2025-2026学年天津市武清区杨村八中九年级上学期第一次月考数学试题

这是一份2025-2026学年天津市武清区杨村八中九年级上学期第一次月考数学试题，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．抛物线的对称轴是（ ）
A．直线B．直线C．直线D．直线
3．方程的根为（ ）
A．B．，
C．，D．，
4．下列关系中，是二次函数关系的是（ ）
A．当距离S一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系；
B．在弹性限度时，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系；
C．圆的面积S与圆的半径r之间的关系；
D．正方形的周长C与边长a之间的关系；
5．关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．有实数根D．没有实数根
6．将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（ ）
A．B．C．D．
7．若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
8．已知关于x的一元二次方程的解是，，则另一个关于x的方程的解是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
9．在平面直角坐标系中，已知抛物线，将该抛物线沿y轴翻折所得的抛物线的表达式为（ ）
A．B．C．D．
10．电影《长安三万里》上映以来，全国票连创佳绩，据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，将增长率记作，则方程可以列为( )
A．B．C．D．
11．在“探索二次函数的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式，则的最大值等于（ ）
A．B．C．2D．5
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝8，点P是AB边上直面的一个动点，过点P作PD⊥AB交直角边于点D，设AP为x，△APD的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．关于的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则的值为 ．
14．已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，则h的值为 ．
15．若m，n是关于x的方程x2-3x-3＝0的两根，则代数式m2+n2-2mn＝ ．
16．某村为提高当地“村”总决赛的热度，发起了邀请好友转发海报得门票的活动．小方从公众号转发链接给自己后，又转发给x个好友，收到链接的每个好友又转发给x个互不相同的人，此时小方的这条链接共被转发133次，刚好满足领取门票的资格，则可列方程为 ．
17．新定义：为二次函数（，，，为实数）的“图象数”，如：的“图象数”为，若“图象数”是的二次函数的图象与轴只有一个交点，则的值为 ．
18．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为其中为实数)．当的长最小时，的值为 ．
三、解答题
19．解方程：
(1)；
(2)．
20．综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案：
(1)求方案一中与墙垂直的边的长度；
(2)要使方案二中花圃的面积为，求与墙平行的边的长度为多少米？
21．已知一个二次函数的图象如图所示，根据图象可得：
(1)二次函数的解析式为 ；
(2)函数图象的顶点坐标为 ；
(3)图象的对称轴为直线 ；
(4)当 时，有最大值是 ；
(5)当 时，随的增大而增大．
22．已知x1、x2是关于x的方程x2–2（m+1）x+m2+5=0的两个不相等的实数根．
(1)求实数m的取值范围；
(2)已知等腰△ABC的一边长为7，若x1、x2恰好是△ABC另外两边长，求这个三角形的周长．
23．如图，抛物线的顶点为C（1，4），交x轴于点A，B ( -1，0 ) 两点，交y轴于点D．
(1)求抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标，
(2)判断△ACD的形状，并求出△ACD的面积．
24．“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人．
(1)求该市参加健身运动人数的年均增长率；
(2)为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数．
25．已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值；
(3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围．
方案一
方案二
如图，围成一个面积为的矩形花圃．
如图，固成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）．
《天津市武清区杨村八中2025-2026学年上学期九年级第一次月考数学试卷》参考答案
1．C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义逐项分析判断即可求解．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
【详解】解：A、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、当时，方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、方程是一元二次方程，故本选项符合题意．
D、方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．B
【分析】本题考查了二次函数的顶点式，解题的关键是熟知顶点式与对称轴的关系．直接由二次函数的顶点式得到对称轴．
【详解】
解：，函数的对称轴为直线，
故选：B
3．D
【分析】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活选择是关键．利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：
则
∴或
解得，
故选：D
4．C
【详解】A.路程=速度×时间,所以当路程一定时,汽车行驶的时间t与速度v之间是一次函数的关系;
B.弹簧的长度y是随着物体的质量x增大而增长的,是一次函数关系;
C.圆的面积=πr2,所以圆的面积S与圆的半径r之间是二次函数关系;
D. 正方形的周长C=边长a×4, 故C与边长a之间是一次函数关系；
故选C.
点睛：本题主要考查的是二次函数的定义，根据题意列出函数关系式是解题的关键.
5．C
【分析】本题考查的知识点是根据判别式判断一元二次方程根的情况，解题关键是熟练掌握根的判别式与一元二次方程根的关系．
先求出该一元二次方程根的判别式，再由时，一元二次方程有两个不等实数根；时，一元二次方程有两个相等实数根；时，一元二次方程无实数根即可得解．
【详解】解：关于的一元二次方程中，
，
该方程有两个实数根．
故选：．
6．B
【详解】=（x-1）2+2，向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为y=(x-1-3)2+2+2，即y=(x-4)2+4，
故选B.
【点睛】本题主要考查二次函数图象与几何变换，解题的关键是用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
7．B
【分析】本题主要考查了二次函数图像上点的坐标特征，利用二次函数的增减性求出对称轴是解题的关键．先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性以及点到对称轴的距离解答．
【详解】解：对称轴为直线，
，
∴时，随的增大而减小，时，随的增大而增大，
∵点到对称轴的距离为，
点到对称轴的距离为，
点到对称轴的距离为，
，
∴，选项B符合题意；
故选： B．
8．B
【分析】本题考查了一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．换元法解一元二次方程，令，则方程即为方程，根据题意可得方程的解是，；则或，据此求解即可．
【详解】解：令，则方程即为方程，
∵方程的解是，
∴方程的解是，，
∴或，
解得，，，
∴方程的解是，，．
故选：B．
9．B
【分析】把抛物线沿y轴翻折后，抛物线的开口方向不变，顶点（2，1）关于y轴对称的顶点为(-2，1)，则可得翻折后的抛物线的解析式．
【详解】∵，
∴顶点坐标为(2，1)，开口向上，
∴抛物线沿y轴翻折后顶点坐标为(-2， 1)，此时抛物线的开口向上，
∴抛物线沿y轴翻折所得的抛物线的表达式为，
化简后为：．
故选：B．
【点睛】本题考查了求抛物线关于y轴对称后的解析式，点关于y轴对称，把二次函数的一般式化为顶点式等知识，关键是抓住抛物线的开口方向与顶点坐标翻折后的变化．
10．D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设增长率记作，分别求得三天的收入，根据三天后累计票房收入达10亿元，列方程即可求解．
【详解】解：设增长率记作，依题意，
故选：D．
11．C
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，根据坐标系中的四个点画出二次函数的图象，根据图象判断经过A、D、C三点的抛物线当时，y的值最大，利用待定系数法求得二次函数的系数即可求解．
【详解】解：∵A、B、C的纵坐标相同，
∴抛物线不会经过A、B、C三点，
∴抛物线经过可能经过A、D、C或者B、D、C或者A、B、D，
如图，经过A、D、C三点的抛物线，当时，y的值最大，
把代入得
，
解得，
∴经过A、D、C三点的抛物线的解析式为，
当时，，
故的最大值等于2，
故选：C．
12．B
【分析】分点在上和上两种情况进行讨论即可．
【详解】解：，，，
，，
当点在上时，；
当点在上时，如图所示，
，，
，
又∵，
，
，
该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分为抛物线开口向下．
故选：B．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，有一定难度，解题关键是注意点在上这种情况．
13．-3
【分析】先将一元二次方程化为一般式，再根据一元二次方程的定义和不含一次项得出且，继而求解即可．
【详解】解：，
，
，
一元二次方程化为一般形式后不含一次项，
且，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程化为一般式和一元二次方程的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．
14．3
【分析】本题考查二次函数的图象与性质．，时，对称轴为，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，可知对称轴为，进而可得的值．
【详解】解：∵二次函数，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
∴抛物线的对称轴为直线，
故，
故答案是：3．
15．21
【分析】先根据根与系数的关系得到m+n＝3，mn＝﹣3，再根据完全平方公式变形得到m2+n2﹣2mn＝（m+n）2﹣4mn，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵m，n是关于x的方程x2-3x-3＝0的两根，
∴m+n＝3，mn＝﹣3，
∴m2+n2﹣2mn＝（m+n）2﹣4mn＝32﹣4×（﹣3）＝21．
故答案为：21．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．
16．
【分析】本题考查一元二次方程的应用－传播问题．个好友转发给个互不相同的人时，转发了次，加上小方转给自己的1次和转给好友的次，共133次，由此可列方程．
【详解】解：由题意得，，
故答案为：．
17．或2/2或
【分析】根据新定义得到二次函数的解析式为，然后根据判别式的意义得到，从而解的方程即可．
【详解】解：由题意得：二次函数的解析式为，
，
解得：，，
故答案为：或2．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．
18．//
【分析】由两点间的距离公式可得出关于的二次函数关系式，利用配方法结合二次函数的性质即可得出当取最小值时的值．
【详解】解：由两点间的距离公式可知：，
∵，
∴当时，最小．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，定理求两点距离，掌握二次函数的性质是解题的关键．
19．(1)，；
(2)，．
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法．
（1）先整理，写成的形式，然后利用开平方法解答；
（2）方程整理后，再利用因式分解的方法求解．
【详解】（1）解：整理得，，
开方得，，
解得，；
（2）解：，
整理得，，
因式分解得，，即，
∴或，
解得：，．
20．(1)方案一中与墙垂直的边的长度为15米；
(2)当与墙平行的边的长度为33米时，方案二中花圃的面积为．
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用．
（1）设与墙垂直的边为，根据矩形周长（栅栏总长）表示出与墙平行的边，再结合面积公式列方程求解．
（2）设与墙平行的边为，根据栅栏总长和出口情况表示出与墙垂直的边，从而得出关于的一元二次方程，据此求解即可．
【详解】（1）解：设与墙垂直的边的长度为，则与墙平行的边的长度为，
根据题意得，
解得
答：方案一中与墙垂直的边的长度为15米；
（2）解：设与墙平行的长度为，
根据题意得，
整理得，即，
解得，
答：当与墙平行的边的长度为33米时，方案二中花圃的面积为．
21．(1)；
(2)；
(3)；
(4)，；
(5)．
【分析】本题考查的知识点是从二次函数图象获取信息、待定系数法求二次函数解析式，解题关键是从二次函数图象中获取正确信息．
（1）由题意得，该二次函数的图象过点、、，设该二次函数的解析式为，将代入解析式即可得解；
（2）从二次函数图象即可得解；
（3）从二次函数图象即可得解；
（4）从二次函数图象即可得解；
（5）从二次函数图象即可得解．
【详解】（1）解：依题意得，该二次函数的图象过点、、，
设该二次函数的解析式为，
将代入解析式，
得，
，
该二次函数的解析式为，
故答案为：；
（2）解：由图得，函数图象的顶点坐标为，
故答案为：；
（3）解：由图得，图象的对称轴为直线，
故答案为：；
（4）解：由图得，当时，有最大值是，
故答案为：，；
（5）解：由图得，时，随的增大而增大，
故答案为：．
22．(1)m>2；(2)三角形的周长为17．
【分析】(1)由根的判别式即可得；
(2)由题意得出方程的另一根为7,将x=7代入求出x的值，在根据三角形三边之间的关系判断可得答案.
【详解】(1)由题意得Δ=＞0，解得m＞2；
(2)由题意，∵≠时，∴只能取=7或=7，即7是方程的一个根，
将x=7代入得：49–14（m+1）++5=0，解得m=4或m=10，
当m=4时，方程的另一个根为3，此时三角形三边分别为7、7、3，周长为17；
当m=10时，方程的另一个根为15，此时不能构成三角形；
故三角形的周长为17．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式, 三角形三边之间的关系，熟练掌握韦达定理是解题的关键.
23．(1)，D点坐标为（0，3）
(2)△ACD是以AC为斜边的直角三角形，3
【分析】（1）先把抛物线解析式设为顶点式，代入点B坐标求出解析式即可求出点D的坐标；
（2）先求出点A的坐标，然后利用勾股定理的逆定理判断△ACD的形状，据此求解即可；
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为（1，4），
∴可设抛物线解析式为，
∵与轴交于点B（-1，0），
∴，解得，
∴抛物线解析式为，
∵抛物线交y轴于点D，
∴D点坐标为（0，3）；
（2）解：由顶点C坐标(1，4)可知对称轴是直线x=1，点B(-1，0)和点A是对称点，
∴点A(3，0)，
，
∴△ACD是以AC为斜边的直角三角形．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与y轴的交点，勾股定理的逆定理，两点距离公式，三角形面积等等，正确求出抛物线解析式是解题的关键．
24．(1)该市参加健身运动人数的年均增长率为
(2)购买的这种健身器材的套数为200套
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（2）设购买的这种健身器材的套数为套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【详解】（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为，
由题意得：，
解得：（不符合题意，舍去），
答：该市参加健身运动人数的年均增长率为；
（2）解：∵元，
∴购买的这种健身器材的套数大于100套，
设购买的这种健身器材的套数为套，
由题意得：，
整理得：，
解得：，
当时，售价元（不符合题意，故舍去），
答：购买的这种健身器材的套数为200套．
25．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质，
（1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式；
（2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可；
（3）分为，时，时，建立方程解题即可．
【详解】（1）解：设二次函数的解析式为，把代入得，
解得，
∴；
（2）解：点B平移后的点的坐标为，
则，解得或（舍），
∴m的值为；
（3）解：当时，
∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去；
当时，
∴最大值与最小值的差为，符合题意；
当时，
最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意；
综上所述，n的取值范围为．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
D
C
C
B
B
B
B
D
题号
11
12








答案
C
B