由已知可得，，，
，
，
∵，
∴．
∵四边形是矩形，，
∴，
∴．
故选A．
2．C
【分析】本题主要考查了相似图形的定义，根据相似图形的定义，四条边对应成比例，四个角对应相等，对各选项分析判断后利用排除法解答．
【详解】解：A、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故不符合题意；
B、两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；
C、两个正方形，对应角相等，对应边一定成比例，一定相似，故符合题意；
D、两个等腰梯形对应角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意；
故选：C．
3．D
【分析】本题考查二次函数的定义及图象的性质，根据二次函数的定义和开口方向的条件，即可确定k的值．
【详解】解：∵是二次函数，且函数图象有最高点，
∴二次函数图象开口向下，
∴，且，
解得：，且 或，
∴，
则的值为．
故选：D．
4．B
【分析】本题考查了二次函数的平移规律，根据“左加右减，上加下减”的平移规律进行解答即可．
【详解】解：∵将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度
∴得到的抛物线的解析式为
即，
故选：B
5．B
【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系；理解函数与方程的联系是解题的关键．
由图知抛物线与x轴交于点，代入，求出m的值，再解方程即可．
【详解】解：由图知，抛物线与x轴交于点，
将代入，得，
∴，
∴原方程为，
解得：；
故选：B．
6．A
【分析】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，根据每周的利润=每件商品的利润×销售量，列出函数关系式即可．
【详解】解：由题意得：．
故选：A．
7．D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握数形结合的思想．
根据抛物线开口向上，且经过原点得到，则，再由对称轴在轴右侧，直线左侧，得到，继而得到，，，即可求解．
【详解】解：由图象可得，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
8．B
【详解】分析： 根据抛物线的对称性即可判断出对称轴的范围.
详解：设对称轴为，
由（，）和（，）可知，，
由（，）和（，）可知，，
∴，
故选B．
点睛：考查抛物线的对称性，熟练运用抛物线的对称性质是解题的关键.
9．
【分析】本题考查的是黄金分割的含义，根据黄金分割的含义可得：，进一步求解即可．
【详解】解：根据题意，得，
∴，
解得：．
故答案为：
10．
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是由，得，再由相似三角形的性质得，求出线段的长，计算即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
故答案为：．
11．36
【分析】本题主要考查三角形相似时周长比等于相似比，能够熟练运用性质是解题关键．利用三角形相似的性质解题即可．
【详解】解：∵与相似，
∴相似比为：，
∴周长的比为：，
∵的周长为：，
∴的周长为：，
故答案为：．
12．（答案不唯一）
【分析】本题考查构造二次函数，根据对称轴左侧部分是下降的，得到，进而根据顶点时，写出一个符合题意的二次函数即可．
【详解】解：设，
∵抛物线对称轴左侧部分是下降的，
∴，
∴满足题意的抛物线可以为；
故答案为：（答案不唯一）
13．或
【分析】此题考查了函数图象与轴只有一个公共点，熟练掌握二次函数根的判别式为，分类讨论是解题关键．
分和两种情况解答，当时，是一次函数；当时，，解方程即可．
【详解】解：关于的函数的图象与x轴仅有一个公共点，
∴当时，
，
解得，
当时，是一次函数，图象与轴只有一个公共点，
故答案为：或．
14．
【分析】本题考查了二次函数图像顶点的求法，掌握解析式的变形是解答本题的关键．
将表达式变形为顶点式即可得到顶点坐标．
【详解】解：，
∴顶点坐标是．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，建立合适的坐标系，求出相应的抛物线解析式．先建立合适的平面直角坐标系，然后求出抛物线的解析式，再将代入解析式求出相应的的值即可．
【详解】解：建立平面直角坐标系，如右图所示，
由题意可得，点的坐标为，点的坐标为，
设抛物线的解析式为，
点在该抛物线上，
∴，
解得：，
抛物线的解析式为，
将代入，得：，
即在线段上离中心处米的地方，桥的高度是米，
故答案为：．
16．①②③
【分析】本题综合考查二次函数的图象与性质、二次函数的对称性、二次函数与一元二次方程的关系等知识点．利用交点式确定二次函数表达式，结合开口方向分析系数符号判断①； 根据对称轴与点的位置关系判断函数值大小，判断②； 根据平移后的二次方程根的分布与原函数交点的关系，判断③；根据二次函数最小值与不等式的关系，判断④．
【详解】解：二次函数与轴交点为和，
设表达式为：，
∵，
∴，
∴，故结论①正确．
对称轴为直线，开口向上，函数值随离对称轴距离增大而增大：
到对称轴距离为3，3到对称轴距离为1，6到对称轴距离为4，
∴，结论②正确．
方程的解是对应函数向下平移1个单位后的图象与轴交点的横坐标，
原函数在和处与轴相交，平移后交点必在原交点外侧，即且．结论③正确．
二次函数最小值在顶点处取得：，
若m为任意实数，则，即．结论④错误．
综上，正确的有①②③．
故答案为：①②③．
17．(1)，，，
(2)
(3)3
【分析】本题考查了二次函数与一次函数综合问题，解一元二次方程．
（1）根据待定系数法即可求得；
（2）解析式联立，解一元二次方程即可求得B的坐标；
（3）设直线与y轴的交点为G，则，利用求得的面积．
【详解】（1）解：∵过点，
∴，解得，
∵一次函数的图象过点，
∴，
解得，
∴，；
（2）∵二次函数与一次函数的图象相交于，两点，
∴，
解得：（舍去），，
∴，
∴B的坐标为；
（3）设直线与y轴的交点为G，则，
∴．
18．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质．
（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为，则可设顶点式，然后把点代入求出a即可；
（2）利用描点法画二次函数图象；
（3）根据、4时的函数值，结合图象即可写出y的取值范围．
【详解】（1）解：根据表格数据可得：二次函数的顶点坐标为，
设二次函数的解析式为：，
把点代入，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为，即；
（2）解：如图所示：
；
（3）解：当时，，
当时，，
当时，有最小值，
当时，的取值范围是．
19．(1)的值为
(2)当时，菜园面积最大，最大面积是平方米
【分析】此题主要考查了二次函数及一元二次方程的应用，应注意配方法求最大值在实际中的应用．
（1）设矩形菜园的一边长为米，则矩形菜园的另一边长为米，根据矩形菜园的面积为平方米列出一元二次方程，解方程即可得到答案；
（2）①根据题意和（1）可得与的函数关系式；
②求出的取值范围，根据二次函数的性质即可得到答案．
【详解】（1）解：设矩形菜园的一边长为米，则矩形菜园的另一边长为米，
由题意可得，
解得，，
当时，，
当时，，
∵墙长为米，
∴，
即的值为．
（2）解：①由题意可得，
即与的函数关系式为：；
②∵墙长为米，
∴，
解得：，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
即当时，菜园面积最大，最大面积是平方米．
20．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握待定系数法是解题的关键．
（1）令中，求出的值即可（或由表格信息直接得出）；
（2）根据表格信息，设出抛物线解析式，利用待定系数法求出解析式即可；
（3）分别利用第一次练习和第二次练习时的抛物线解析式求出羽毛球落地点与球网的距离分别为，，再比较即可．
【详解】（1）解：当时，，
故击球点的高度为；
（2）由表格信息可知，第二次练习时，抛物线的顶点为，
设抛物线的解析式为：，
过点，
，
解得，
抛物线的解析式为：，
（3）第一次练习时，当时，．
解得，（舍去），
，
第二次练习时，当时，．
解得，（舍去），
，
，
，
故答案为：
21．(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）把点的坐标代入解析式求得，然后利用对称轴公式即可求得；
（2）由题意可知点在对称轴的左侧，在对称轴的右侧，点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为，分两种情况讨论，得到关于的不等式组，解不等式组从而求得的取值范围．
【详解】（1）解： 点在抛物线上，
，
，
；
（2）解：，
抛物线开口向上，
当时，随的增大而增大，
当时，都有，
点在对称轴的左侧，在对称轴的右侧，
点，，在抛物线上，
点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为，
当时，则，解得，
；
当时，，不符合题意；
当时，则，解得，
∴；
综上所述，t的取值范围为．
22．(1)；；；；
(2)，
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
（1）根据题意和图形可以直接写出图中的相似三角形；
（2）根据，，平行四边形的性质和相似三角形的性质可以求得的长及的值．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，，，，，
∴；
故答案为：；；；；；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
A
C
D
B
B
A
D
B