2025年湖南省长沙市芙蓉区中考联考数学试题含解析

这是一份2025年湖南省长沙市芙蓉区中考联考数学试题含解析，共24页。试卷主要包含了计算的正确结果是等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．工信部发布《中国数字经济发展与就业白皮书（2018）》）显示，2017年湖北数字经济总量1.21万亿元，列全国第七位、中部第一位．“1.21万”用科学记数法表示为（ ）
A．1.21×103 B．12.1×103 C．1.21×104 D．0.121×105
2．如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点E，F，G，H分别在矩形ABCD各边上，且AE=CG，BF=DH，则四边形EFGH周长的最小值为（ ）
A．5B．10C．10D．15
3．多项式4a﹣a3分解因式的结果是（ ）
A．a（4﹣a2） B．a（2﹣a）（2+a） C．a（a﹣2）（a+2） D．a（2﹣a）2
4．某种超薄气球表面的厚度约为，这个数用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
5．下列各式中，不是多项式2x2﹣4x+2的因式的是（ ）
A．2B．2（x﹣1）C．（x﹣1）2D．2（x﹣2）
6．计算的正确结果是（ ）
A．B．-C．1D．﹣1
7．某经销商销售一批电话手表，第一个月以550元/块的价格售出60块，第二个月起降价，以500元/块的价格将这批电话手表全部售出，销售总额超过了5.5万元．这批电话手表至少有（ ）
A．103块B．104块C．105块D．106块
8．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（ ）．
A．B．C．D．
9．如图，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，D为BC的中点，将△ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则sin∠BED的值是（ ）
A．B．C．D．
10．一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6，投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率为（ ）．
A． B． C． D．
11．如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是（ ）
A．B．
C．D．
12．如图所示，直线a∥b，∠1=35°，∠2=90°，则∠3的度数为（ ）
A．125°B．135°C．145°D．155°
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A4n+1（n为自然数）的坐标为 （用n表示）
14．已知抛物线与直线在之间有且只有一个公共点，则的取值范围是__．
15．在一个不透明的袋子里装有一个黑球和两个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球，两次都摸到黑球的概率是__________.
16．如图，在矩形ABCD中，顺次连接矩形四边的中点得到四边形EFGH．若AB=8，AD=6，则四边形EFGH的周长等于__________．
17．从﹣2，﹣1，1，2四个数中，随机抽取两个数相乘，积为大于﹣4小于2的概率是__．
18．如图，矩形ABCD中，AB=3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为____________．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）学校为了提高学生跳远科目的成绩,对全校500名九年级学生开展了为期一个月的跳远科目强化训练。王老师为了了解学生的训练情况,强化训练前,随机抽取了该年级部分学生进行跳远测试,经过一个月的强化训练后,再次测得这部分学生的跳远成绩,将两次测得的成绩制作成图所示的统计图和不完整的统计表(满分10分,得分均为整数).
根据以上信息回答下列问题:训练后学生成绩统计表中n,并补充完成下表:
若跳远成绩9分及以上为优秀,估计该校九年级学生训练后比训练前达到优秀的人数增加了多少?经调查,经过训练后得到9分的五名同学中,有三名男生和两名女生,王老师要从这五名同学中随机抽取两名同学写出训练报告,请用列表或画树状图的方法,求所抽取的两名同学恰好是一男一女的概率.
20．（6分）甲、乙两人在玩转盘游戏时，把两个可以自由转动的转盘A，B都分成3等份的扇形区域，并在每一小区域内标上数字（如图所示），游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，若指针所指两个区域的数字之和为3的倍数，则甲获胜；若指针所指两个区域的数字之和为4的倍数，则乙获胜．如果指针落在分割线上，则需要重新转动转盘．请问这个游戏对甲、乙双方公平吗？说明理由．
21．（6分）如图1，在正方形ABCD中，E是边BC的中点，F是CD上一点，已知∠AEF＝90°．
（1）求证：；
（2）平行四边形ABCD中，E是边BC上一点，F是边CD上一点，∠AFE＝∠ADC，∠AEF＝90°．
①如图2，若∠AFE＝45°，求的值；
②如图3，若AB＝BC，EC＝3CF，直接写出cs∠AFE的值．
22．（8分）如图，建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距40m的D处观测旗杆顶部A的仰角为50°，观测旗杆底部B的仰角为45°，求旗杆AB的高度．（参考数据：sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，tan50°≈1.19）
23．（8分）元旦放假期间，小明和小华准备到西安的大雁塔（记为A）、白鹿原（记为B）、兴庆公园（记为C）、秦岭国家植物园（记为D）中的一个景点去游玩，他们各自在这四个景点中任选一个，每个景点被选中的可能性相同．求小明选择去白鹿原游玩的概率；用树状图或列表的方法求小明和小华都选择去秦岭国家植物园游玩的概率．
24．（10分）已知AC，EC分别为四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在△ABC内，∠CAE+∠CBE=1．
（1）如图①，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF．
i）求证：△CAE∽△CBF；
ii）若BE=1，AE=2，求CE的长；
（2）如图②，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且时，若BE＝1，AE=2，CE=3，求k的值；
（3）如图③，当四边形ABCD和EFCG均为菱形，且∠DAB=∠GEF=45°时，设BE=m，AE=n，CE=p，试探究m，n，p三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程）
25．（10分）小明随机调查了若干市民租用共享单车的骑车时间t（单位：分），将获得的数据分成四组，绘制了如下统计图（A：0＜t≤10，B：10＜t≤20，C：20＜t≤30，D：t＞30），根据图中信息，解答下列问题：这项被调查的总人数是多少人？试求表示A组的扇形统计图的圆心角的度数，补全条形统计图；如果小明想从D组的甲、乙、丙、丁四人中随机选择两人了解平时租用共享单车情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲的概率．
26．（12分）小明、小刚和小红打算各自随机选择本周日的上午或下午去扬州马可波罗花世界游玩．
小明和小刚都在本周日上午去游玩的概率为________；
求他们三人在同一个半天去游玩的概率．
27．（12分）已知一次函数y＝x+1与抛物线y＝x2+bx+c交A（m，9），B（0，1）两点，点C在抛物线上且横坐标为1．
（1）写出抛物线的函数表达式；
（2）判断△ABC的形状，并证明你的结论；
（3）平面内是否存在点Q在直线AB、BC、AC距离相等，如果存在，请直接写出所有符合条件的Q的坐标，如果不存在，说说你的理由．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、C
【解析】分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
详解：1.21万=1.21×104，
故选：C．
点睛：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2、B
【解析】
作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH周长取最小值，过点G作GG′⊥AB于点G′，如图所示，
∵AE=CG，BE=BE′，
∴E′G′=AB=10，
∵GG′=AD=5，
∴E′G=，
∴C四边形EFGH=2E′G=10，
故选B．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路径问题，矩形的性质等，根据题意正确添加辅助线是解题的关键．
3、B
【解析】
首先提取公因式a，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【详解】
4a﹣a3=a（4﹣a2）=a（2﹣a）（2+a）．
故选：B．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．
4、A
【解析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
，
故选：A．
本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
5、D
【解析】
原式分解因式，判断即可．
【详解】
原式＝2（x2﹣2x+1）＝2（x﹣1）2。
故选：D．
考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
6、D
【解析】
根据有理数加法的运算方法，求出算式的正确结果是多少即可．
【详解】
原式
故选：D.
此题主要考查了有理数的加法的运算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加
数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得1．③一个数同
1相加，仍得这个数．
7、C
【解析】
试题分析：根据题意设出未知数，列出相应的不等式，从而可以解答本题．设这批手表有x块，
550×60+（x﹣60）×500＞55000 解得，x＞104 ∴这批电话手表至少有105块
考点：一元一次不等式的应用
8、B
【解析】
试题分析：作点P关于OA对称的点P3,作点P关于OB对称的点P3,连接P3P3,与OA交于点M,与OB交于点N,此时△PMN的周长最小．由线段垂直平分线性质可得出△PMN的周长就是P3P3的长，∵OP=3，∴OP3=OP3=OP=3．又∵P3P3=3，,∴OP3=OP3=P3P3,∴△OP3P3是等边三角形, ∴∠P3OP3=60°，即3（∠AOP+∠BOP）=60°，∠AOP+∠BOP=30°,即∠AOB=30°，故选B．
考点：3．线段垂直平分线性质；3．轴对称作图．
9、B
【解析】
先根据翻折变换的性质得到△DEF≌△AEF，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得到∠BED=CDF，设CD=1，CF=x，则CA=CB=2，再根据勾股定理即可求解．
【详解】
∵△DEF是△AEF翻折而成，
∴△DEF≌△AEF，∠A=∠EDF，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠EDF=45°，由三角形外角性质得∠CDF+45°=∠BED+45°，
∴∠BED=∠CDF，
设CD=1，CF=x，则CA=CB=2，
∴DF=FA=2-x，
∴在Rt△CDF中，由勾股定理得，
CF2+CD2=DF2，
即x2+1=（2-x）2，
解得：x=，
∴sin∠BED=sin∠CDF=．
故选B．
本题考查的是图形翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形外角的性质，涉及面较广，但难易适中．
10、B
【解析】
朝上的数字为偶数的有3种可能，再根据概率公式即可计算.
【详解】
依题意得P（朝上一面的数字是偶数）=
故选B.
此题主要考查概率的计算，解题的关键是熟知概率公式进行求解.
11、B
【解析】
找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】
解：从左面看易得下面一层有2个正方形，上面一层左边有1个正方形．
故选：B．
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
12、A
【解析】
分析：如图求出∠5即可解决问题．
详解：
∵a∥b，
∴∠1=∠4=35°，
∵∠2=90°，
∴∠4+∠5=90°，
∴∠5=55°，
∴∠3=180°-∠5=125°，
故选：A．
点睛：本题考查平行线的性质、三角形内角和定理，邻补角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13、（2n，1）
【解析】
试题分析：根据图形分别求出n=1、2、3时对应的点A4n+1的坐标，然后根据变化规律写出即可：
由图可知，n=1时，4×1+1=5，点A5（2，1），
n=2时，4×2+1=9，点A9（4，1），
n=3时，4×3+1=13，点A13（6，1），
∴点A4n+1（2n，1）．
14、或．
【解析】
联立方程可得，设，从而得出的图象在上与x轴只有一个交点，当△时，求出此时m的值；当△时，要使在之间有且只有一个公共点，则当x=-2时和x=2时y的值异号，从而求出m的取值范围；
【详解】
联立
可得：，
令，
抛物线与直线在之间有且只有一个公共点，
即的图象在上与x轴只有一个交点，
当△时，
即△
解得：，
当时，
当时，
，满足题意，
当△时，
令，，
令，，
，
令代入
解得：，
此方程的另外一个根为：，
故也满足题意，
故的取值范围为：或
故答案为: 或.
此题考查的是根据二次函数与一次函数的交点问题，求函数中参数的取值范围，掌握把函数的交点问题转化为一元二次方程解的问题是解决此题的关键．
15、19
【解析】
首先根据题意列表，由列表求得所有等可能的结果与两次都摸到黑球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．注意此题属于放回实验．
【详解】
列表得：
∵共有9种等可能的结果，两次都摸到黑球的只有1种情况，
∴两次都摸到黑球的概率是19.
故答案为：19.
考查概率的计算，掌握概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键.
16、20.
【解析】
分析：连接AC,BD,根据勾股定理求出BD,根据三角形中位线定理，菱形的判定定理得到四边形EHGF为菱形，根据菱形的性质计算．
解答:连接AC,BD在Rt△ABD中，BD= ∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD=10, ∵E、H分别是AB、AD的中点，∴EH∥BD,EF=BD=5,同理，FG∥BD,
FG=BD=5,GH∥AC,GH=AC=5, ∴四边形EHGF为菱形，∴四边形EFGH的周长=5×4=20，故答案为20.
点睛：本题考查了中点四边形，掌握三角形的中位线定理、菱形的判定定理是解答本题的关键.
17、12
【解析】
列表得出所有等可能结果，从中找到积为大于-4小于2的结果数，根据概率公式计算可得．
【详解】
解：列表如下：
由表可知，共有12种等可能结果，其中积为大于-4小于2的有6种结果，
∴积为大于-4小于2的概率为612=12，
故答案为：12．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
18、
【解析】
试题解析：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，
∴OA=OB，
∵AE垂直平分OB，
∴AB=AO，
∴OA=AB=OB=3，
∴BD=2OB=6，
∴AD=．
【点睛】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19、（1）n=3，见解析；（2）125人；（3）P=35
【解析】
（1）利用强化训练前后人数不变计算n的值；利用中位数对应计算强化训练前的中位数；利用平均数的计算方法计算强化训练后的平均分；利用众数的定义确定强化训练后的众数；
（2）用500分别乘以样本中训练前后优秀的人数的百分比，然后求差即可；
（3）画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出所抽取的两名同学恰好是一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】
（1）解：（1）n=20-1-3-8-5=3；
强化训练前的中位数7+82=7.5，
强化训练后的平均分为120（1×6+3×7+8×8+9×5+10×3）=8.3；
强化训练后的众数为8，
故答案为3；7.5；8.3；8；
（2）500×5+320×100%-2+120×100%=125（人）
（3）（3）画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中所抽取的两名同学恰好是一男一女的结果数为12，
所以所抽取的两名同学恰好是一男一女的概率P=1220=35.
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
20、见解析
【解析】
解：不公平，理由如下：
列表得：
由表可知共有9种等可能的结果，其中数字之和为3的倍数的有3种结果，数字之和为4的倍数的有2种，
则甲获胜的概率为、乙获胜的概率为，
∵，
∴这个游戏对甲、乙双方不公平．
考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21、（1）见解析；（2）①；②cs∠AFE＝
【解析】
（1）用特殊值法，设，则，证，可求出CF，DF的长，即可求出结论；
（2）①如图2，过F作交AD于点G，证和是等腰直角三角形，证，求出的值，即可写出的值；②如图3，作交AD于点T，作于H，证，设CF＝2，则CE＝6，可设AT＝x，则TF＝3x，，，分别用含x的代数式表示出∠AFE和∠D的余弦值，列出方程，求出x的值，即可求出结论．
【详解】
（1）设BE＝EC＝2，则AB＝BC＝4，
∵，
∴，
∵，
∴∠FEC＝∠EAB，
又∴，
∴，
∴，
即，
∴CF＝1，
则，
∴；
（2）①如图2，过F作交AD于点G，
∵，
∴和是等腰直角三角形，
∴，，
∴∠AGF＝∠C，
又∵，
∴∠GAF＝∠CFE，
∴，
∴，
又∵GF＝DF，
∴；
②如图3，作交AD于点T，作于H，
则，
∴，
∴∠ATF＝∠C，
又∵，且∠D＝∠AFE，
∴∠TAF＝∠CFE，
∴，
∴，
设CF＝2，则CE＝6，可设AT＝x，则TF＝3x，，
∴，且，
由，得，
解得x＝5，
∴．
本题主要考查了三角形相似的判定及性质的综合应用，熟练掌握三角形相似的判定及性质是解决本题的关键.
22、7.6 m．
【解析】
利用CD及正切函数的定义求得BC，AC长，把这两条线段相减即为AB长
【详解】
解：由题意，∠BDC＝45°，∠ADC＝50°，∠ACD＝90°，CD＝40 m．
∵在Rt△BDC中，tan∠BDC＝BCCD=1．
∴BC＝CD＝40 m．
∵在Rt△ADC中，tan∠ADC＝ACCD=AB+BCCD．
∴tan50°=AB+4040≈1.19．
∴AB≈7.6（m）．
答：旗杆AB的高度约为7.6 m．
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键．
23、（1）；（2）
【解析】
（1）利用概率公式直接计算即可；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小明和小华都选择去同一个地方游玩的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】
（1）∵小明准备到西安的大雁塔（记为A）、白鹿原（记为B）、兴庆公园（记为C）、秦岭国家植物园（记为D）中的一个景点去游玩，
∴小明选择去白鹿原游玩的概率＝；
（2）画树状图分析如下：
两人选择的方案共有16种等可能的结果，其中选择同种方案有1种，
所以小明和小华都选择去秦岭国家植物园游玩的概率＝．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
24、（1）i）证明见试题解析；ii）；（2）；（3）．
【解析】
（1）i）由∠ACE+∠ECB=45°，∠ BCF+∠ECB=45°，得到∠ACE=∠BCF，又由于，故△CAE∽△CBF；
ii）由，得到BF=，再由△CAE∽△CBF，得到∠CAE=∠CBF，进一步可得到∠EBF=1°，从而有，解得；
（2）连接BF，同理可得：∠EBF=1°，由，得到，，故，从而，得到，代入解方程即可；
（3）连接BF，同理可得：∠EBF=1°，过C作CH⊥AB延长线于H，可得：
，，
故，
从而有．
【详解】
解：（1）i）∵∠ACE+∠ECB=45°，∠ BCF+∠ECB=45°，∴∠ACE=∠BCF，又∵，∴△CAE∽△CBF；
ii）∵，∴BF=，∵△CAE∽△CBF，∴∠CAE=∠CBF，又∵∠CAE+∠CBE=1°，∴∠CBF+∠CBE=1°，即∠EBF=1°，∴，解得；
（2）连接BF，同理可得：∠EBF=1°，∵，∴，，∴，∴，，∴，∴，解得；
（3）连接BF，同理可得：∠EBF=1°，过C作CH⊥AB延长线于H，可得：
，，
∴，
∴．
本题考查相似三角形的判定与性质；正方形的性质；矩形的性质；菱形的性质．
25、（1）50；（2）108°；（3）．
【解析】
分析：（1）根据B组的人数和所占的百分比，即可求出这次被调查的总人数，从而补全统计图；用360乘以A组所占的百分比，求出A组的扇形圆心角的度数，再用总人数减去A、B、D组的人数，求出C组的人数；（2）画出树状图，由概率公式即可得出答案．
本题解析：解：(1)调查的总人数是：19÷38%＝50(人)．C组的人数有50－15－19－4＝12(人)，补全条形图如图所示．
(2)画树状图如下．共有12种等可能的结果，恰好选中甲的结果有6种，∴P(恰好选中甲)＝．
点睛：本题考查了列表法与树状图、条形统计图的综合运用．熟练掌握画树状图法，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
26、（1）；（2）
【解析】
（1）根据题意，画树状图列出三人随机选择上午或下午去游玩的所有等可能结果，找到小明和小刚都在本周日上午去游玩的结果，根据概率公式计算可得；
（2）由（1）中树状图，找到三人在同一个半天去游玩的结果，根据概率公式计算可得．
【详解】
解：（1）根据题意，画树状图如图：
由树状图可知，三人随机选择本周日的上午或下午去游玩共有8种等可能结果，其中小明和小刚都在本周日上午去游玩的结果有（上，上，上）、（上，上，下）2种，∴小明和小刚都在本周日上午去游玩的概率为=；
（2）由（1）中树状图可知，他们三人在同一个半天去游玩的结果有（上，上，上）、（下，下，下）这2种，
∴他们三人在同一个半天去游玩的概率为=．
答：他们三人在同一个半天去游玩的概率是．
本题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
27、（1）y＝x2﹣7x+1；（2）△ABC为直角三角形．理由见解析；（3）符合条件的Q的坐标为（4，1），（24，1），（0，﹣7），（0，13）．
【解析】
（1）先利用一次函数解析式得到A（8，9），然后利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）先利用抛物线解析式确定C（1，﹣5），作AM⊥y轴于M，CN⊥y轴于N，如图，证明△ABM和△BNC都是等腰直角三角形得到∠MBA＝45°，∠NBC＝45°，AB＝8 ，BN＝1，从而得到∠ABC＝90°，所以△ABC为直角三角形；
（3）利用勾股定理计算出AC＝10 ，根据直角三角形内切圆半径的计算公式得到Rt△ABC的内切圆的半径＝2 ，设△ABC的内心为I，过A作AI的垂线交直线BI于P，交y轴于Q，AI交y轴于G，如图，则AI、BI为角平分线，BI⊥y轴，PQ为△ABC的外角平分线，易得y轴为△ABC的外角平分线，根据角平分线的性质可判断点P、I、Q、G到直线AB、BC、AC距离相等，由于BI＝×2＝4，则I（4，1），接着利用待定系数法求出直线AI的解析式为y＝2x﹣7，直线AP的解析式为y＝﹣x+13，然后分别求出P、Q、G的坐标即可．
【详解】
解：（1）把A（m，9）代入y＝x+1得m+1＝9，解得m＝8，则A（8，9），
把A（8，9），B（0，1）代入y＝x2+bx+c得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣7x+1；
故答案为y＝x2﹣7x+1；
（2）△ABC为直角三角形．理由如下：
当x＝1时，y＝x2﹣7x+1＝31﹣42+1＝﹣5，则C（1，﹣5），
作AM⊥y轴于M，CN⊥y轴于N，如图，
∵B（0，1），A（8，9），C（1，﹣5），
∴BM＝AM＝8，BN＝CN＝1，
∴△ABM和△BNC都是等腰直角三角形，
∴∠MBA＝45°，∠NBC＝45°，AB＝8，BN＝1，
∴∠ABC＝90°，
∴△ABC为直角三角形；
（3）∵AB＝8，BN＝1，
∴AC＝10，
∴Rt△ABC的内切圆的半径＝，
设△ABC的内心为I，过A作AI的垂线交直线BI于P，交y轴于Q，AI交y轴于G，如图，
∵I为△ABC的内心，
∴AI、BI为角平分线，
∴BI⊥y轴，
而AI⊥PQ，
∴PQ为△ABC的外角平分线，
易得y轴为△ABC的外角平分线，
∴点I、P、Q、G为△ABC的内角平分线或外角平分线的交点，
它们到直线AB、BC、AC距离相等，
BI＝×2＝4，
而BI⊥y轴，
∴I（4，1），
设直线AI的解析式为y＝kx+n，
则，
解得，
∴直线AI的解析式为y＝2x﹣7，
当x＝0时，y＝2x﹣7＝﹣7，则G（0，﹣7）；
设直线AP的解析式为y＝﹣x+p，
把A（8，9）代入得﹣4+n＝9，解得n＝13，
∴直线AP的解析式为y＝﹣x+13，
当y＝1时，﹣x+13＝1，则P（24，1）
当x＝0时，y＝﹣x+13＝13，则Q（0，13），
综上所述，符合条件的Q的坐标为（4，1），（24，1），（0，﹣7），（0，13）．
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、角平分线的性质和三角形内心的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质是解题的关键．
第一次
第二次
黑
白
白
黑
黑，黑
白，黑
白，黑
白
黑，白
白，白
白，白
白
黑，白
白，白
白，白
-2
-1
1
2
-2
2
-2
-4
-1
2
-1
-2
1
-2
-1
2
2
-4
-2
2
1
2
3
2
1，2
2，2
3，2
3
1，3
2，3
3，3
4
1，4
2，4
3，4