北京市陈经纶中学分校2025--2026学年上学期九年级数学10月考试卷

这是一份北京市陈经纶中学分校2025--2026学年上学期九年级数学10月考试卷，共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．关于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上
B．对称轴为直线
C．可以由的图象向左平移2个单位得到
D．当时，随的增大而增大
2．将抛物线向下平移个单位后得到的抛物线恰好与轴仅有一个交点，则的值为（ ）
A．B．1C．3D．
3．下列命题中正确的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于这条弦
B．两个相等的圆心角所对的弧一定相等
C．直径是一个圆中最长的弦
D．同圆中两条等弦所对的弧相等
4．如图，是的直径，是的弦，连接，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．已知二次函数，函数值y与自变量x的部分对应值如表：
当时，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．或D．或
6．在中，，，以为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（ ）
A．点在内B．点在上
C．直线与相切D．直线与相离
7．下列抛物线一定与轴有两个不同交点的是（ ）
A．B．
C．D．
8．如果一个圆的内接三角形有一边的长度等于半径，那么称其为该圆的“半径三角形”．给出下面四个结论：
①一个圆的“半径三角形”有无数个；
②一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形；
③当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是，或；
④若一个圆的半径为，则它的“半径三角形”面积最大值为．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．①②④
二、填空题
9．抛物线的顶点坐标是 ．它由抛物线平移得到，则的值是 ．
10．函数图象上的两个不同点，则的大小关系是 ．
11．若△ABC内接于⊙O，OC=6cm，AC=cm，则∠B等于 ．
12．如图，，，分别切于点．若，则的周长为 ；若，则 ．
13．如图，正六边形内接于，，则正六边形的周长为 ，面积为 ．
14．如图，在中，，以点为圆心、为半径画弧交． 于点，连接，若，则图中弧的长为 ，阴影部分的面积是 ．
15．无论非零实数m取何值，抛物线一定经过的定点的坐标是 ．
16．如图，中，，，，D是上一点，E是上一点，，若以为直径的圆交于M、N点，则的最大值为 ．
三、解答题
17．已知：，为射线上一点．
求作：，使得点在射线上，且．
作法：①以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点，交射线的反向延长线于点；
②以点为圆心，长为半径画弧，交于点；
③连接，交射线于点．就是所求作的三角形．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明：
证明：连接，
∵点B，E，F在上，
∴． （__________________________）（填写推理的依据）．
∵在中，，
∴_________．
∴．
18．在平面直角坐标系中，已知抛物线与两点，若抛物线与线段仅有1个交点，求a的取值范围．
19．如图，△ABC内接于⊙O，高AD经过圆心O．
（1）求证：；
（2）若，⊙O的半径为5，求△ABC的面积．
20．小明在“生活中的数学”探究活动中，经过市场调查，研究了某种商品的售价、销量、利润之间的变化关系．小明整理出该商品的相关数据如下表所示．
已知该商品的进价为每件10元，设销售该商品的每天利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
21．如图，小林和小伟在玩沙包游戏．沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小林和小伟分别站在点和点处，测得距离为．若以点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小伟在距离地面的点处将沙包抛出，小林在点处接住，运动轨迹如图中；然后小林跳起将沙包回传，运动轨迹如图中．轨迹中，测得沙包的水平距离（单位：）与竖直高度（单位：）的几组数据如下：
请根据以上数据，解决问题：
(1)①抛物线中，沙包运行的最高点距离地面的高度是______；
②求与满足的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)已知小林跳起将沙包回传的运动轨迹近似满足函数关系式：．小伟在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内接到了沙包，则的取值范围是______．
22．已知：如图，是的直径，是的弦，过O作于点G，过点C作的切线交的延长线于点P，连接PD．
(1)求证：是的切线；
(2)连接、．若，，，求的长．
23．在平面直角坐标系中，抛物线（）．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)若当时，函数图象的最高点为P，点P的纵坐标为24，求二次函数的表达式；
(3)若直线与抛物线其中一个交点的横坐标为2，过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，且点M在点N的下方．当线段的长度随m的增大而减少时，求m的取值范围．
24．在平面直角坐标系中，的半径为，是与圆心不重合的点，点关于的限距点的定义如下：若为直线与的一个交点，满足，则称为点关于的限距点，如图1为点及其关于的限距点的示意图．
(1)当的半径为时．
①分别判断点，，关于的限距点是否存在？若存在，求其坐标；
②如图2，点的坐标为，，分别切于点，，点在的边上．若点关于的限距点存在，写出点的横坐标的取值范围____________________．
(2)保持（1）中，，三点不变，点在的边，上沿的方向运动，的圆心的坐标为，半径为，若点关于的限距点不存在，则的取值范围为____________________．
x
…
0
1
2
3
…
y
…
18
8
2
0
2
…
时间x（天）
售价（元/件）
70
每天销量（件）
水平距离
0
2
4
6
8
竖直高度
1.0
2.5
3.0
2.5
1.0
《北京市陈经纶中学分校2025--2026学年上学期九年级数学10月考试卷》参考答案
1．D
【分析】本题考查了二次函数的性质．
根据二次函数顶点式的性质，分析开口方向、对称轴、平移规律及增减性即可．
【详解】解：函数中，二次项系数，因此开口向下，选项A错误；
顶点式为，对称轴为直线，选项B错误；
原函数向右平移2个单位得到，而非向左平移，选项C错误；
开口向下时，对称轴左侧（）函数值随增大而增大，选项D正确；
故选：D ．
2．C
【分析】本题主要考查了抛物线的平移问题．根据“上加下减，左加右减”的规律写出平移后抛物线的解析式，再由平移后的抛物线恰好与轴仅有一个交点，可得平移后的抛物线的顶点在x轴上，即可求解．
【详解】解：根据题意得：平移后的抛物线解析式为，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为，
∵平移后的抛物线恰好与轴仅有一个交点，
∴平移后的抛物线的顶点在x轴上，
∴，
∴．
故选：C
3．C
【分析】本题考查了圆的基本性质．
根据圆的基本性质逐一分析即可．
【详解】解：A．平分弦（直径除外）的直径垂直于这条弦，原命题错误；
B．同圆或等圆中，两个相等的圆心角所对的弧一定相等，原命题错误；
C．直径是一个圆中最长的弦，正确；
D．若一条是劣弧，另一条是优弧，则弧长不等，原命题错误；
故选：C．
4．B
【分析】本题考查圆周角定理、直径的性质等知识，连接，利用直径的性质，可知，根据角的和差求出，再根据圆周角定理即可解决问题．
【详解】解：连接，
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
5．A
【分析】本题考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
根据表格数据，利用二次函数的对称性判断出时与时的函数值相同，观察表格发现∶当时，y随着x的增大而减小，当时，y随着x的增大而增大，即可得出当时，x的取值范围．
【详解】解：根据表格可知抛物线经过点，
对称轴为，
设抛物线经过点，
则，
解得∶，
观察表格发现：当时，y随着x的增大而减小，当时，y随着x的增大而增大，
当时，x的取值范围是．
故选∶A．
6．C
【分析】本题考查点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，等腰三角形的性质，熟练掌握点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系是解题的关键，过点作于，利用等腰三角形的性质得到，则利用勾股定理可求出，然后根据点与圆的位置关系的判定方法对选项A、B进行判断，根据直线与圆的位置关系对C、D进行判断即可得到答案．
【详解】解：过点作于，如图，
∵
∴，
在中，，
∵，
∴点在外，则A不符合题意；
∵，
∴点在外，则B不符合题意；
∴，，
∴直线与相切， 则C符合题意；D不符合题意；
故选：C．
7．C
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题．
当时，抛物线与x轴有两个不同交点，逐一根据计算后判断即可．
【详解】解：A．，无交点，不符合题意；
B．， ，无交点，不符合题意；
C．，必有两个不同交点，符合题意；
D．，仅有一个交点，不符合题意；
故选：C．
8．C
【分析】根据圆的“半径三角形”的概念判断①②；根据圆周角定理、等腰三角形的概念判断③；根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，求出的最大面积，判断④．
【详解】如图，，即的长度等于半径，
，即的长度等于半径，
以为边的圆的内接三角形有无数个，故①结论正确；
为等边三角形，
，
当点在优弧上时，，
当点在劣弧上时，，
当点在圆上移动时，可能是，
一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形，直角三角形或钝角三角形，故②正确；
由以上可知，可以是或，
当，时，
，
当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是，或，
故③正确；
过作于，
，
，
当点为优弧的中点时，的面积最大，
，
故④错误；
故选：C
【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆，圆周角定理，等腰三角形的性质，灵活运用分情况讨论思想是解本题的关键．
9．
【分析】本题考查了将一般式化为顶点式，顶点坐标，二次函数图象的平移．
先将一般式化为顶点式，再根据顶点式的性质，二次函数的平移规律作答即可．
【详解】解：．
可知抛物线的顶点坐标是，它由抛物线平移得到，则的值是．
故答案为：，．
10．
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由函数解析式可得二次函数图象开口向下，顶点坐标为，当时，函数取最大值，进而根据二次函数的性质即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵函数，
∴二次函数图象开口向下，顶点坐标为，
即当时，函数取最大值，
∵点在二次函数图象上，
∴点为抛物线的顶点，为二次函数的最大值，
∵点是图象上的两个不同点，
∴，
故答案为：．
11．60°或120°；
【分析】①连接OA，OC，过O作OD⊥AC于D，求出CD、AD，由勾股定理求出OD，求出∠ACO推出∠AOC=120°，根据圆周角定理求出∠B=∠AOC，代入求出即可．②同样可求出∠D=60°，根据圆内接四边形性质求出∠ABC=120°．
【详解】如图1所示：
①连接OA，OC，过O作OD⊥AC于D，
∵OD⊥AC，OD过圆心O，
∴AD=CD=AC=3，
由勾股定理得：OD==3，
即OD=OC，
∴∠DCO=30°，∠COD=60°，
同理∠AOD=60°，
∵∠B=∠AOC，
∴∠B=60°．
②如图所示：
∵由垂径定理得CM═3 ，OC=6，由勾股定理得：OM=3，
∴∠OCM=30°，
∴∠MOC=60°，
∴∠AOC=2∠MOC=120°，
由圆周角定理得：∠D=60°，
∵A、D、C、B四点共圆，
∴∠ABC=120°，
故答案是：60°或120°．
【点睛】考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理、含30度角的直角三角形和三角形的外接圆等知识点的应用，关键是求出∠AOC的度数．
12．
【分析】本题考查了角平分线的判定，三角形内角和定理，切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角，掌握切线长定理是解答本题的关键．
（1）根据切线长定理，由，，分别切于，，点得，，，然后三角形周长的定义得到的周长，然后用等线段代换后得到的周长，即可解答；
（2）由三角形内角和定理得到，则，连接，根据角平分线的判定得到平分，平分，则，再由三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：（1），，分别切于，，点，
，，，
的周长
；
（2）∵，
∴，
∴
，
连接，
∵，，分别切于点，
∴，
∵，
∴平分，平分，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了正多边形与圆．
连接，，根据正六边形的性质可得，进而可得是等边三角形，则得，即可求出正六边形的周长，再求出等边的面积，进而可求解．
【详解】解：连接，，过F点作于点H，如图：
六边形是正六边形，
，
，且，
是等边三角形，且边长，
∴正六边形的周长，，
∴，
等边的面积为：，
正六边形的面积为：，
故答案为：，．
14．
【分析】本题考查等腰直角三角形、平行四边形的性质、扇形的面积公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
过点D作于点F，根据弧长公式可求出弧的长；根据等腰直角三角形的性质求得，从而求得，最后由结合扇形面积公式、平行四边形面积公式、三角形面积公式解题即可．
【详解】解：如图，过点D作于点F，
∵，，
∴是等腰直角三角形，，
∴弧的长为，，，
∴
．
故答案为：；
15．，
【分析】本题考查二次函数图象过定点问题，解决此类问题：首先根据题意，化简函数式，提出未知的常数，化简后再根据具体情况判断．
把含的项合并，只有当的系数为0时，不管取何值抛物线都通过定点，可求、的对应值，确定定点坐标．
【详解】解：∵，
，
∴当时，与的取值无关，
即或时，不管取何值时都通过定点，
当时，，
当时，，
故不管取何值时都通过定点或．
故答案为：，．
16．
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理以及轨迹等知识，如图，作于H，于K，由题意，，推出欲求的最大值，只要求出的最小值即可．
【详解】如图，连接，作于H，于K，
，
，
，
，
，
欲求的最大值，只要求出的最小值即可，
，
点O的运动轨迹是以C为圆心，为半径的圆，
在中，，，
，
，
，
当C、O、H共线，且与重合时，的值最小，
的最小值为，
的最小值为，
故答案为：．
17．(1)见解析
(2)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；
【分析】本题主要考查了作图-复杂作图，圆周角定理等知识点，掌握圆周角定理和同弧或等弧所对圆心角相等是解答本题的关键．
（1）根据题干描述即可直接作图．
（2）根据圆周角定理和同弧或等弧所对圆心角相等即可填空．
【详解】（1）解：如图即为所求．
（2）证明：如图，连接，
∵点B，E，F在上，
∴（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）．
∵在中，，
∴．
∴．
故答案为：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，．
18．
【分析】本题考查二次函数的图象与性质．分别把A、B点的坐标代入得a的值，根据二次函数的性质得到a的取值范围．
【详解】解：∵抛物线与线段仅有1个交点，
∴抛物线对称轴为直线（即y轴），开口向上，
把代入得：；
∴；
把代入得：；
∴，
当抛物线经过点时，，此时抛物线与直线的另一个交点为，该点不在线段上，故只有一个交点，所以符合题意；当抛物线经过点时，，此时抛物线与直线的另一个交点为，该点在线段上，故有两个交点，不符合题意；结合二次函数图象的性质可知，当的取值在和之间时，抛物线与线段仅有1个交点
综上，a的取值范围为．
19．（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据垂径定理可得AD垂直平分BC，即可证明结论；
（2）连接OB，根据勾股定理可得，得出，利用三角形面积公式求解即可．
【详解】证明：（1）在⊙O中，
∵ OD⊥BC于D，
∴ BD=CD，
∴ AD垂直平分BC，
∴ AB=AC；
（2）连接OB，如图所示：
∵BC=8，由（1）得BD=CD，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ △ABC的面积：，
∴ △ABC的面积为32．
【点睛】题目主要考查垂径定理的应用，垂直平分线的性质，勾股定理等，理解题意，综合运用各个定理性质是解题关键．
20．(1)
(2)该商品第10天时，当天销售利润最大，最大利润是3200元
【分析】（1）当时，每天利润y等于每件利润乘以每天的销售量，化简即得；当时，每天利润y等于每件利润乘以每天的销售量，化简即得；
（2）当时，二次函数，根据，得到当时，；当时，根据中y随x的增大而减小，得到当时，，比较两个最大值得到该商品销售第10天时，当天销售利润最大，最大利润是3200元．
【详解】（1）当时，，
当时，，
综上所述：y与x的函数关系式为；
（2）当时，
二次函数，
∵，
∴当时，，
当时，
中y随x的增大而减小，
∴当时，，
综上所述，该商品第10天时，当天销售利润最大，最大利润是3200元．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的应用——利润问题，解题的关键是熟练掌握“每天利润=每件利润×每天的销售量”，根据二次函数的顶点确定二次函数的最值，根据一次函数的增减性和自变量的取值范围确定一次函数的最值．
21．(1)（1）①3；②
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
（1）①根据表中数据即可得到结论；②设抛物线的解析式为，把代入解方程即可得到结论；
（2）根据题意得到接球位置的坐标范围是，把这两点代入函数解析式分别得到和，于是得到结论．
【详解】（1）解：①由表中数据可得抛物线的最高点坐标为，
∴抛物线中，沙包运行的最高点距离地面的高度是3m，
故答案为：3；
②设抛物线的解析式为，
把代入得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
故与满足的函数解析式．
（2）∵小伟在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内接到了沙包，
∴此时，接球位置的坐标范围是，
当经过点，，
解得：，
当经过点时，，
解得：，
∴b的取值范围是．
故答案为：．
22．(1)证明见详解
(2)
【分析】本题考查了切线的判定定理，全等三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理．熟练掌握切线的判定定理，全等三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理是解题的关键．
（1）先利用切线性质得到，再由垂径定理，推出，然后通过证，根据全等三角形对应角相等，得，即，从而证明是切线．
（2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和求出，，进而求出，再由可知，然后根据所对直角边等于斜边一半得出，设为，根据勾股定理列出 方程，最后求解即可．
【详解】（1）证明：是的切线，
，即，
，
，
在与中：
，
，
，即，
又是的半径，
是的切线．
（2）解： ，，
，
，
，，
，
，
，
由（1）可知，
，
设为，
在中，
，即
解得，（不合题意，舍去）
即，
．
23．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．
（1）根据对称轴的公式，进行计算即可；
（2）根据对称轴是直线，得出时取得最大值，将代入二次函数中，求出，即可得出答案；
（3）先求出，得出二次函数解析式为，求出直线与二次函数的两个交点的横坐标为，根据点在点的下方，得出的取值范围是．表示出．根据二次函数的性质，结合线段的长度随的增大而减小，得出的取值范围是，从而得出m的取值范围即可．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线；
（2）解：，抛物线的对称轴是直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，
∴当时，函数值最大，
∴
将代入二次函数中，
得，
解得，
二次函数表达式为．
（3）解：把代入中，得，
将代入中，
得，
解得，
，
令，
解得，
点在点的下方，
的取值范围是．
点的坐标可分别表示为，，
．
，对称轴为直线，
当线段的长度随的增大而减小时，的取值范围是．
综上所述，的取值范围是．
24．(1)①点M、T不存在关于的限距点，点N存在关于的限距点，该点的坐标为；
②；
(2)
【分析】（1）点P关于半径为的圆存在限距点的条件是，利用限距点的定义解答：
连接圆心O和点M、T、N，分别求出点M、T、N与圆心O的距离，再减去半径，这个差就是，利用限距点的定义可判断得出结论；
②按点P在边、与边及与点D重合三种情况分类讨论，在边上时，作出点并求出点运动的范围，进而求出其横坐标的最大值和最小值；在边上或在边上时，画出图形，依据限距点的定义判断即可；特别的点P与点D重合时符合新定义，从而得出结论；
（2）先证明是等边三角形，再说明点C是等边三角形的中心，即点C到三边的距离相等，只需考虑点P存在限距点时r最小的情况，根据限距点的定义，列出相应的不等式组，即可求解．
【详解】（1）解：∵的半径为，
∴点P关于半径为的圆存在限距点的条件是．
点存在关于的限距点，理由：
如图1，连接、、，分别交于点、、，
∵，，，，
∴，，，
∴，，，，
∴点M、T不存在关于的限距点，点N存在关于的限距点，该点的坐标为；
如图2，交于点G，交于点H，连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接交x轴于点Q，设点P的横坐标为
∵、分别切于点E、F，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∵连接并延长交于点，连接并延长交于点，
∴根据圆的对称性可得，，
设横坐标为
当点P在边上，的延长线交于点，则在劣弧上运动，当点P与点H重合时，的最小值为，横坐标为；当点P与点E或F重合时，的最大值为，横坐标为；则，满足
∴存在限距点，且横坐标为取值范围是；
如图3，当点P在边上，且不与点D、E重合时，射线交于两点、，
∵，即，
∴，，
∴，，
∵点P关于半径为的圆存在限距点的条件是．
∴此时不存在点P的限距点；
同理，当点P在边上，且不与点D、E、F重合时，不存在点P的限距点；
综上所述，点P关于的限距点P'的横坐标x的取值范围是，
故答案为：；
（2）解：如图，过点C作于点M，
∵圆心C的坐标为，
∴，
∵，
∴，
由（1）可得，
∴，
∴，
∵点P关于的限距点不存在，
∴或，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，垂径定理，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，点的坐标的特征与性质，本题是新定义型题目，理解新定义并熟练运用是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
D
C
C
B
A
C
C
C