2025年中考数学真题完全解读（福建卷）

这是一份2025年中考数学真题完全解读（福建卷），共25页。试卷主要包含了课程理念的创新性实践，评价体系的科学性与导向性，选择题等内容，欢迎下载使用。
2025年福建省中考数学属全省统一命题考试，试题立足2022年版课标的“立德树人”根本任务，坚持目标导向、坚持问题导向，坚持创新导向，体现数学学科核心素养，助力学生全面发展。
整套试卷架构上和分值分布与往年一致，共分为三个大题：
第一大题：选择题，共10道选择题，每小题4分，共40分；
第二大题：填空题，共6道选择题，每小题4分，共24分；
第三大题：解答题，共9个小题，第17-21题每小题8分，第22-23题每小题10分,第24题12分,第25题14分，共86分，
核心素养的深度落地
试卷通过分层设问与递进式探究，系统评估学生的数学抽象、逻辑推理等核心素养。例如，第24题以“数的位数探究”为载体，要求学生从特殊案例中归纳规律并推广到科学记数法的一般证明，既考查“从特殊到一般”的归纳思维，又涉及符号表达与逻辑论证能力。压轴题（第25题）综合圆与三角形性质，通过动态几何分析考查空间想象与演绎推理，体现几何证明的深度与灵活性。打破传统题型的固化模式，强调思维过程的完整性与创新性，符合新课标对“思维品质”的重视。同时也强化了“用数学解决现实问题”的能力，设计了多道真实情境应用题：第8题以“矩形菜地”为背景考查一元二次方程应用，第16题通过弹簧秤测量建立函数模型，第20题要求用方差分析篮球队员成绩稳定性并作出决策。这些题目将数学知识融入农业、物理、体育等现实场景，引导学生经历“抽象建模—求解验证”的完整过程，落实了新课标中“增强应用意识，提高实践能力”的要求。
二、课程理念的创新性实践
试卷巧妙融合多学科知识，如第12题结合物理 “胡克定律” 考查反比例函数，第15题引入统计学加权计算，体现“学科间相互关联”的课程设计理念。同时，试题注重文化传承，第2题以古算诗词为背景考查对称图形，第4题结合福建博物院“云纹青铜大铙”文物考查视图，将数学知识与传统文化、地域特色深度融合，增强学生的文化认同感。这种“知识—文化—素养”的多维设计，呼应了新课标中“数学课程承载着落实立德树人根本任务的功能”。
试卷设置了开放性问题（如第24题的规律推广、第20题从图表提取信息）鼓励学生多角度思考与个性化表达，打破“唯一答案”的限制，强调思维的发散性与批判性，符合新课标中“发现和提出问题是创新意识的核心”的理念。此外，压轴题通过动态几何与参数变化，引导学生探索变量关系与最优策略，体现了“数学探究活动”的课程主线。
三、评价体系的科学性与导向性
1、难度梯度与区分功能的合理平衡
试卷采用“易中难”分层设计：基础题（如不等式、概率计算）占比约60%，确保学生“有分可拿”；中档题（如函数与几何综合）占比约25%，考查知识迁移能力；压轴题（如动态几何、规律探究）占比约15%，突出选拔功能。这种结构既保障了学业水平考试的基础性，又通过高阶思维题实现区分，符合新课标中“学业质量水平”的分级要求。
教学导向与素养培育的精准呼应
本次中考试卷对教学具有明确的反拨作用：一方面，强调基础知识的扎实掌握（如实数运算、几何性质），避免“机械刷题”；另一方面，通过跨学科应用题和探究题，引导教学从“知识传授”转向“素养培育”。例如，第20题的统计分析题要求学生“用数据说话”，呼应了新课标中“数据分析观念”的培养目标；第24题的规律探究题则提示教学需加强“数学探究活动”的设计与实施。
相较于往年的中考命题，2025年福建数学卷有以下变化：
1.题型难度变化：试卷整体呈现 “前易后难” 的特点。选择和填空前半部分为基础题型，后半部分难度增加。解答题从第 21 题起难度显著提升，对学生数学功底和应变能力考验巨大，是拉开分数差距的关键。
2.知识点考查变化：几何题占比提升，更加注重图形动态变化的考查；统计题注重数据应用，强调数据解读与决策能力。同时，试卷覆盖代数、几何、统计与概率等核心知识点，对知识点的考察更加全面，不再局限于传统的重点难点。
3.命题方向变化：更加注重学科融合与实际应用，也强调文化浸润。此外，还通过一些阅读论证题考查学生的逻辑推理与创新思维，层层递进考查学生综合能力。
4.阅读量激增，全卷由传统2000字增加至3000字，其中24题达500字，非常考验学生快速阅读和提取关键信息的能力。
巩固基础知识。试卷对基础知识的考查占一定比例，考生要确保对实数运算、方程、不等式、函数等代数知识，以及三角形、四边形、圆等几何知识的基本概念、定理和公式熟练掌握，在考试时确保基础题可以快速拿分。
避免机械式刷题。2025年数学试卷题目具有一定创新性和难度梯度，可见“题海战术”的备考模式不再适合当下考情。未来的备考方向应要多做一些探究性、开放性的题目，培养自己从不同角度思考问题的能力，提高逻辑推理和创新思维能力。
3.加强跨学科与综合实践能力。要注重知识的融会贯通，学会学以致用；注重课内外迁移，学会将知识转化为能力。同时要多关注生活中的数学问题，培养将实际问题转化为数学模型的能力，同时留意数学与其他学科知识的关联。
4.优化时间分配与抗压能力。部分题目虽然看似基础，但实际计算量与思维深度远超预期；因此，平时备考应进行模拟考试训练，适应考试节奏，掌握合理的答题时间分配策略，遇到难题不要过度纠结，确保会做的题目能拿到分。同时也要提高阅读速度。
2025年福建中考数学真题试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．下列实数中，最小的数是（ ）
A．B．0C．D．2
【答案】A
【知识点】实数的大小比较
【分析】本题考查比较实数的大小，首先确定各数的正负性，再按负数小于0小于正数的顺序比较大小即可．
【详解】解：∵，
∴最小的数为；
故选：A
2．中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别
【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称和轴对称的定义，进行判断即可．
【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，符合题意；
故选D．
3．若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（ ）
A．B．C．0D．2
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，即，解不等式即可确定x的取值范围，进而选出正确选项．
【详解】解：要使在实数范围内有意义，
需满足被开方数，
解得．
∴符合．
故选：D．
4．福建博物院收藏着一件“镇馆之宝”——云纹青铜大绕，如图1．云纹青铜大绕是西周乐器，鼓饰变形兽面纹，两侧饰云雷纹，浑大厚重，作风稳重古朴，代表了福建古代青铜文化曾经的历史和辉煌．图2为其示意图，它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】判断简单几何体的三视图
【分析】本题考查了几何体的三视图，从前面看到的图形是主视图，从上面看到的图形是俯视图，从左边看到的图形是左视图．根据主视图是从前面看到的图形解答即可．
【详解】解；A是该几何体的主视图，B，C，D不是该几何体的三视图．
故选A．
5．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集
【分析】本题考查求不等式的解集，在数轴上表示解集，先求出不等式的解集，定边界，定方向，表示出不等式的解集即可．
【详解】解：，
，
，
∴；
在数轴上表示如图：
故选C．
6．在分别写有，1，2的三张卡片中，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】列表法或树状图法求概率
【分析】本题考查列表法求概率，列出表格，利用概率公式进行计算即可．
【详解】解：由题意，列表如下：
共有6种等可能的结果，其中两张卡片上的数恰好互为相反数的情况有，两种，
∴；
故选：B．
7．某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质得到，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可．熟练掌握相关性质，是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故选：B．
8．为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，先用x表示出矩形的另一条边长，利用矩形的面积公式，列出方程即可．
【详解】解：设设矩形的一边长为x米，则另一边长为米，由题意，得：
；
故选：C．
9．如图，与相切于点A，的延长线交于点C．，且交于点B．若，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定和性质、切线的性质定理
【分析】本题考查切线的性质，等边三角形的判定和性质，连接，，切线得到，求出，平行，得到，进而得到为等边三角形，推出为等边三角形，即可得出结果．
【详解】连接，，则：，
∵与相切于点A，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
故选C．
10．已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】本题考查比较二次函数的函数值的大小，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键，先求出对称轴的范围，再根据二次函数的增减性进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴当时，，
∴抛物线过点，
∴抛物线的开口向上，对称轴为，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，
∴，
∵，，
∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，小于到对称轴的距离，
∴；
故选：A．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．为响应“体重管理年”有关倡议，小敏对自己的体重进行了跟踪统计．为方便记录，他将体重增加记作，那么体重减少应记作 ．
【答案】
【知识点】相反意义的量
【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数表示一对相反意义的量，增加为正，则减少为负，进行作答即可．
【详解】解：体重增加记作，那么体重减少应记作；
故答案为：．
12．某房梁如图所示，立柱，E，F分别是斜梁，的中点．若，则的长为 m．
【答案】4
【知识点】斜边的中线等于斜边的一半
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，是解题的关键．根据，得出为直角三角形，根据直角三角形的性质得出．
【详解】解：∵，
∴为直角三角形，
∵E是斜梁的中点，
∴．
故答案为：4．
13．若反比例函数的图象过点，则常数 ．
【答案】
【知识点】求反比例函数解析式
【分析】本题考查求反比例函数的解析式，待定系数法求出值即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象过点，
∴；
故答案为：．
14．如图，菱形的对角线相交于点O，过点O且与边分别相交于点E，F．若，则与的面积之和为 ．
【答案】1
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用菱形的性质证明
【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，根据菱形的性质求出，，然后证明即可求解．
【详解】解：∵菱形，，
∴，，，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1．
15．某公司为选拔英语翻译员，举行听、说、读、写综合测试，其中听、说、读、写各项成绩（百分制）按的比例计算最终成绩．参与选拔的甲、乙两位员工的听、说、读、写各项测试成绩及最终成绩如下表：
由以上信息，可以判断A，B的大小关系是A B．（填“>”“=”或“
【知识点】求加权平均数
【分析】本题考查了加权平均数的计算，能够掌握计算公式且准确计算是解决问题的关键．利用加权平均数的计算公式求解即可．
【详解】解：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
故答案为；．
16．弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的．胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度x成正比，即，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为，其中g为常数．如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6厘米．在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5千克时，弹簧长度为6.5厘米，那么，当弹簧长度为6.8厘米时，所挂物体的质量为 千克．
【答案】0.8
【知识点】实际问题与反比例函数
【分析】本题主要考查了胡克定律的应用，熟练掌握胡克定律（其中为弹力，为劲度系数，为弹簧伸长或压缩量 ）及重力与质量的关系是解题的关键．先根据已知条件求出弹簧的劲度系数，再利用胡克定律求出弹簧长度为厘米时所挂物体的质量．
【详解】解：不挂物体时弹簧长度厘米，挂质量千克物体时，弹簧长度厘米，则弹簧伸长量(厘米)．
物体重力（为常量），根据胡克定律，可得，即，解得．
当弹簧长度厘米时，弹簧伸长量(厘米)．
设此时所挂物体质量为千克，则，因为，所以，两边同时除以，得．
故答案为： ．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．计算：
【答案】
【知识点】实数的混合运算、零指数幂、利用二次根式的性质化简、二次根式的加减运算
【分析】本题考查实数的混合运算，涉及二次根式的化简、零指数幂、化简绝对值等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．原式利用二次根式性质，零指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可得到结果．
【详解】解：
．
18．如图，点E，F分别在的延长线上，．求证：．
【答案】见解析
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、补角的性质等基础知识，考查推理能力、几何直观等．先证明，证明，即可得出结论．
【详解】证明：，
．
在和中，
，
，
．
19．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【知识点】分式化简求值、分母有理化
【分析】本题考查分式的混合运算、分母有理化等知识．先把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简，再把代入即可即可．
【详解】解：
．
当时，
原式．
20．甲、乙两人是新华高级中学数学兴趣小组成员．以下是他们在参加高中数学联赛预备队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息．
信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩（单位：分）
其中，甲、乙成绩的平均数分别是；方差分别是．
信息二：当地近五年高中数学联赛获奖分数线（单位：分）
试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题：
(1)计算a的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价；
(2)计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数，并说明：若要从中选择一人参加高中数学联赛，选谁更合适；
(3)若要从中选择一人参加进一步的培养，从发展潜能的角度考虑，你认为选谁更合适？为什么？
【答案】(1)，见解析
(2)甲，见解析
(3)选甲更合适．理由见解析
【知识点】求一组数据的平均数、求方差、根据方差判断稳定性、运用方差做决策
【分析】本小题考查平均数、方差，正确求出乙的方差是解答本题的关键．
（1）先求出乙的方差，然后比较即可；
（2）先求出五年获奖的平均数，然后根据甲、乙十次测试成绩达到平均成绩的频数多少判断即可；
（3）根据甲乙成绩的变化趋势分析即可．
【详解】（1），即．
因为，
所以，
所以甲、乙两人的整体水平相当，但乙的成绩比甲稳定．
（2）由已知得，获奖分数线的平均数为，
从信息一可知，在集训期间的十次测试成绩中，甲达到获奖分数线的平均数的频数为4，而乙的频数为1，所以甲获奖的可能性更大，故选甲参加更合适．
（3）选甲更合适．理由：在集训期间的十次测试成绩中，甲呈上升趋势，而乙基本稳定在原有的水平，故从发展潜能的角度考虑，选甲更合适．
21．如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G．
(1)求的大小；
(2)求证：是等边三角形．
【答案】(1)
(2)见解析
【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定、等边三角形的判定和性质、利用平移的性质求解
【分析】（1）等边三角形的性质推出，垂直，得到，角的和差关系求出的大小即可；
（2）平移得到，进而得到，角的和差关系推出，进而得到，根据，推出垂直平分，进而得到，推出，进而得到是等边三角形即可．
【详解】（1）解：是等边三角形，
．
D是的中点，
．
，
，
．
（2）由平移可知：，
，
又，
，
∴，
又，
垂直平分，
，
由（1）知，，
，
，
是等边三角形．
【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、平移的基本性质、线段垂直平分线的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等基础知识，考查空间观念、几何直观与推理能力，考查化归与转化思想等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
22．如图，矩形中，．
(1)求作正方形，使得点E，G分别落在边上，点F，H落在上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)若，求（1）中所作的正方形的边长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】作垂线(尺规作图)、根据正方形的性质与判定求线段长、画圆(尺规作图)、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）作的中垂线交于点，交于点，以为直径画圆，交于点，即可得到正方形；
（2）勾股定理求出的长，进而求出的长，证明，求出的长，再根据正方形的性质，结合勾股定理求出的长即可．
【详解】（1）解：如图，四边形就是所求作的正方形．
由作图可知，，，
∵矩形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
由作图可知，，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形；
（2）由（1）知：，，
四边形是矩形，
，
在中，，
，
．
，
．
又，
，
，即，
．
在中，，
，
∴正方形EFGH的边长为．
【点睛】本题考查尺规作图、矩形的性质、线段垂直平分线的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，考查推理能力、运算能力、几何直观与空间观念，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
23．在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点．
(1)求的值；
(2)已知二次函数的最大值为．
①求该二次函数的表达式；
②若为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：．
【答案】(1)
(2)①；②见解析
【知识点】因式分解法解一元二次方程、y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴
【分析】本题考查了二次函数表达式、二次函数的图象与性质、一元二次方程．
（1）根据二次函数的对称性求解即可；
（2）①先求出顶点坐标，然后根据最大值为列方程求解即可；
②先根据二次函数的对称性求出，然后把通分后代入即可求解．
【详解】（1）解：二次函数的图象的对称轴为．
因为点在该函数的图象上，
所以，
所以，
所以．
（2）①由（1）可得，，
所以该函数的表达式为，
函数图象的顶点坐标为．
因为函数的最大值为，
所以，且，
解得，或（舍去）．
所以该二次函数的表达式为．
②因为点在函数的图象上，
所以．
由①知，点关于直线对称，不妨设，
则，即．
所以
，
所以．
24．阅读材料，回答问题．
(1)解决问题1；
(2)请把①②所缺的证明过程补充完整；
(3)解决问题2．
【答案】(1)小明的猜想不正确，反例：
(2)见解析
(3)当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是；当A的数字小于B的数字时，的位数是
【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数、列代数式、数字类规律探索、不等式的性质
【分析】（1）举反例即可；
（2）①当且时，可得，得，不合题意；
②当且时，可得，可得，得，即得．
（3）设，A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则．当时，必有，，即；当时，必有，，即．
【详解】（1）解：小明的猜想不正确．
反例：．
（2）证明：①，所以，所以，与（*）矛盾，不合题意；
②，所以，又，所以，
由（*）知，所以．
（3）解：当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是；
当A的数字小于B的数字时，的位数是．
证明如下：
由已知，A，B的位数分别为m，n，
设，A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则．
由小华的命题知，当时，必有，
此时，，所以；
当时，必有，
此时，，所以．
综上所述，当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是；
当A的数字小于B的数字时，的位数是，
【点睛】本小题考查判断命题的真假，科学记数法，整数指数幂，幂的运算，不等式的基本性质，代数推理等基础知识，熟练掌握是解题的关键．
25．如图，四边形ABCD内接于，AD，BC的延长线相交于点E，AC，BD相交于点F．G是AB上一点，GD交AC于点H，且．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算
【分析】（1）利用得，结合同弧所对圆周角，再根据三角形外角性质，完成证明 ．
（2）先证得，再通过角的等量代换证，推出，从而得 ．
（3）利用（2）结论将周长转化为，通过相似三角形及三角函数、勾股定理求出的长，即周长为 ．
【详解】（1）证明：，
．
，
，
．
，
．
（2）证明：，
．
，
，
又，
，
，
．
由（1）知，，
又，
，
．
，
．
∵，
，
，
，
．
（3）解：由（2）知，，
的周长为．
设，则．
由（2）可知，．
又，
，
，
，
．
又，
，
．
过点C作，垂足为P，则．
四边形是圆内接四边形，
，
又，
，
．
在中，，即．
，
，
，
．
在中，，
，
解得，或（舍去）．
．
的周长为．
【点睛】本题考查圆的性质、等腰三角形、相似三角形、解直角三角形等知识，通过角与边的转化、相似三角形判定与性质解题，关键是利用圆的性质和三角形知识进行边角关系推导．
题号
分值
题型
考查内容
考查点
1
4
选择题
数与式
实数的大小比较
3
4
选择题
二次根式有意义的条件
11
4
选择题
相反意义的量
17
8
解答题
实数的混合运算
19
8
解答题
分式化简求值
24
12
解答题
代数推理、数字规律探索、
科学计数法
5
4
选择题
方程与不等式
一元一次不等式解集
8
4
选择题
一元二次方程实际应用
2
4
选择题
图形的变化
轴对称图形的识别、
中心对称图形的识别
4
4
选择题
三视图
22
10
解答题
尺规作图、相似三角形
7
4
选择题
图形的性质
平行线的性质
9
4
选择题
切线的性质
12
4
填空题
斜边的中线等于斜边的一半
14
4
填空题
菱形面积、全等三角形
18
8
填空题
全等的判定
21
8
解答题
等边三角形性质、
线段垂直平分线的判定
25
14
解答题
圆有关性质、相似三角形
10
4
选择题
函数
二次函数的性质
13
4
填空题
求反比例函数解析式
16
4
填空题
实际问题与正比例函数
23
10
解答题
二次函数与二次方程
6
4
选择题
概率与统计
用树状图或列举法求概率
15
4
填空题
加权平均数的应用
20
8
解答题
运用方差做决策
1
2
1
2
项目
员工
听
说
读
写
最终成绩
甲
A
70
80
90
82
乙
B
90
80
70
82
日期
队员
2月
10日
2月
21日
3月
5日
3月
14日
3月
25日
4月
7日
4月
17日
4月
27日
5月
8日
5月
20日
甲
75
80
73
81
90
83
85
92
95
96
乙
82
83
86
82
92
83
87
86
84
85
年份
2020
2021
2022
2023
2024
获奖分数线
90
89
90
89
90
主题
两个正数的积与商的位数探究
提出问题
小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据算式“”，猜想：m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个位的正整数．
分析探究
问题1 小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例
推广延伸
小明的猜想激发了初中生小华的探究热情．为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为，则称这个数的位数是，数字是a．
借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题．
命题：若正数A，B，C的位数分别为m，n，p，数字分别为a，b，c，且，则必有且，或且．并且，当且时，；当且时，．
证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为，其中a，b，c均为正数．
由，得，
即．（*）
当且时，“，所以，又，所以．由（*）知，，所以；
当且时，，所以所以，
与（*）矛盾，不合题意；
当且时， ① ；
当且时， ② ．
综上所述，命题成立．
拓展迁移
问题2 若正数A，B的位数分别为m，n，那么的位数是多少？证明你的结论．