2025年四川省甘孜州中考数学试卷（附答案解析）

这是一份2025年四川省甘孜州中考数学试卷（附答案解析），共29页。试卷主要包含了单选题，羊二，直金十两；牛二，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列各数中，最大的是( )
A．B．C．0D．1
2．以下几何体的主视图是圆的是（ ）
A．B．C．D．
3．某航模社团开展某小型无人机飞行时长测试，随机抽取5架该型无人机，充满电后首次飞行时长记录如下（单位：分钟）：18，20，22，23，24．这组数据的中位数为（ ）
A．18B．20C．22D．23
4．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，会发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则（ ）
A．B．C．D．
7．如图，点A，B，C在上，若，则（ ）
A．B．C．D．
8．函数的图象为( )
A．B．C．D．
9．《九章算术》是我国古代数学著作，其中记载了这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组（ ）
A．B．
C．D．
10．对于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下B．抛物线的顶点坐标为
C．抛物线的对称轴为直线D．当时，y随x的增大而增大
二、填空题
11．分解因式： ．
12．方程的解为 ．
13．如图，在矩形中，对角线相交于点O，则的长为 ．
14．如图，在中，，．分别以点和为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，连接，则的大小为 °．
三、解答题
15．（1）计算：；
（2）解不等式组：．
16．化简：．
17．为了落实国家教育数字化战略行动要求，做好科学教育“加法”，提升学生数字素养，培育数字时代的“追光者”．某校计划开设计算思维、科创实践、数字艺术三类选修课程．受时间限制，每位学生只能参加一类选修课程．为了解该校学生对三类课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了如下所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解决下列问题：
(1)①此次调查一共抽取了______名学生；
②请将条形统计图补充完整；
③扇形统计图中“数字艺术”课程对应的扇形圆心角为_____度；
(2)若该校共有800名学生参加这三类选修课程，请估计喜欢计算思维课程的学生人数．
18．为测量物体的高度，某数学兴趣小组开展了如下活动：
【制作仪器】
把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，当测量物体时，将该仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径所在直线刚好到达物体的最高点．

【测量高度】
小丽同学用此测角仪测量一棵树的高度，先在该树前平地上选择一点A，站立此处，测得树顶端D的仰角为，再测得点A离树底端B的距离为20米，并测得眼睛所在位置点C离点A的距离为1.5米，请根据这些数据，求出树的高度．（参考数据：，，）

19．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，D为的中点．反比例函数的图象过点D，交于点E．
(1)求点D的坐标和k的值；
(2)延长 交x轴于点F，求的面积．
20．如图，为的直径，C为上的一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D．延长交的延长线于点E．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的半径和的长．
四、填空题
21．若，则 ．
22．如图，将一个可以自由转动的转盘分成3个大小相同的扇形，并分别标为红、黄、绿三种颜色，指针位置固定．转动转盘，停止后，其中的某个扇形恰好停在指针所指的位置（指针指向交线时，当作指向右边的扇形）．转动转盘两次，指针指向颜色相同的扇形的概率为 ．
23．若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的取值为 ．
24．一块三角形材料的形状如图所示，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为 ．
25．将正面记为A，B，C，D，E的五张卡片按如图所示放置，每张卡片反面都写有一个数．现依次将相邻两张卡片反面的数之和记录如表：
根据以上信息，推断出最小数所对应的卡片编号为 ，最大数所对应的卡片编号为 ．
五、解答题
26．某药品研究所开发一种抗菌新药．经多年动物实验，首次用于临床人体试验．测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药后时间（时）之间满足一次函数关系（如图）．服药后3小时，测得血液中药物浓度达到最高值9微克/毫升；服药后11小时，测得血液中药物浓度为1微克/毫升．
(1)请分别求出血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与之间的函数关系式；
(2)根据测试，成人服药后，血液中药物浓度不低于3微克/毫升时，才能对人体产生抗菌作用，试求成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长．
27．和中，，．
【初步感知】
（1）如图1，若，连接，则与之间的数量关系是____，位置关系是_____；（直接写出结论，不写推理过程）
【深入探究】
（2）如图2，若，将绕点C旋转，设直线与交于点M，与交于点N，试确定与之间的数量关系和位置关系，并说明理由；
【迁移应用】
（3）如图3，当点D在内部，且时，若，，连接，作于点F，交于点G，求的长．
28．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线过原点，顶点为P，直线l过原点和点P．
(1)求抛物线和直线l的解析式；
(2)如图2，将抛物线的顶点沿射线平移，抛物线也随之移动得到抛物线，设顶点为A，其横坐标为，抛物线与抛物线交于点B．
①当时，求点B的横坐标；
②若点B的横坐标为n，请猜想并写出n与t的关系（不写推理过程）；
③如图3，若点B在第一象限内，设与y轴正半轴的夹角为，当时，求点B的坐标．
卡片编号
A，B
B，C
C，D
D，E
E，A
两数和
48
60
53
65
42
《2025年四川省甘孜州中考数学试卷》参考答案
1．D
【分析】本题考查了有理数的大小比较，解题的关键是熟练掌握有理数大小比较法则：正数大于0，0大于负数，两个负数比较时绝对值大的反而小．
先将选项中的数按“负数、0、正数”分类，明确正数大于0、0大于负数的基本关系；再对负数部分比较绝对值大小，最后综合判断所有数的大小顺序，找出最大的数．
【详解】解：根据有理数大小比较法则可知，仅有D选项符合题意．
故选：D．
2．A
【分析】本题考查了几何体的主视图概念及常见几何体的主视图特征，解题的关键是明确主视图是从几何体正面观察得到的平面图形，并熟记球体、正四面体、正方体、正八面体的主视图形状．
先明确主视图的定义（从正面观察几何体所得到的平面图形）；再分别判断各选项几何体的主视图，球体无论从哪个方向观察主视图均为圆，正四面体主视图为三角形，正方体主视图为正方形，正八面体主视图为菱形（或正方形），据此筛选出主视图是圆的几何体．
【详解】解：主视图是从几何体正面观察得到的平面图形，分析各选项：
A． 几何体为球体，从正面观察球体，其主视图为圆，此选项符合题意；
B． 几何体为正四面体，从正面观察正四面体，其主视图为三角形，此选项不符合题意；
C． 几何体为正方体，从正面观察正方体，其主视图为正方形，此选项不符合题意；
D． 几何体为正八面体，从正面观察正八面体，其主视图为菱形（或正方形），非圆，此选项不符合题意．
故选：A．
3．C
【分析】本题考查了中位数的概念及计算，解题的关键是熟练掌握中位数的定义——将一组数据从小到大（或从大到小）排列后，若数据个数为奇数，中间位置的数即为中位数；若为偶数，则中间两个数的平均数为中位数．
先确认所给数据是否已按从小到大顺序排列，本题数据18，20，22，23，24已有序；再根据数据个数为5（奇数），计算中间位置为，即第3个数据就是这组数据的中位数．
【详解】解：根据中位数的定义，将数据按从小到大排列：18，20，22，23，24；
数据个数为5（奇数），中间位置为第个，第3个数据为22，故这组数据的中位数是22．
故选：C．
4．B
【分析】本题考查了平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标特征及象限的判断，解题的关键是熟练掌握“关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”的规律，并能根据坐标符号判断点所在象限．
先根据关于轴对称的点的坐标规律，求出点的对称点坐标；再结合各象限内点的坐标符号特征（第一象限横、纵坐标均为正，第二象限横坐标为负、纵坐标为正，第三象限横、纵坐标均为负，第四象限横坐标为正、纵坐标为负），判断对称点所在象限．
【详解】解：根据“关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”，
已知点，则其关于轴对称的点的坐标为
故选：B．
5．A
【分析】本题主要考查了去括号，合并同类项，完全平方公式和积的乘方等计算，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案．
【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：A．
6．C
【分析】本题考查了平行线的性质（两直线平行，同位角相等），解题的关键是根据“水中光线平行、空气中光线平行”的条件，准确识别与、与的同位角关系，进而计算两角之和．
先根据空气中光线平行的条件，结合与是同位角，利用平行线性质得出；再根据水中光线平行的条件，结合与是同位角，得出；最后将已知角度代入，计算的结果，匹配选项即可．
【详解】解：∵水中的光线互相平行，空气中的光线互相平行，且与为同位角，与为同位角，
∴，，
∵，，
∴，,
∴.
故选：C．
7．B
【分析】本题主要考查圆周角定理，掌握一条弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半是解题的关键．
直接运用圆周角定理求解即可．
【详解】解：∵，
∴．
故选：B．
8．A
【分析】本题考查了一次函数的图象性质（含一次函数与坐标轴交点的求解），解题的关键是通过计算一次函数与x轴、y轴的交点坐标，与选项中图象的交点进行匹配，确定正确答案．
先明确函数是一次函数（图象为直线）；分别令求其与x轴的交点，令求其与y轴的交点；再将计算出的交点坐标与各选项图象的交点对比，筛选出匹配的选项．
【详解】解：函数为一次函数，其图象是一条直线，可通过求与坐标轴的交点判断选项．
令，则，解得，即函数与x轴的交点为；
令，则，即函数与y轴的交点为；
观察图像，只有A选项与计算结果匹配．
故选：A．
9．D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据“设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两”，即可列出关于x、y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：∵5头牛、2只羊，共值金10两，
∴；
∵2头牛、5只羊，共值金8两，
∴．
∴根据题意可列出方程组．
故选：D．
10．B
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．
根据二次函数的图象与性质即可解答．
【详解】解：∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大，
∴A、C选项不符合题意，B选项符合题意；
因为当时，y随x的增大而减小，故D选项不符合题意．
故选：B．
11．
【分析】本题考查了因式分解中的提取公因式法，解题的关键是准确找出多项式中各项的公因式，并将其提取出来完成因式分解．
先观察多项式的两项，找出它们共有的因式（公因式），其中含因式和，含因式和，公因式为；再用公因式分别去除两项，得到和，最后将公因式与所得结果用乘号连接，完成分解．
【详解】解：观察多项式，两项均含有公因式，
将公因式提取出来，得：，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式的解法步骤是解答的关键，注意结果要检验．
先去分母化为整式方程，进而解整式方程，再进行检验即可．
【详解】解：，
，
解得，
经检验：是原方程的解，
∴原方程的解为，
故答案为：．
13．8
【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质并判断是等边三角形是解题的关键．
根据矩形的对角线互相平分且相等，可知，然后由可得为等边三角形，然后可求得，进而即可求解
【详解】∵四边形为矩形，
∴，且，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴
故答案为：
14．
【分析】本题考查了基本尺规作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．由等腰三角形的性质与三角形内角和定理求出，由作图过程可知垂直平分线段，得到，再根据等腰三角形的性质求出，由三角形外角的性质即可求得．
【详解】，，
，
由作图可知垂直平分线段，
，
，
是的一个外角，
，
故答案为：．
15．（1）；（2）
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、实数的运算、零指数幂及特殊角的三角函数值，熟知实数的运算法则及解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
（1）先计算特殊角的三角函数值和零指数幂，再计算绝对值，最后计算加减法即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
解不等式①得，
解不等式②得，
∴原不等式组的解集为．
16．
【分析】本题主要考查了分式的混合计算，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案．
【详解】解：
．
17．(1)①40；②见解析；③90
(2)280人
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图的综合运用及用样本估计总体，解题的关键是利用“科创实践”课程的已知人数（16人）和对应百分比（）求出调查总人数，再结合两图信息逐步计算其他未知数据，最后通过样本比例估计总体人数．
（1）①根据“部分数量对应百分比总体数量”，用科创实践的16人除以求出调查总人数；②用总人数减去“计算思维”（14人）和“科创实践”（16人）的人数，得到“数字艺术”的人数，进而补充条形统计图；③用“数字艺术”的人数除以总人数，再乘以，求出对应扇形圆心角；
（2）先计算样本中喜欢“计算思维”课程的人数占比，再乘以该校参加课程的总人数800，估计总体人数．
【详解】（1）解：①∵ 科创实践课程有16人，对应扇形统计图百分比为，
∴ 调查总人数为（名）．
故答案为：40；
② 数字艺术课程的人数为总人数减去计算思维、科创实践的人数，即（人）．
补充条形统计图：在“数字艺术”对应的条形处，绘制高度与“10人”对应的直条（与其他条形宽度一致）；
③ 扇形统计图中“数字艺术”对应的圆心角为
故答案为：90；
（2）样本中喜欢计算思维课程的人数占比为，
∵ 该校共有800名学生参加课程，
∴ 估计喜欢计算思维课程的学生人数为（人）．
答：估计喜欢计算思维课程的学生人数为280人．
18．树的高度为16.5 米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意是解题的关键．
由题意得，，，解求出，再由即可求解．
【详解】解：由题意得，，，，
在中，，
∴，
∴
答：树的高度为16.5 米．
19．(1)，
(2)
【分析】（1）由矩形性质得点，根据 D为的中点，得，得，得；
（2）求出和直线解析式，求出，得，求出，，即得．
【详解】（1）解：∵四边形为矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，
∴点，
∴，
∵D为的中点，
∴，
∵反比例函数的图象过点D，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵反比例函数的图象交于点E，
∴设，
∴，∴
设直线解析式为，
则，
解得，
∴，
令，
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式，反比例函数的图象与性质，矩形的性质，三角形面积公式，是解题关键．
20．(1)证明见解析
(2)的半径长为5，的长为
【分析】（1）连接，由等边对等角得到，由切线的性质得，而，则，再由平行线的性质以及等量代换即可证明平分．
（2）作于点，因为，，所以，则，求得，可证明，得，求得，则，即可求解半径和．
【详解】（1）证明：连接，则，
，
与相切于点，
，
，
，
，
，
平分；
（2）解：作于点，，
，，
，
，
∵，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
的半径长为5，的长为．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
21．1
【分析】本题考查了代数式的整体代入求值，先分析待求式与已知式的结构，发现；再将已知条件代入该式，计算出的值；最后用计算结果减去9，得到最终答案．
【详解】解：∵，且已知，
∴将代入得：，
则．
故答案为：．
22．
【分析】本题主要考查了用列表法或树状图法求概率．正确画出树状图确定所有等可能的情况和符合条件的情况是解题的关键．
根据题意画出树状图得出所有等可能的情况，找出符合条件的情况，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：根据题意画图如下：
共有9种等可能的情况，其中指针指向颜色相同的扇形的有3种，
则转动转盘两次，指针指向颜色相同的扇形的概率为．
故答案为：．
23．
【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到，然后解关于的方程即可．
【详解】根据题意得，，
解得，
故答案为：．
24．16
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、矩形的性质及二次函数的最值求解，解题的关键是通过设未知数，利用几何关系建立矩形面积的二次函数表达式，再根据二次函数“开口向下时顶点处取最大值”的性质计算最大面积．
设矩形一边长为未知数（如），利用等腰直角三角形的性质及矩形对边相等的特点，得出也为等腰直角三角形，进而用未知数表示出矩形另一边长（如）；根据矩形面积公式列出面积与未知数的二次函数关系式，通过二次函数顶点坐标公式或配方法求出最大值．
【详解】解：设矩形中，（）．
∵ ，，
∴ 是等腰直角三角形．
∵ 四边形是矩形，
∴ ，，
∵ ，
∴ ，又是等腰直角三角形，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ .
则.
矩形面积
∵ 二次函数中，，图象开口向下，
当时，取最大值．
最大值.
故答案为：．
25．
【分析】此题考查方程的应用，设A、B、C、D、E卡片上对应的数分别为a，b，c，d，e，根据题意列得，由得，得，进而求出c的值，即可得到其他卡片对应的数，即可解答问题．
【详解】解：设A、B、C、D、E卡片上对应的数分别为a，b，c，d，e，
由题意得：，
得，
得，
∴，
∴，
∴，
∴,
∴最小数所对应的卡片编号为A，最大数所对应的卡片编号为B，
故答案为：A，B．
26．(1)血液中药物浓度上升阶段对应的函数解析式为，下降阶段的函数关系式是．
(2)成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长为8小时
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
（1）根据函数图象中的数据，可以得到血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与之间的函数关系式；
（2）依据由题，令 ，结合（1）的解析式，分别求出的值，进而可以判断得解．
【详解】（1）解：当时，设与的函数关系式为，
把 代入中得，
∴．
∴当时，与的函数关系式为；
当时，设与的函数关系式为，
把和代入中得，
∴，
∴当时，与的函数关系式为．
综上，血液中药物浓度上升阶段与之间的函数解析式为，下降阶段与之间的函数关系式是．
（2）解：在中，当时，，
在中，当时，，
小时，
答：成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长为8小时．
27．（1），；（2）数量关系：，位置关系：，理由见解析；（3）
【分析】（1）证明，则，，再由对顶角结合互余的性质证明；
（2）证明，则，，，再由对顶角结合互余的性质证明；
（3）先求出，，过点作平行线交延长线于点，则，过点作延长线的垂线，垂足为点，证明，则，求出，即可证明，则，证明，则，求出，，则，那么由勾股定理得，再对运用面积法求解，最后由求解即可．
【详解】（1）解：如图，
，
，，
又，
，
即，
在△和△中，
，
，
，，
设与交于点，
，，
，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2）解：数量关系：，位置关系：．
理由如下：，
，即，
又，
，
，，
，，
，
则，
即；
（3）解：∵，，
∴，，
过点作平行线交延长线于点，则，过点作延长线的垂线，垂足为点，

∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
则在中，由勾股定理得，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，难度较大，解题的关键是正确运用类比的思想条件并添加辅助线求解．
28．(1)抛物线的解析式为，直线l的解析式为
(2)①点的横坐标为5；②；③点B的坐标为
【分析】（1）将代入求出值，再根据和求出直线的解析式；
（2）①根据题意可得，再将代入求解即可；
②参考①思路联立解析式即可；
③设抛物线的解析式为，则可得点的坐标为，点B的坐标为，先求出的表达式，作交直线于点C，求出直线和直线的解析式并联立，进而求出，结合题意求出t的值即可．
【详解】（1）解：抛物线：过原点，
将代入抛物线解析式可得
，
解得，
抛物线的解析式为
，
∵抛物线的解析式为，
∴顶点的坐标为，
设直线的解析式为，
将代入可得：，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：①：抛物线的顶点沿射线平移得到抛物线的顶点，
抛物线的解析式为，
当时，抛物线的解析式为，
联立抛物线与的解析式得，
，
解得，
点的坐标为；
②联立抛物线与的解析式得，
，
解得，
点的横坐标为，
∴，
∴；
③设抛物线的解析式为，
由②知点A的横坐标是点B的两倍，
∴点的坐标为，点B的横坐标为，
将代入得，
，
∴点B的坐标为，
∴
，
作交直线于点C，
∵直线的解析式为，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，，
联立直线和直线的解析式为，
解得，
∴点C的坐标为，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴
解得（舍去），
∴点B的坐标为．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数交点问题、二次函数平移、二次函数点的坐标特征、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
C
B
A
C
B
A
D
B