湖北省武汉市重点中学联考2025-2026学年高二上学期10月考试数学试卷

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这是一份湖北省武汉市重点中学联考2025-2026学年高二上学期10月考试数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高二上学期 10 月月考试数学试题答案
一、选择题
8．【详解】如图，设光线从点出发，依次经过平面的点与平面的反射后重新回到点，根据光线反射的特征可知，平面平面，
平面平面
设的中点为，则点在上，点在上.
因为为中点，是正三角形，所以，又平面，所以平面，平面，平面，
平面平面，平面平面.下面计算三角形的周长.因为是边长为 2 的正三角形，，
如图建立平面直角坐标系，则，，设，，关于直线的对称点为
，关于直线的对称点为，设.
直线的方程为，因关于直线的对称点，
，解得，.
所以（当且仅当共线时等号成立）
，且.
所以，即，所以光线经过的路径长度的取值范围是.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
A
C
C
D
A
B
B
BD
ABD
ACD
7．【详解】由题意知实数
满足
，则
，
故点
在直线
上，点
在直线
上，
而
表示点
和点
之间的距离的平方，
故
最小值为
的最小值为两平行线
，
和
间距离的平方，
【详解】经检验，均满足方程，且不共线，
则
可以确定唯一平面，则平面的方程为
，A 正确；
若方程为
的平面经过点
，则
，
整理得
，因为
无实数解，所以
，B 不正确；
显然，点
满足方程
，则是平面内一点，
平面的一个法向量为
，则
，
点到平面的距离
，C 正确.
易知方程
的一组公共解为
，且
的另一组公共解为
，
则直线经过和的一个方向向量为
，
平面的一个法向量为
.设与平面所成角的大小为，
则
，D 正确.
三、填空题
12.
；
或；14.
【详解】依题意得点 M 在以为圆心半径为 1 的圆上，如图所示：
依题意得
，
，
又因为
所以
，
当直线与圆相切时，
，得
，
又因为
所以
，
，
此时
或
，
所以
此时
四、解答题:
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（3）由题意知：,
故与同方向的单位向量为：，
与同方向的单位向量为：，
故角平分线所在的直线的方向向量为：，设角平分线所在的直线的斜率为，
又直线的方向向量可以表示为，，直线又过，
故角平分线所在的直线方程为：，即.
【答案】 (2)
【详解】（2）由（1）得两两垂直，故以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，．易知．因为是的中点，点是的中点，所以，．
，．
设平面的法向量为，则得取，则，得平面的一个法向量为
设直线与平面所成角为，则．
【答案】(1)(2)或
【详解】（2）圆 C 的标准方程为，圆心为，半径为，
在
中，
，
，
由余弦定理得：
，即
，
设圆心 C 到直线的距离为，则
当直线 l 的斜率不存在时，可得方程为
，
，符合题意；
当直线 l 的斜率存在时，设其方程为
，即
，
圆心到直线的距离为
=1，解得
，
直线 l 的方程为
，即
，综上所述，直线 l 的方程为
，或
.
【详解】（1）因为
，
，所以
是正三角形，则
，
易知
底面圆，而
底面圆，所以
，
又在
中，
，所以
，
因为
是正三角形，所以
，
且
，
，所以
，
，
同理可证
，
又
，
平面
，所以
平面
，即拉绳所在直线和平面
垂直；
（2）如图，建立以为原点的空间直角坐标系
，
设
，
所以
设平面
的法向量为
，则
，
令
，则
，故
，
设直线和平面
所成的角为，
【答案】(1)证明见解析(2)应该把点取在距离点米处
则
，
当且仅当，即米时，拉绳所在直线和平面所成角的正弦值最大，故应该把点取在距离点米处.
【答案】(1)相交(2)①；②证明见解析
【详解】（1）圆：转化为标准方程为：，
，，，或 0，
，，，，，，
，，，与相交.
（2）①直线，，设，，由，
消去得：，由韦达定理，，，
由有，
同理由有，（*），
将韦达定理代入（*），；
②证明：，，则直线，直线，联立两直线方程消得：（**），
由韦达定理有，即，
代入（**）可得
，解得
.
故直线
交点在定直线
上.