广东省广州市黄埔区北京师范大学广州实验学校2024~2025学年八年级上学期期中考数学试卷（含答案）

这是一份广东省广州市黄埔区北京师范大学广州实验学校2024~2025学年八年级上学期期中考数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填在答题卡上）
中国 “二十四节气” 已列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表 “立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（）
A.B.
C.D.
现有两根长度分别为 20cm 和30cm 的木条，要选择第三根木条，把它们钉成一个三角形木架，则第三根木条的长度可以是（）
10cmB. 25cmC. 50cmD. 55cm
将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（）
A. 105°B. 75°C. 65°D. 55°
如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这 一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（）
SASB. ASAC. AASD. SSS
下列各式中，计算正确的是（）
A a2  a4  a6B. a3  a3  2a3
C. a3 2  a6
D. 2xy 3  6x3 y3
一个多边形每一个外角都等于 45，则这个多边形的边数为（）
A. 12B. 10C. 8D. 6
已知 xa=2，xb=5，则 xa+b 等于 （）
A. 7B. 10C. 20D. 50
如图，在V ABC 中， AB  AC ，C  30 ，点 D 在 BC 上， AB  AD ， AD  2 ，则 BC 等于（）
A. 4B. 5C. 6D. 8
下列选项所给条件能画出唯一△ABC 的是（）
AAC  3 ， AB  4 ， BC  8B. A  50 ， B  30 ， AB  2
C. C  90 ， AB  90D. AC  4 ， AB  5 ，B=60
如图，在 Rt△ABC 中，ACB  90, AC  6, BC  8 ，AB  10, AD 是BAC 的平分线．若 P,Q 分别是 AD 和 AC 上的动点，则 PC  PQ 的最小值是（）
A. 2.4B. 4.8C. 4D. 5
第二部分：填空与解答题（90 分）
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分，请将答案填在答题卡上）
在V ABC 中， AB  AC,C  65 ，则B ．
凸七边形的内角和是度．
13. 计算：15x2 y 10xy2   5xy ．
如图，已知V ABC 的周长是 21 ， OB ， OC 分别平分ABC 和ACB ， OD 
BC 于点 D ，且
OD  4 ， V ABC 的面积是．
如图，已知B  20 ， C  25，若 PM 和QN 分别垂直平分 AB 和 AC ，则PAQ °．
如图，在等边三角形 ABC 中，DE ∥ BC ，EB  EF ．若 BD  4 ，BF  8 ，则线段 DE 的长为．
三、解答题（本大题共 9 题，共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 化简： (x  y)(x  3y)  x(x  2 y) .
一个多边形的内角和与外角和的差为 1260 度，求它的边数．
如图，点A ，F ，B ，E 在同一条直线上，A  D ，DE ∥ BC ，AB  DE ．求证：C  DFE ．
在平面直角坐标系中， V ABC 的顶点坐标分别为 A 5, 2 ， B 3,5， C 1, 1 ，
画出V ABC 关于 y 轴对称的△A1B1C1 ；
求△A1B1C1 的面积．
（1）已知，如图，在三角形 ABC 中，AD 是 BC 边上的高．尺规作图：作ABC 的平分线l （保留作图痕迹，不写作法，写出结论）﹔
（2）在已作图形中，若 l 与 AD 交于点 E，且 BE  AC, BD  AD ，求证： AB  BC ．
如图，一个小长方形的长为 a  b ，宽为 a，把 6 个大小相同的小长方形放入到大长方形内．
大长方形的宽 m  ，长 n  （长和宽都用含 a，b 的式子来表示）．
求在大长方形中，阴影部分的面积（用含 a，b 的式子来表示）
若b  2a ，大长方形面积为 S ，大长方形内阴影部分的面积为 S ，则 S2
．
S
12
1
已知在V ABC 中， AB  AC ，点 D 是边 AB 上一点， BCD  A．
如图 1，试说明CD  CB 的理由；
如图 2，过点 B 作 BE  AC ，垂足为点 E， BE 与CD 相交于点 F．
①试说明BCD  2CBE 的理由；
②如果V BDF 是等腰三角形，求A 的度数．
在边长为 2 的等边V ABC 中， AD 是 BC 边上的中线，E 为 AD 上一动点，连接 BE ，在 BE 的下方作等边△BEF ．

当 BD  DE 时，连接CF ，
① ABF ．
② 求证： △ABE≌△CBF
连接 DF ， V BDF 的周长是否有最小值，若有请求出此时DBF 的度数；若没有请说明理由．
如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点， Aa, 0, B 0,b ，且 a，b 满足a  42  b  4  0 ，连接 AB ， OBA  45．
求点 A、点 B 的坐标．
动点 P 从点 O 出发，以 1 个单位/秒的速度沿 y 轴正半轴运动，运动时间为 t 秒，连接 AP ，过点 P 作
PM  AP ，且 PM  PA，点 M 在第一象限，请用含有 t 的式子表示点 M 的坐标．
在（2）的条件下，连接 MB 并延长交 x 轴于点 Q，连接 AM ，过点 B 作 PM 的平行线交 x 轴于点 R， 当 SMQA  28 时，求点 R 的坐标．
2024-2025 学年第一学期教学质量监测二八年级数学
第一部分：选择题（30 分）
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填在答题卡上）
中国 “二十四节气” 已列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表 “立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（）
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合， 这个图形就叫做轴对称图形，根据轴对称图形的定义逐项分析即可得解，熟练掌握轴对称图形的概念，是 解题的关键．
【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意；
B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故符合题意；
故选：D．
现有两根长度分别为 20cm 和30cm 的木条，要选择第三根木条，把它们钉成一个三角形木架，则第三根木条的长度可以是（）
10cmB. 25cmC. 50cmD. 55cm
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小 于第三边．首先设第三根木条的长度为 xcm ，根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边，可得30  20  x  30  20 ，再解即可．
【详解】解：设第三根木条的长度为 xcm ，根据三角形的三边关系可得：
30  20  x  30  20 ， 即：10  x  50 ，
只有选项 B 符合要求， 故选：B
将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（）
A. 105°B. 75°C. 65°D. 55°
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形的外角性质解答即可．
【详解】解：由三角形的外角性质可知：∠α＝30°+45°＝75°， 故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题 的关键．
如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这 一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（）
SASB. ASAC. AASD. SSS
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图—做一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质，熟练掌握尺规作图的方
法和步骤是关键，根据全等三角形的判定方法SSS,SAS,AAS,ASA,HL ，以及全等三角形对应角相等，即可解答．
【详解】解：由作图可知 AC  AB  DE  DF ,BC  EF ，
在V ABC 和DEF 中，
 AC  DF

 AB  DE ，

BC  EF
∴  ABC≌DEF SSS ，
∴ BAC  EDF ， 故选：D．
下列各式中，计算正确的是（）
A. a2  a4  a6B. a3  a3  2a3
C. a3 2  a6
D. 2xy 3  6x3 y3
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算，利用合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方的运算法则分 别对各项进行运算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】A 、a2 与 a4 不可以合并，原选项计算错误，不符合题意；
B 、 a3  a3  a33  a6 ，原选项计算错误，不符合题意；
C 、a3 2  a6 ，原选项计算正确，符合题意；
D 、2xy 3  8x3 y3 ，原选项计算错误，不符合题意；故选： C ．
一个多边形每一个外角都等于 45，则这个多边形的边数为（）
A. 12B. 10C. 8D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理，理解多边形外角和中外角的个数与正多边形的边数之间的 关系，是解题关键．
根据多边形的外角和是 360 度即可求得外角的个数，即多边形的边数．
【详解】解：多边形的边数是： 360  8 ，
45
故选：C．
已知 xa=2，xb=5，则 xa+b 等于 （）
A. 7B. 10C. 20D. 50
【答案】B
【解析】
【分析】先逆用同底数幂乘法法则，然后代入运算即可．
【详解】解：xa+b=xaxb=2×5=10． 故选：B
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则，掌握同底数幂乘法法则的逆用是解答本题的关键．
如图，在V ABC 中， AB  AC ，C  30 ，点 D 在 BC 上， AB  AD ， AD  2 ，则 BC 等于（）
A 4B. 5C. 6D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理．根 据等腰三角形的性质求出B 和BAC 度数，利用直角三角形中含30 所对应的边是斜边的一半求出 BD 的长度，根据角度相等求出 AD  CD 以及对应长度，从而求出 BC 长度．
【详解】解： AB  AC ， C  30 ，
B  C  30 ， BAC  120 ，
 AB  AD ， AD  2 ，
 BD  2AD  4 ， BAD  90 ，
CAD  BAC  BAD  120  90  30 ，
CAD  DCA  30 ，
 AD  CD  2 ，
 BC  BD  CD  4  2  6 ． 故选：C．
【分析】利用全等三角形的判定方法以及三角形三边关系分别判断得出即可．
【详解】解：A、3+4=7＜8，不符合三角形三边关系定理，即不能画出三角形，故本选项错误；
B、∠A=50°，∠B=30°，AB=2，根据(ASA)能画出唯一△ABC，故此选项正确； C、∠C=90°，AB=90，不能根据(SA)画出唯一三角形，故本选项错误；
D、AC=4，AB=5，∠B=60°，不能根据(SSA)画出唯一三角形，故本选项错误； 故选：B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及三角形三边关系，正确把握全等三角形的判定方法是解题 关键．
如图，在Rt△ABC 中，ACB  90, AC  6, BC  8 ，AB  10, AD 是BAC 的平分线．若 P,Q 分别是 AD 和 AC 上的动点，则 PC  PQ 的最小值是（）
A. 2.4B. 4.8C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可以把Q 关于 AD 对称到 AB 的O 点，如此 PC  PQ 的最小值问题即变为C 与线段 AB 上
9. 下列选项所给条件能画出唯一△ABC 的是（
）
A. AC  3 ， AB  4 ， BC  8
C. C  90 ， AB  90
B.
D.
A  50 ， B  30 ， AB  2
AC  4 ， AB  5 ，B=60
【答案】B
【解析】
某一点O 的最短距离问题，最后根据“ 垂线段最短” 的原理得解．
【详解】解：如图，作Q 关于 AD 的对称点O ，则 PQ  PO ，连接 PO ，过点C 作CM 
AB于点 M ，
所以O 、 P 、C 三点共线时， CO  PC  PO  PC  PQ ，此时 PC  PQ 有可能取得最小值，
当CO 垂直于 AB 即CO 移到CM 位置时， CO 的长度最小，
 PC  PQ 的最小值即为CM 的长度，
 SV ABC
 1 AB  CM  1 AC  CB ，
22
 CM  6  8  4.8 ，即 PC  PQ 的最小值为4.8 ．
10
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称最短路径问题，垂线段最短，通过轴对称把线段和最小的问题转化为线段外一 点到线段某点连线段最短问题是解题关键．
第二部分：填空与解答题（90 分）
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分，请将答案填在答题卡上）
在V ABC 中， AB  AC,C  65 ，则B ．
【答案】65
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键．利用等边对等角 直接求解即可．
【详解】解：如图：
 AB  AC ，∠C  65 ，
B  C  65 ，
故答案为： 65．
凸七边形的内角和是度．
【答案】900
【解析】
【分析】本题主要考查了多边形内角和定理．应用多边形的内角和公式计算即可．
【详解】解：七边形的内角和 n  2180  7  2180  900， 故答案为：900．
13. 计算：15x2 y 10xy2   5xy ．
【答案】3x  2 y
【解析】
【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据多项式除以单项式法则计算即可．
【详解】解：原式 15x2 y  5xy 10xy2  5xy
 3x  2 y ，
故答案为： 3x  2 y ．
如图，已知V ABC 的周长是 21 ， OB ， OC 分别平分ABC 和ACB ， OD 
OD  4 ， V ABC 的面积是．
【答案】42
【解析】
BC 于点 D ，且
【分析】本题主要考查了角平分线的性质及三角形面积的求法，熟练掌握角平分线的性质是解决本题的关 键．
根据角平分线的性质可得OE  OF  OD  4 ，从而可得到V ABC 的面积等于周长的一半乘以 2，代入求出
即可．
【详解】如下图，连接OA ，过O 作OE  AB 于 E ， OF  AC 于 F ，
Q OB 、OC 分别平分ABC 和ACB ，
∴ OA 是BAC 的平分线，
∵ OE  AB ， OF  AC ， OD  BC
∴ OE  OF  OD  4 ，
 ABC 的周长是 21 ，
 S ABC
 1  AB  OE  1  BC  OD  1  AC  OF
222
 1 ( AB  BC  AC)  4 2
 1  21 4
2
 42 ，
故答案为： 42 ．
如图，已知B  20 ， C  25，若 PM 和QN 分别垂直平分 AB 和 AC ，则PAQ °．
【答案】90
【解析】
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．先由 PM 和
QN 分别垂直平分 AB 和 AC ，得出2  B ， 1  C ，根据三角形内角和性质列式作答即可．
【详解】解：如图：
 PM 和QN 分别垂直平分 AB 和 AC ，
 AP  PB ， AQ  QC ，
2  B ， 1  C ，
B  20 ， C  25，
3  180  2(B  C)  90 ， 故答案为：90．
如图，在等边三角形 ABC 中，DE ∥ BC ，EB  EF ．若 BD  4 ，BF  8 ，则线段 DE 的长为．
【答案】2
【解析】
【分析】过点 E 作 EH BC 于点 H，根据V ABC 是等边三角形， DE ∥ BC ，得到V ADE 是等边三角形，
已知 EB  EF ，得到 BH  FH  1 BF  4 ，结合 BD  4 ，得到 EC  BD  4 ，在△EHC 中，求得
2
HC  1 EC  2 ，表示出 BC  BH  HC  6 ，根据 AC  BC  6  EC  EA  4  AE 即可求得线段
2
AE  2 的长，继而得到 DE 的长．
本题主要考查等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质与判定，含有30 角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
【详解】解：过点 E 作 EH BC 于点 H，
∵V ABC 是等边三角形，
∴∠ABC ∠ACB ∠A  60， AB  BC  CA ，
∵ DE ∥ BC ，
∴ ADE  AED  ABC  ACB  A  60 ，
∴V ADE 是等边三角形，
∴ DE  AE  AD ，
∴ AC  AE  AB  AD ，
∴ CE  BD ，
∵ BD  4 ，
∴ CE  4 ，
∵ EB  EF ， EH BC ， BF  8 ，
∴ BH  FH  1 BF  4 ， HEC  30 ，
2
∴ HC  1 EC  2 ，
2
∴ BC  BH  HC  6 ，
∴ AC  BC  6  EC  EA  4  AE ，
∴ AE  2 ，
∴ DE  2 ． 故答案为：2．
三、解答题（本大题共 9 题，共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 化简： (x  y)(x  3y)  x(x  2 y) .
【答案】-3y2
【解析】
【分析】利用多项式乘以多项式、单项式乘以多项式计算以后，再合并即可．
【详解】解： (x  y)(x  3y)  x(x  2 y)
=x2+3xy-xy-3y2-x2-2xy
=-3y2．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
一个多边形的内角和与外角和的差为 1260 度，求它的边数．
【答案】11
【解析】
【详解】分析：设多边形的边数是 n，则内角和为(n－2)·180，外角和为 360°，然后根据内角和与外角和
的差为 1260 度列方程求解即可. 详解：设多边形的边数是 n，则
(n－2)·180－360＝1 260.解得 n＝11. 答：它的边数为 11.
点睛：本题考查了多边形的内外角和的应用，熟练掌握多边形的内角和公式和外角和是解答本题的关键.
如图，点A ，F ，B ，E 在同一条直线上，A  D ，DE ∥ BC ，AB  DE ．求证：C  DFE ．
【答案】详见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，根据 DE ∥ BC 得出ABC  E ，进而证明ABC≌DEF ASA ，根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】证明： DE ∥ BC ，
ABC  E ．
又A  D ， AB  DE ，
ABC≌DEF ASA ．
C  DFE ．
在平面直角坐标系中， V ABC 的顶点坐标分别为 A 5, 2 ， B 3,5， C 1, 1 ，
画出V ABC 关于 y 轴对称的△A1B1C1 ；
求△A1B1C1 的面积．
【答案】（1）见解析（2）12
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形变换—轴对称，求三角形面积，
根据轴对称的性质，描出点 A，B，C 的对应点 A1 ， B1 ， C1 ，顺次连接即可；
利用分割法求 A1B1C1 的面积即可．
【小问 1 详解】
解：如图， △A1B1C1 即为所求，
；
【小问 2 详解】
解; S 6  6  1  6  3  1  2  3  1  6  4  12 ．
 A1B1C1
222
（1）已知，如图，在三角形 ABC 中，AD 是 BC 边上的高．尺规作图：作ABC 的平分线l （保留作图痕迹，不写作法，写出结论）﹔
（2）在已作图形中，若 l 与 AD 交于点 E，且 BE  AC, BD  AD ，求证： AB  BC ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）直接运用“角平分线——尺规作图”的方法进行作图即可．
（2）过点 E 作 EH⊥AB 于 H，将 AB 分成两部分，再证明ВH=BD，AH=CD，即可求证．
【详解】（1）∠ABC 的角平分线如图所示：
（2）如图，过点 E 作 EH⊥AB 于 H，
∵BE 平分∠ABC，EH⊥AB，ED⊥ВC，
∴EH=ED，
∵BE=BE，
∴△BDE≌△BHE（HL），
∵ВH=BD，
BD  AD

在 Rt△BDE 和 Rt△ADC 中BE  AC ，
∴△BDE≌△ADC（HL），
∴DE=DC，
∴HE=CD，
∵AD=BD，∠ADB=90°，
∴∠BAD=45°，
∵HE⊥AB，
∴∠HEA=∠HAE=45°，
∴HE=AH=CD，
∴BC=BD+CD=BH+AH=AB．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质及角平分线的尺规作图，掌握全等三角形 的判定定理和正确作出辅助线是解题关键．
如图，一个小长方形的长为 a  b ，宽为 a，把 6 个大小相同的小长方形放入到大长方形内．
大长方形的宽 m  ，长 n  （长和宽都用含 a，b 的式子来表示）．
求在大长方形中，阴影部分的面积（用含 a，b 的式子来表示）
2
若b  2a ，大长方形面积为 S ，大长方形内阴影部分的面积为 S ，则 S2
．
S
1
1
【答案】（1） 2a  b ， 4a  b
（2） 2a2  b2
（3） 1
4
【解析】
【分析】（1）利用整式的加减即可求解；
利用多项式乘法求得大长方形的面积，再利用大长方形的面积减去 6 个小长方形的面积即可求解；
当b  2a 时，分别用 a 表示出大长方形的面积，阴影部分的面积，代入即可求解．
【小问 1 详解】
解：大长方形的宽 m  a  b  a  2a  b ， 长 n  3a  a  b  4a  b ，
故答案为： 2a  b ， 4a  b ；
【小问 2 详解】
解：大长方形面积为 2a  b4a  b   8a 2  2ab  4ab  b 2  8a 2  6ab  b 2 ， 故阴影部分的面积 8a2  6ab  b2  6a a  b 
 8a2  6ab  b2  6a2  6ab
 2a2  b2 ；
【小问 3 详解】
解：当b  2a 时， S1
 8a2  6ab  b2  8a2 12 a2  4 a2  24 a2 ；
2
S  2a2  b2  2a2  2a 2  6a 2 ；
S6a21
∴ 2 ，
1
S24a 24
故答案为： 1 ．
4
【点睛】此题考查了列代数式，代数式求值，整式的混合运算涉及的知识有：多项式乘以多项式法则，合 并同类项法则，认真观察图形，弄清题意是解本题的关键．
已知在V ABC 中， AB  AC ，点 D 是边 AB 上一点， BCD  A．
如图 1，试说明CD  CB 的理由；
如图 2，过点 B 作 BE  AC ，垂足为点 E， BE 与CD 相交于点 F．
①试说明BCD  2CBE 的理由；
②如果V BDF 是等腰三角形，求A 的度数．
【答案】（1）见解析（2）①见解析；② 45或36
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的判定及性质，三角形的内角和定理及外角的性质，结合图形分情况讨论是 解决问题的关键．
根据等腰三角形的性质可得∠ABC  ACB ，再利用三角形的外角性质可得∠ BDC  A  ACD ，
从而可得BDC  ACB ，然后根据等量代换可得ABC  BDC ．再根据等角对等边可得CD  CB ， 即可解答；
①根据垂直定义可得BEC  90，从而可得CBE  ACB  90，然后设CBE  ，则
ACB  90 ，利用（1）的结论可得ACB  ABC  BDC  90 ，最后利用三角形内角和定理 可得BCD  2，即可解答；
②根据三角形的外角性质可得BFD  3，然后分三种情况：当 BD  BF 时；当 DB  DF 时；当 FB  FD
时；分别进行计算即可解答．
【小问 1 详解】
解：∵ AB  AC ，
∴∠ABC  ACB ，
∵ BDC 是△ADC 的一个外角，
∴ BDC  A  ACD ，
∵ ACB  BCD  ACD ， BCD  A，
∴ BDC  ACB ，
∴ ABC  BDC ．
∴ CD  CB ；
【小问 2 详解】
解：①∵ BE  AC ，
∴ BEC  90，
∴ CBE  ACB  90，
设CBE  ，则ACB  90 ，
∴ ACB  ABC  BDC  90 ，
∴ BCD  180  BDC  ABC  180 90  90   2，
∴ BCD  2CBE ；
②∵ BFD 是V CBF 的一个外角，
∴ BFD  CBE  BCD  2 3， 分三种情况：
当 BD  BF 时，
∴ BDC  BFD  3，
∵ ACB  ABC  BDC  90 ，
∴ 90  3，
∴ 22.5，
∴ A  BCD  2 45 ； 当 DB  DF 时，
∴ DBE  BFD  3，
∵ DBE  ABC  CBE  90  90  2，
∴ 90  2 3，
∴ 18 ，
∴ A  BCD  2 36 ； 当 FB  FD 时，
∴ DBE  BDF ，
∵ BDF  ABC  DBF ，
∴不存在 FB  FD ，
综上所述：如果V BDF 是等腰三角形，A 的度数为 45或36 ．
在边长为 2 的等边V ABC 中， AD 是 BC 边上的中线，E 为 AD 上一动点，连接 BE ，在 BE 的下方作等边△BEF ．

当 BD  DE 时，连接CF ，
① ABF ．
② 求证： △ABE≌△CBF
连接 DF ， V BDF 的周长是否有最小值，若有请求出此时DBF 的度数；若没有请说明理由．
【答案】（1）① 75，②证明过程
（2） 30
【解析】
【分析】（1）①根据等边三角形的性质可得ABC  EBF  60 ， ADB  90 ，再根据等腰直角三角
形的性质可得EBD  BED  45 ，求得CBF  15 ，再利用ABF = ABC  CBF 求解即可；
②根据等边三角形的性质可得ABC  EBF  60 ， AB  BC ， BE  BF ，再利用等量代换可得
ABE = CBF ，再根据全等三角形的判定证明即可；
（2）连接CF ，由②同理可证ABE≌CBF SAS  ，可得BCF  BAD  30 ，作点 D 关于CF 的对称点 G，连接CG 、DG ，则 DF  FG ，当 B、F、G 三点共线，BF  DF 的最小值为 BG ，且 BG  CG 时， V BDF 的周长最小，再根据等边三角形的性质求解即可．
【小问 1 详解】
解：①∵V ABC 、△BEF 是等边三角形，
∴ ABC  EBF  60 ，
∵ AD 是 BC 边上的中线，
∴ AD BC ，即ADB  90 ，
∵ BD  DE ，
∴ EBD  BED  45 ，
∴ CBF = EBF  EBD = 60  45 = 15 ，
∴ ABF = ABC  CBF = 60  15 = 75 ， 故答案为： 75；
②证明：∵V ABC 、△BEF 是等边三角形，
∴ ABC  EBF  60 ， AB  BC ， BE  BF ，
∵ ABE  EBD  60， CBF  EBD  60 ，
∴ ABE  CBF ，
∴ ABE≌CBF SAS ；
【小问 2 详解】解：连接CF ，
∵V ABC 、△BEF 是等边三角形，
∴ ABC  EBF  60 ， AB  BC ， BE  BF ，
∵ ABE  EBD  60， CBF  EBD = 60 ，
∴ ABE = CBF ，
∴ ABE≌CBF SAS ；
∵ AD 是 BC 边上的中线，
∴ BCF  BAD  30 ，
如图，作点 D 关于CF 的对称点 G，连接CG 、 DG ，则 DF  FG ，
∴当 B、F、G 三点共线， BF  DF 的最小值为 BG ，且 BG  CG 时， V BDF 的周长最小， 由轴对称的性质得， DCG  2BCF  60， CD  CG ，
∴△DCG 是等边三角形，
∴ DG = DC = DB ，
∴ CGD  CDG  60 ，
∵ BG  CG ，即CGB  90，
∴ CBF  90  60  30．
【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、轴对称的性 质、直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．
如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点， Aa, 0, B 0,b ，且 a，b 满足a  42  b  4  0 ，
连接 AB ， OBA  45．
求点 A、点 B 的坐标．
动点 P 从点 O 出发，以 1 个单位/秒的速度沿 y 轴正半轴运动，运动时间为 t 秒，连接 AP ，过点 P 作
PM  AP ，且 PM  PA，点 M 在第一象限，请用含有 t 的式子表示点 M 的坐标．
在（2）的条件下，连接 MB 并延长交 x 轴于点 Q，连接 AM ，过点 B 作 PM 的平行线交 x 轴于点 R， 当 SMQA  28 时，求点 R 的坐标．
【答案】（1） A(4, 0), B(0, 4) ；
（2） M (t, 4  t) ；
（3） (3, 0) ．
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质以及非负数的性质的综合应用，解 决问题的关键是判定全等三角形，依据全等三角形的对应边相等进行推导计算．
（1）根据非负数的性质，得到关于 a ， b 的方程组，求得a ， b 的值，即可得到点A 、点 B 的坐标；
（ 2 ） 根据 AAS 判定 CPM ≌OAP ， 再根据全等三角形对应边相等， 即可得到 CM  OP  t ，
CP  AO  BO  4 ， CO  CP  OP  4  t ，进而得到点 M 的坐标为(t, 4  t) ；
（3）连接 MB 并延长交 x 轴于点Q ，连接 AM ，过点 B 作 PM 的平行线交 x 轴于点 R ，证明△BOQ 是等
腰直角三角形，得出Q 4, 0 ，再根据 S
＝ 1 AQ 4  t   1  84  t   28 ，得出OP  3 ，最后判定
MQA22
OBR≌OAP(ASA) ，即可得到OR  OP  3 ，进而得出点 R 的坐标为(3, 0) ．
【小问 1 详解】
解：  a ， b 满足a  42  b  4  0 ，
a  4  0 ， b  4  0 ，
 a  4 ， b  4 ，
∴ A(4, 0), B(0, 4) ；
【小问 2 详解】
解：如图所示，过 M 作 MC  y 轴于C ，则PCM  AOP  90 ，
 PM  AP ，
CPM  APO  OAP  APO  90 ，
CPM  OAP ，
在△CPM 和OAP 中，
PCM  AOP

CPM  OAP ，

PM  PA
CPM ≌OAP(AAS) ，
CM  OP  t ， CP  AO  BO  4 ，
CB  CP  BP  OA OB  OP  4 4  t   t  OP ，
CO  CP  OP  4  t ，
 M (t, 4  t) ；
【小问 3 详解】
如图所示，连接 MB 并延长交 x 轴于点 Q，连接 AM ，过点 B 作 PM 的平行线交 x 轴于点 R，
∵ CB  CM  t ，
∴ BCM 是等腰直角三角形，
∴ CBM  OBQ  45 ，
∴△BOQ 是等腰直角三角形，
∴ OQ  OB  4 ，即Q 4, 0 又∵ A4, 0 ，
∴ AQ  8 ，
又∵ M (t, 4  t) ，
∴ S＝ 1 AQ 4  t   1  84  t   28 ，
MQA22
∴ t  3 ，
∴ OP  3 ，
∵ BR ∥ PM ，
∴ OBR  CPM ， 又∵ CPM  OAP ，
∴ OBR  OAP ，
在OBR 和OAP 中，
BOR  AOP

BO  AO，

OBR  OAP
∴ OBR≌OAP ASA ，
∴ OR  OP  3 ，
∴ R 3, 0 ．