福建省2025年中考真题数学试题（解析版）

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1. 下列实数中，最小的数是（ ）
A. B. 0C. D. 2
【答案】A
【解析】∵，
∴最小的数为；
故选：A
2. 中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，符合题意；
故选D．
3. 若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（ ）
A. B. C. 0D. 2
【答案】D
【解析】要使在实数范围内有意义，
需满足被开方数，
解得．
∴符合．
故选：D．
4. 福建博物院收藏着一件“镇馆之宝”——云纹青铜大铙，如图1．云纹青铜大绕是西周乐器，鼓饰变形兽面纹，两侧饰云雷纹，浑大厚重，作风稳重古朴，代表了福建古代青铜文化曾经的历史和辉煌．图2为其示意图，它的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A是该几何体的主视图，B，C，D不是该几何体的三视图．
故选A．
5. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，
，
，
∴；
在数轴上表示如图：
故选C．
6. 在分别写有，1，2的三张卡片中，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意，列表如下：
共有6种等可能的结果，其中两张卡片上的数恰好互为相反数的情况有，两种，
∴；
故选：B．
7. 某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故选：B．
8. 为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设矩形的一边长为x米，则另一边长为米，由题意，得：
；
故选：C．
9. 如图，与相切于点A，的延长线交于点C．，且交于点B．若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】连接，，则：，
∵与相切于点A，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
故选C．
10. 已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：∵，
∴当时，，
∴抛物线过点，
∴抛物线的开口向上，对称轴为，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，
∴，
∵，，
∴点到对称轴距离大于点到对称轴的距离，小于到对称轴的距离，
∴；
故选：A．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 为响应“体重管理年”有关倡议，小敏对自己的体重进行了跟踪统计．为方便记录，他将体重增加记作，那么体重减少应记作_______．
【答案】
【解析】体重增加记作，那么体重减少应记作；
故答案为：．
12. 某房梁如图所示，立柱，E，F分别是斜梁，的中点．若，则的长为_______m．
【答案】4
【解析】∵，
∴为直角三角形，
∵E是斜梁的中点，
∴．
故答案为：4．
13. 若反比例函数的图象过点，则常数_______．
【答案】
【解析】∵反比例函数的图象过点，
∴；
故答案为：．
14. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点O且与边分别相交于点E，F．若，则与的面积之和为_______．
【答案】1
【解析】∵菱形，，
∴，，，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1．
15. 某公司为选拔英语翻译员，举行听、说、读、写综合测试，其中听、说、读、写各项成绩（百分制）按的比例计算最终成绩．参与选拔的甲、乙两位员工的听、说、读、写各项测试成绩及最终成绩如下表：
由以上信息，可以判断A，B的大小关系是A_______B．（填“>”“=”或“
【解析】，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
故答案为；．
16. 弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的．胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度x成正比，即，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为，其中g为常数．如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6厘米．在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5千克时，弹簧长度为6.5厘米，那么，当弹簧长度为6.8厘米时，所挂物体的质量为_______千克．
【答案】0.8
【解析】不挂物体时弹簧长度厘米，挂质量千克物体时，弹簧长度厘米，则弹簧伸长量(厘米)．
物体重力（为常量），根据胡克定律，可得，即，解得．
当弹簧长度厘米时，弹簧伸长量(厘米)．
设此时所挂物体质量为千克，则，因为，所以，两边同时除以，得．
故答案为： ．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：.
解：
．
18. 如图，点E，F分别在的延长线上，．求证：．
证明：，
．
在和中，
，
，
．
19. 先化简，再求值：，其中．
解：
．
当时，
原式．
20. 甲、乙两人是新华高级中学数学兴趣小组成员．以下是他们在参加高中数学联赛预备队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息．
信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩（单位：分）
其中，甲、乙成绩平均数分别是；方差分别是．
信息二：当地近五年高中数学联赛获奖分数线（单位：分）
试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题：
（1）计算a的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价；
（2）计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数，并说明：若要从中选择一人参加高中数学联赛，选谁更合适；
（3）若要从中选择一人参加进一步的培养，从发展潜能的角度考虑，你认为选谁更合适？为什么？
解：（1）
即．
因为，
所以，
所以甲、乙两人的整体水平相当，但乙的成绩比甲稳定．
（2）由已知得，获奖分数线的平均数为，
从信息一可知，在集训期间的十次测试成绩中，甲达到获奖分数线的平均数的频数为4，而乙的频数为1，所以甲获奖的可能性更大，故选甲参加更合适．
（3）选甲更合适．理由：在集训期间的十次测试成绩中，甲呈上升趋势，而乙基本稳定在原有的水平，故从发展潜能的角度考虑，选甲更合适．
21. 如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G．
（1）求的大小；
（2）求证：是等边三角形．
（1）解：是等边三角形，
．
D是的中点，
．
，
，
．
（2）证明：由平移可知：，
，
又，
，
∴，
又，
垂直平分，
，
由（1）知，，
，
，
是等边三角形．
22. 如图，矩形中，．
（1）求作正方形，使得点E，G分别落在边上，点F，H落在上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）若，求（1）中所作的正方形的边长．
解：（1）如图，四边形就是所求作的正方形．
由作图可知，，，
∵矩形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
由作图可知，，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形；
（2）由（1）知：，，
四边形是矩形，
，
在中，，
，
．
，
．
又，
，
，即，
．
在中，，
，
∴正方形EFGH的边长为．
23. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点．
（1）求的值；
（2）已知二次函数的最大值为．
①求该二次函数的表达式；
②若为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：．
解：（1）二次函数的图象的对称轴为．
因为点在该函数的图象上，
所以，
所以，
所以．
（2）①由（1）可得，，
所以该函数的表达式为，
函数图象的顶点坐标为．
因为函数的最大值为，
所以，且，
解得，或（舍去）．
所以该二次函数表达式为．
②因为点在函数的图象上，
所以．
由①知，点关于直线对称，不妨设，
则，即．
所以
，
所以．
24. 阅读材料，回答问题．
（1）解决问题1；
（2）请把①②所缺的证明过程补充完整；
（3）解决问题2．
解：（1）小明的猜想不正确．
反例：．
（2）证明：①，所以，所以，与（*）矛盾，不合题意；
②，所以，又，所以，
由（*）知，所以．
（3）当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是；
当A的数字小于B的数字时，的位数是．
证明如下：
由已知，A，B的位数分别为m，n，
设，A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则．
由小华的命题知，当时，必有，
此时，，所以；
当时，必有，
此时，，所以．
综上所述，当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是；
当A的数字小于B的数字时，的位数是.
25. 如图，四边形ABCD内接于，AD，BC的延长线相交于点E，AC，BD相交于点F．G是AB上一点，GD交AC于点H，且．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，求的周长．
（1）证明：，
．
，
，
．
，
．
（2）证明：，
．
，
，
又，
，
，
．
由（1）知，，
又，
，
．
，
．
∵，
，
，
，
．
（3）解：由（2）知，，
的周长为．
设，则．
由（2）可知，．
又，
，
，
，
．
又，
，
．
过点C作，垂足为P，则．
四边形是圆内接四边形，
，
又，
，
．
在中，，即．
，
，
，
．
在中，，
，
解得，或（舍去）．
．
的周长为．
1
2
1
2
项目
员工
听
说
读
写
最终成绩
甲
A
70
80
90
82
乙
B
90
80
70
82
日期
队员
2月
10日
2月
21日
3月
5日
3月
14日
3月
25日
4月
7日
4月
17日
4月
27日
5月
8日
5月
20日
甲
75
80
73
81
90
83
85
92
95
96
乙
82
83
86
82
92
83
87
86
84
85
年份
2020
2021
2022
2023
2024
获奖分数线
90
89
90
89
90
主题
两个正数的积与商的位数探究
提出问题
小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据算式“”，猜想：m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个位的正整数．
分析探究
问题1 小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例
推广延伸
小明的猜想激发了初中生小华的探究热情．为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为，则称这个数的位数是，数字是a．
借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题．
命题：若正数A，B，C的位数分别为m，n，p，数字分别为a，b，c，且，则必有且，或且．并且，当且时，；当且时，．
证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为，其中a，b，c均为正数．
由，得，
即．（*）
当且时，“，所以，又，所以．由（*）知，，所以；
当且时，，所以所以，
与（*）矛盾，不合题意；
当且时， ① ；
当且时， ② ．
综上所述，命题成立．
拓展迁移
问题2 若正数A，B的位数分别为m，n，那么的位数是多少？证明你的结论．