广东省广州荔湾区第一中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份广东省广州荔湾区第一中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷（含答案），共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷共三大题 25 小题，共 6 页，满分 120 分．考试时间 120 分钟，不能使用计算器．
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．）
新能源、绿色能源将成为产业发展的新趋势，下列新能源环保图标中，图案是轴对称图形的是（）
AB.
C.D.
在下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（）
A. 1cm，2cm，4cm
C. 3cm，5cm，8cm
B. 2cm，3cm，4cm
D. 8cm，4cm，4cm
已知△ABC≌△DCB ，若 BC  10 ， AB  6 ， AC  7 ，则CD  （）
A. 6B. 7C. 10D. 无法确定
如图，小明做了一个长方形框架，发现很容易变形，请你帮他选择一个最好的加固方案()
A.B.C.D.
一副含30 角和 45角的直角三角板如图摆放，则1 的度数为（）
A. 60B. 65C. 75D. 70
如图，在ABC 和ABC 中，已知CAB  DAB ，要使ABC≌ABD ，添加下列的一个选项后， 仍然不能证明是（）
BC  BD
AC  AD
C  D
CBE  DBE
如图， BO 平分ABC ， CO 平分ACB ， MN ∥ BC ， MB  7 ， NC  9 ，则 MN 的长为（）
A. 2B. 7C. 9D. 16
如图，在V ABC 中， AB  AC ，点 D 在 AC 上，且 BD  BC  AD ，则DBC 的度数是（ ）
A. 30B. 36C. 45D. 54
如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB 于点 E，S△ABC=10，DE=2，AB=4， 则 AC 长是
A. 9B. 8C. 7D. 6
如图，△ABC 和△ADE 是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，BD，CE 交于点 F，连接 AF．则下列结论不正确的是（）
A. BD＝CEB. BD⊥CEC. AF 平分∠CADD. ∠AFE＝45°
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．）
在平面直角坐标系中，点 P 2, 4 关于 x 轴的对称点的坐标是．
下图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中 AB 、CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线，
ABC  150 ， BC 的长是8m ，则乘电梯时点 B 到点C 上升的高度h 是m．
等腰三角形的一个外角是110 ，则它的顶角的度数是．
如图，将三角形纸片 ABC 沿直线 DE 折叠后，使得点 B 与点 A 重合，折痕分别交 BC ， AB 于点 D， E．如果 AC  5cm ， △ADC 的周长为17cm ，那么 BC 的长为cm ．
如图，在V ABC 中， BAC  45 ，高 AD ， CE 交于点 H．若 AB  19 ， CE  12 ，则CH ．
如图，在长方形 ABCD 的对角线 AC 上有一动点 E ，连接 DE ，过点 E 作 EF  DE 交射线 BC 于点 F ，
ACB  30 ，当EFC 为等腰三角形时， EDC 的度数是．
三、解答题（本大题共 9 题，共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
一个多边形的内角和比它的外角和的 3 倍少180 ，求这个多边形的边数．
如图，正方形网格的每个小正方形的边长为 1． V ABC 的三个顶点均在格点上．
画出V ABC 关于直线 MN 对称的△A1B1C1 ；
在直线 MN 上找一点 P ，使 PA  PC 的值最小．
如图，点A 、 D 、C 、 B 在同一条直线上， AD  BC ， AE  BF ， AE ∥ BF ，求证： CE  DF ．
如图， Rt△ABC 中， ACB  90, CD  AB 于 D．
尺规作图：作CAB 的角平分线，交CD 于点 P，交 BC 于点 Q（保留作图痕迹，不写做法）；
若ABC  54，求CPQ 的度数．
如图，在等边V ABC 中，点 D 在边 BC 上，过点 D 作 DE ∥ AB 交 AC 于点 E，过点 E 作 EF  DE ， 交 BC 的延长线于点 F．
求F 的度数；
求证： DC  CF ．
如图，在V ABC 中， CA  CB ， ACB  90 ，直线l 过顶点C ，过 A、B 分别作直线l 的垂线，垂足分别为 E、F ．
求证： EF  BF  AE ；
若 BF  3AE ， EF  4 ，直接写出△BFC 的面积．
已知：如图，BAC 的角平分线与 BC 的垂直平分线 DG 交于点 D ， DE AB ， DF AC ，垂足 分别为 E ， F ．
求证： BE  CF ；
若 AF  8 ， BC  10 ，求V ABC 的周长．
问题提出：
我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．如图 1， V ABC 中， AC  7 ， BC  9 ，
AB  10 ，P 为 AC 上一点，当 AP 时，  ABP 与CBP 是偏等积三角形；
问题探究：
如图 2，△ABD 与 ACD 是偏等积三角形， AB  2 ， AC  6 ，且线段 AD 的长度为正整数，则 AD 的长度为；
问题解决：
如图 3，四边形 ABED 是一片绿色花园， CA  CB ， CD  CE ，
ACB  DCE  90(0  BCE  90) ．  ACD 与BCE 是偏等积三角形吗？请说明理由． 问题拓展：
如图 4，将V ABC 分别以 AB ， BC ， AC 为边向外作正方形 ABDE ，正方形 BCFG ，正方形 ACMN ， 连接 DG ， FM ， NE ，则图中有组偏等积三角形．
如图，CN 是等边V ABC 的外角ACM 内部的一条射线，点A 关于CN 的对称点为 D ，连接 AD ，BD ，
CD ，其中 AD ， BD 分别交射线CN 于点 E 、 P ．
依题意补全图形；
若ACN  a ，求BDC 的大小（用含 a 的式子表示）；
用等式表示线段 PB ， PC 与 PE 之间的数量关系，并证明．
2024 学年第一学期学业水平抽测八年级数学（试卷）
2024 年 10 月
本试卷共三大题 25 小题，共 6 页，满分 120 分．考试时间 120 分钟，不能使用计算器．
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．）
新能源、绿色能源将成为产业发展的新趋势，下列新能源环保图标中，图案是轴对称图形的是（）
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用轴对称图形的定义进行判断．如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互 相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解： A、C、D 选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B 选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿该条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选∶B．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念，熟记轴对称图形的定义是解题的关键．
在下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（）
A. 1cm，2cm，4cm
C. 3cm，5cm，8cm
【答案】B
【解析】
B. 2cm，3cm，4cm
D. 8cm，4cm，4cm
【分析】根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，逐个判断即可．
【详解】解： A ．1 2  4 ，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
B ． 2  3  4 ，能组成三角形，故此选项符合题意；
C ． 3  5  8 ，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
D ． 4  4  8 ，不能组成三角形，故此选项不符合题意； 故选： B ．
【点睛】本题主要考查三角形三边关系，理解并掌握三角形三边的关系是解题的关键．
已知△ABC≌△DCB ，若 BC  10 ， AB  6 ， AC  7 ，则CD  （）
A. 6B. 7C. 10D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等解答即可．
【详解】解：∵△ABC≌△DCB ， AB  6 ，
∴ CD  AB  6 ． 故选：A．
如图，小明做了一个长方形框架，发现很容易变形，请你帮他选择一个最好的加固方案()
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形具有稳定性，可在框架里加根木条，构成三角形的形状．
【详解】因为三角形具有稳定性，只有 B 构成了三角形的结构． 故选 B．
【点睛】本题考查三角形的稳定性在实际生活中的应用问题．
一副含30 角和 45角的直角三角板如图摆放，则1 的度数为（）
A. 60B. 65C. 75D. 70
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质．根据三角形外角的性质，可得4  3  30  45  75即可．
【详解】解：如图，
根据题意得： 4  30， 3  2  45 ，
∴ 4  3  30  45  75． 故选：C
如图，在ABC 和ABC 中，已知CAB  DAB ，要使ABC≌ABD ，添加下列的一个选项后，
仍然不能证明是（）
BC  BD
【答案】A
AC  AD
C  D
CBE  DBE
【解析】
【分析】此题考查了全等三角形的判定，添加 BC  BD ，不能判定两三角形全等；添加 AC  AD ，利用SAS 即可得到两三角形全等；添加C  D ，利用 AAS 即可得到两三角形全等，添加CBE  DBE ， 利用ASA 即可得到两三角形全等．
【详解】解： CAB  DAB, AB  AB ，
A、添加 BC  BD ， SSA 不能判定两三角形全等，故此选项符合题意；
B、添加 AC  AD ，利用SAS 即可得到两三角形全等，故此选项不符合题意；
C、添加C  D ，利用AAS 即可得到两三角形全等，故此选项不符合题意；
D、添加CBE  DBE 可以得到CBA  DBA ，利用ASA 即可得到两三角形全等，故此选项不符合题意．
故选：A．
如图， BO 平分ABC ， CO 平分ACB ， MN ∥ BC ， MB  7 ， NC  9 ，则 MN 的长为（）
A. 2B. 7C. 9D. 16
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定以及平行线的性质，角平分线的性质，掌握平行线的性质以及等腰 三角形的判定是解题的关键．
根据 BO 平分ABC ，CO 平分ACB ，可得MBO  OBC ，NCO  BCO ，进而得到 MO  MB ，
NO  NC ，即可求解；
【详解】解： BO 平分ABC ，
MBO  OBC ，
 MN  BC ，
MOB  OBC ，
MBO  MOB ，
 MO  MB  7 ，
 CO 平分ACB ，
NCO  BCO ，
 MN  BC ，
NOC  OCB ，
NOC  NCO ，
 NO  NC  9 ，
 MN  MO  NO  7  9  16 ．
如图，在V ABC 中， AB  AC ，点 D 在 AC 上，且 BD  BC
 AD ，则DBC 的度数是（ ）
A. 30B. 36C. 45D. 54
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了等腰三角形的性质，由已知条件开始，通过线段相等，得到角相等，再由三角形内角 和求出各个角的大小．
【详解】解：设A  x ．
 BD  AD ，
A  ABD  x ，
BDC  A  ABD  2x ，
 BD  BC ，
BDC  BCD  2x，
 AB  AC ，
ABC  BCD  2x ，
在V ABC 中 x  2x  2x  180 ， 解得： x  36 ，
C  BDC  72，
DBC  36 ， 故选：B．
如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB 于点 E，S△ABC=10，DE=2，AB=4， 则 AC 长是
A. 9B. 8C. 7D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】根据角平分线性质求出 DF ，根据三角形面积公式求出ABD 的面积，求出ADC 面积，即可求出答案．
【详解】解：过 D 作 DF AC 于 F ，
 AD 是ABC 的角平分线， DE AB ，
 DE  DF  2 ，
 SADB
 1 AB  DE  1  4 2  4 ，
22
ABC 的面积为 10，
ADC 的面积为10  4  6 ，
 1 AC  DF  6 ，
2
 1 AC  2  6 ，
2
 AC  6
故选：D．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，解题的关键是熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
如图，△ABC 和△ADE 是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，BD，CE 交于点 F，连接 AF．则下列结论不正确的是（）
A. BD＝CEB. BD⊥CEC. AF 平分∠CADD. ∠AFE＝45°
【答案】C
【解析】
【分析】作 AM⊥BD 于 M，AN⊥EC 于 N，设 AD 交 EF 于 O．证明△BAD≌△CAE，利用全等三角形的性质一一判断即可．
【详解】解：如图，作 AM⊥BD 于 M，AN⊥EC 于 N，设 AD 交 EF 于 O．
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD 与△CAE 中，
AB  AC

BAD  CAE ，

AD  AE
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴EC＝BD，∠BDA＝∠AEC，故 A 正确，
∵∠DOF＝∠AOE，
∴∠DFO＝∠EAO＝90°，
∴BD⊥EC，故 B 正确，
∵△BAD≌△CAE，AM⊥BD，AN⊥EC，
∴AM＝AN，
∴FA 平分∠EFB，
∴∠AFE＝45°，故 D 正确，
若 C 成立，则∠EAF＝∠BAF，
∵∠AFE＝∠AFB，
∴∠AEF＝∠ABD＝∠ADB，推出 AB＝AD，由题意知，AB 不一定等于 AD， 所以 AF 不一定平分∠CAD，故 C 错误，
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学 知识解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．）
在平面直角坐标系中，点 P 2, 4 关于 x 轴的对称点的坐标是．
【答案】2, 4
【解析】
【分析】此题主要考查了关于 x 轴对称的点的坐标规律，解题的关键是熟记规律的变化特点． 根据关于 x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解．
【详解】解：点 P 2, 4 关于 x 轴对称点的坐标是2, 4 ，
故答案为： 2, 4 ．
下图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中 AB 、CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线，
ABC  150 ， BC 的长是8m ，则乘电梯时点 B 到点C 上升的高度h 是m．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了含30 角的直角三角形的性质．作CE AB 交 AB 的延长线于 E ，则CEB  90 ， 求出CBE  180  ABC  30 ，再由含30 角的直角三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：如图，作CE AB 交 AB 的延长线于 E ，则CEB  90 ，
，
∵ ABC  150 ，
∴ CBE  180  ABC  30 ，
∵ BC 的长是8m ，
1
∴ CE 
BC  4m ，即 h  4m ，
2
故答案为：4．
等腰三角形的一个外角是110 ，则它的顶角的度数是．
【答案】70 或40
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形，分两种情况：顶角的外角是110 和底角的外角是110 ，利用外角的定义、等腰三角形的定义及三角形内角和定理分别计算即可．
【详解】解：分两种情况：
（1）当顶角的外角是110 时，顶角的度数为：180 110  70；
（2）当底角的外角是110 时，底角的度数为：180 110  70， 顶角的度数是：180  2  70  40 ，
故答案为： 70 或 40．
如图，将三角形纸片 ABC 沿直线 DE 折叠后，使得点 B 与点 A 重合，折痕分别交 BC ， AB 于点 D， E．如果 AC  5cm ， △ADC 的周长为17cm ，那么 BC 的长为cm ．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查了翻折变换的性质，根据题意得出 AD  BD 是解题的关键．利用翻折变换的性质得出
AD  BD ，进而利用 AD  CD  BC 得出即可．
【详解】解：∵将V ABC 沿直线 DE 折叠后，使得点 B 与点 A 重合，
∴ AD  BD ．
∵ AC  5cm ， △ADC 的周长为17cm ，
∴ AD  CD  BC  17  5  12cm ． 故答案为 12．
如图，在V ABC 中， BAC  45 ，高 AD ， CE 交于点 H．若 AB  19 ， CE  12 ，则CH ．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定、全等三角形对应边相等的性质．先由已知得到CE  AE ，即可证明BCE≌HAE ，即可求得 BE  EH 继而可得答案．解决本题的根据是证明BCE≌HAE ．
【详解】解：BAC  45， CE AB ，
CE  AE  12 ，
 BCE  CHD  90 ， EAH  AHF  90 ， AHE  CHD ，
BCE  EAH ，
在BCE 和△HAE 中，
BCE  HAE

CE  AE，

CEB  AEH
△BCE≌△HAE(ASA) ，
 BE  EH ，
 BE  AE  AB  19 ，
 BE  EH  AB  AE  7 ，
 CH  CE  HE  12  7  5 ， 故答案为：5．
如图，在长方形 ABCD 的对角线 AC 上有一动点 E ，连接 DE ，过点 E 作 EF  DE 交射线 BC 于点 F ，
ACB  30 ，当EFC 为等腰三角形时， EDC 的度数是．
【答案】15 或60
【解析】
【分析】根据题意，找到临界状态，在临界状态上下，分两种情况讨论：① CDE 是等边三角形，
EDC  60 ；② CDE 是一般， EDC  15 ；从而得到答案．
【详解】解：根据题意，若 DE AC ，如图所示：
此时C 与 F 重合， EFC 不存在，以此为临界状态，分两种情况讨论：
①如图所示：
 EFC 为等腰三角形， ACB  30 ，
FEC  ABC  30，
在长方形 ABCD 中， BCD  90， ACB  30 ，则ACD  60 ，
 EF  DE ， FEC  30 ，
DEC  60 ，
CDE 是等边三角形，即EDC  60 ；
②如图所示：
 EFC 为等腰三角形，
CEF  CFE ，
 ACB  30 ，是EFC 的一个外角，
ABC  30  2FEC ，即FEC  15 ，
在长方形 ABCD 中， BCD 90，ACB 30 ，则ACD 60 ，
EF DE ， FEC 15 ，
DEC 105，
在CDE 中，利用三角形内角和定理可知：
EDC 180  DEC  DCE
180 105  60
180 165
15；
综上所述， EDC 的度数是15 或60， 故答案为：15或60 ．
【点睛】本题考查矩形中求角度问题，涉及等腰三角形性质、长方形性质、等边三角形的判定与性质、三角 形外角性质、三角形内角和定理等，读懂题意，找到临界状态，作出图形，分类讨论是解决问题的关键． 三、解答题（本大题共 9 题，共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
一个多边形的内角和比它的外角和的 3 倍少180 ，求这个多边形的边数．
【答案】7
【解析】
【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是360 ，与边数无关．多边形的外角和是360 ，根据多边形的内角和比它的外角和的 3 倍少180 ，即可得到多边形的内角和的度数．根据多边形的内角和定理即可求得多边形的边数．
【详解】解：设这个多边形的边数是 n，依题意得,
n 2180  3360 180 ，
n 7 ．
∴这个多边形的边数是 7．
如图，正方形网格的每个小正方形的边长为 1． V ABC 的三个顶点均在格点上．
画出V ABC 关于直线 MN 对称的△A1B1C1 ；
在直线 MN 上找一点 P ，使 PA  PC 的值最小．
【答案】（1）画图见解析
（2）画图见解析
【解析】
【分析】本题考查的是画轴对称图形，轴对称的性质的应用，熟练的画图是解本题的关键；
分别确定 A, B,C 关于 MN 的对称点 A1 , B1 , C1 ，再顺次连接即可；
连接 A1C 交 MN 于 P ，则 P 即为所求；
【小问 1 详解】
解：如图， △A1B1C1 即为所求；
【小问 2 详解】
解：如图，连接 A1C 交 MN 于 P ，则 P 即为所求；
如图，点A 、 D 、C 、 B 在同一条直线上， AD  BC ， AE  BF ， AE ∥ BF ，求证： CE  DF ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是
解题的关键；
根 据 AD  DC  BC  DC
， 可 得 AC  BD ， 根 据 AE ∥ BF
， 得 出 B  A
， 即 可 证 明
△AEC ≌△BFD ，进而得出CE  DF ．
【详解】证明： AD  BC ，
 AD  DC  BC  DC ，
 AC  BD
 AE ∥ BF ，
B  A ，
 AE  BF ，
△AEC≌△BFD SAS ，
CE  DF ．
如图， Rt△ABC 中， ACB  90, CD  AB 于 D．
尺规作图：作CAB 的角平分线，交CD 于点 P，交 BC 于点 Q（保留作图痕迹，不写做法）；
若ABC  54，求CPQ 的度数．
【答案】（1）见解析（2）72°
【解析】
【分析】（1）以点 A 为圆心，适当长为半径画弧，交 AC、AB 于一点，然后再以这两点为圆心，大于这两点距离的一半为半径画弧，交于一点，进而连接这个点和 A 点，交 CD 于点 P，BC 于点 Q，则问题可求解；
（2）由题意易得CAB  36 ， CAQ  1 CAB  18 ，然后可得ACD  54，进而问题可求解．
2
【小问 1 详解】解：如图
【小问 2 详解】
解：ACB  90ABC  54 ，
CAB  36 ，
又 AQ 平分CAB ，
CAQ  1 CAB  18 ，
2
又CD  AB ，
ADC  90 ，
ACD  54 ，
CPQ  CAQ  ACD  72 ．
【点睛】本题主要考查直角三角形的性质及角平分线的尺规作图，熟练掌握直角三角形的性质及角平分线 的尺规作图是解题的关键．
如图，在等边V ABC 中，点 D 在边 BC 上，过点 D 作 DE ∥ AB 交 AC 于点 E，过点 E 作 EF  DE ，
交 BC 的延长线于点 F．
求F 的度数；
求证： DC  CF ．
【答案】（1） 30 ；
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关 键是熟练掌握基本知识：
由平行线的性质求出EDC ，再由三角形的内角和定理解决问题即可.
证DEC 是等边三角形，得CE  CD ，再证CEF  F  30 ，得 EC  CF ，即可得出结论.
【小问 1 详解】
解：∵V ABC 是等边三角形，
∴B=60，
∵ DE ∥ AB ，
∴ B  EDC  60 ，
∵ DE  EF ，
∴ DEF  90 ，
∴ F  90  EDF  90  60  30；
【小问 2 详解】
证明：∵V ABC 是等边三角形，
∴ B  ACB  60 ，
∵ DE ∥ AB ，
∴ B  EDC  60 ，
∴ EDC  ECD  DEC  60 ，
∴ DEC 是等边三角形，
∴ CE  CD ，
∵ � ECD� F
行CEF，
F = 30 ，
∴ CEF  F  30 ，
∴ EC  CF ，
∴ CD  CF ．
如图，在V ABC 中， CA  CB ， ACB  90 ，直线l 过顶点C ，过 A、B 分别作直线l 的垂线，垂足分别为 E、F ．
求证： EF  BF  AE ；
若 BF  3AE ， EF  4 ，直接写出△BFC 的面积．
【答案】（1）证明过程见详解
（2） BFC 的面积为6
【解析】
【分析】本题主要考查垂直的性质，全等三角形的判定和性质，
根据垂直的性质可得ACE  CBF ，由此可证ACE≌CBF  AAS  ，可得 AE  CF，CE  BF ，由 EF  CE  CF 即可求证；
由（1）的结论代入计算可得 AE  2  CF，BF  3AE  6 ，根据三角形的面积计算公式即可求解．
【小问 1 详解】
证明：∵ ACB  90 ，
∴ ACE  BCF  90，
∵ BF  l ， AE  l ，
∴ BFC  AEC  90 ，
∴ BCF  CBF  90 ，
∴ ACE  CBF ， 在ACE，CBF 中，
ACE  CBF

AEC  CFB  90 ，

CA  BC
∴ ACE≌CBF  AAS  ，
∴ AE  CF，CE  BF ，
∵ EF  CE  CF ，
∴ EF  BF  AE ；
【小问 2 详解】
解：由（1）可得， EF  BF  AE ，且 BF  3AE ， EF  4 ，
∴ 4  3AE  AE ，
解得， AE  2  CF ，
∴ BF  3AE  6 ，
∴ S BFC
 1 CF·BF  1  2  6  6 ，
22
∴ BFC 的面积为6 ．
已知：如图，BAC 的角平分线与 BC 的垂直平分线 DG 交于点 D ， DE AB ， DF AC ，垂足分别为 E ， F ．
求证： BE  CF ；
若 AF  8 ， BC  10 ，求V ABC 的周长．
【答案】（1）见解析（2） 26
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质；
（ 1 ） 连结 CD ， 根据线段垂直平分线的性质和角平分线性质得出 BD  CD ， DE  DF ， 证明
Rt△BDE ≌ Rt△CDF HL ，即可得出结论；
（2）证明 AED ≌ AFD AAS ，可得 AE  AF  8 ，然后求出V ABC 的周长为 AF  AE  BC ，计算即可．
【小问 1 详解】
证明：连接CD ，
∵D 在 BC 的中垂线上，
∴ BD  CD ，
∵ DE AB ， DF AC ， AD 平分BAC ，
∴ DE  DF ， BED  CFD  90 ，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF HL ，
∴ BE  CF ；
【小问 2 详解】
∵ AD 平分BAC ，
∴∠EAD  ∠FAD ，
∵ DE AB ， DF AC ，
∴ AED  AFD  90， 又∵ AD  AD ，
∴  AED ≌ AFD AAS，
∴ AE  AF  8 ，
由（1）可知 BE  CF ，
∴V ABC 的周长为： AC  AB  BC  AF  CF  AE  BE  BC  AF  AE  BC  8  8 10  26 ．
问题提出：
我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．如图 1， V ABC 中， AC  7 ， BC  9 ，
AB  10 ，P 为 AC 上一点，当 AP 时，  ABP 与CBP 是偏等积三角形；
问题探究：
如图 2，△ABD 与 ACD 是偏等积三角形， AB  2 ， AC  6 ，且线段 AD 的长度为正整数，则 AD 的长度为；
问题解决：
如图 3，四边形 ABED 是一片绿色花园， CA  CB ， CD  CE ，
ACB  DCE  90(0  BCE  90) ．  ACD 与BCE 是偏等积三角形吗？请说明理由． 问题拓展：
如图 4，将V ABC 分别以 AB ， BC ， AC 为边向外作正方形 ABDE ，正方形 BCFG ，正方形 ACMN ， 连接 DG ， FM ， NE ，则图中有组偏等积三角形．
7
【答案】（1） ；（2）3；（3）  ACD 与BCE 是偏等积三角形，理由见解析；（4）6
2
【解析】
【分析】（1）连接 BP ，由 ABP 与CBP 在 AP 、CP 边上的高相等，可知当点 P 为 AC 中点时， ABP 与CBP 的面积相等，且 ABP 与CBP 不全等，即可求解；
过 C 作CE ∥ AB 交 AD 的延长线于 E，根据△ABD 与 ACD 是偏等积三角形，且△ABD 与 ACD
在 BD 、CD 边上的高相等，则有 BD  CD ，再证明△ECD≌△ABD ，得 ED  AD，EC  AB  2 ， 再根据三角形的三边关系可知 AC  EC  AE  AC  EC ，进而可求解；
先证明ACD  BCE ，再由CA  CB ，CD  CE ，说明 ACD 与BCE 不全等，作 BF  CE 于点 F，AG  DC 交CD 的延长线于点 G，可证明 ACG ≌BCF 得 AG  BF ，即可证明 ACD 与BCE
面积相等，即可解答；
过 N 作 AE 于 P，过点 C 作CQ  AB 于点 Q，证明 ANP≌ ACQ ，得出 NP  CQ ，即可证明△AEN
和V ABC 面积相等，然后说明△AEN 和V ABC 不全等，即可判断△AEN 和V ABC 是偏等积三角形，然
后同理判断△DBG 和V ABC 、△MCF 和V ABC 是偏等积三角形，进而判断出
△AEN 和△MCF 、△DBG 和△AEN 是偏等积三角形即可．
【详解】解：（1）如图 1，连接 BP ，
  ABP 与CBP 在 AP 、CP 边上的高相等，
当 AP  CP  1 AC  1  7  7 时，  ABP 与CBP 的面积相等，
222
 BC  9，AB  10 ，
 BC  AB ，
 AP  CP，BP  BP，BC  AB ，
  ABP 与CBP 不全等，
  ABP 与CBP 是偏等积三角形；
7
△DBG 和△MCF 、
故答案为： ；
2
如图 2，过 C 作CE ∥ AB 交 AD 的延长线于 E，
 ABD 与 ACD 是偏等积三角形，且△ABD 与 ACD 在 BD 、CD 边上的高相等，
 BD  CD ，
在ECD 和△ABD 中，
 E  BAD

EDC  ADB

CD  BD
△ECD≌△ABD(AAS) ，
 ED  AD，EC  AB  2 ，
 AC  EC  AE  AC  EC ， AB  2 ， AC  6 ，
 6  2  2 AD  6  2 ，
 2  AD  4 ，
线段 AD 的长度为正整数，
 AD  3 ， 故答案为：3；
 ACD 与BCE 是偏等积三角形．
理由：如图 3，
Q ACB  DCE  90 ，
ACD  BCE  180，
 0  BCE  90 ，
ACD  90 ，
ACD  BCE ，
CA  CB ， CD  CE ，
  ACD 与BCE 不全等，
作 BF  CE 于点 F， AG  DC 交CD 的延长线于点 G，则G  BFC  90 ，
 ECG  180  DCE  90 ，
ACG  BCF  90  BCG ，
G  BFC

在 ACG 和V BCF 中， ACG  BCF ，

CA  CB
ACG≌BCF AAS ，
 AG  BF ，
 1 CD  AG  1 CE  BF ，
22
ACD 与BCE 面积相等，
ACD 与BCE 是偏等积三角形；
如图 4，过 N 作 NP  AE 的延长线于 P，过点 C 作CQ  AB 于点 Q，
．
四边形 ABDE 、 ACMN 是则正方形，
BAE  CAN  90 ， AB  AE ， AC  AN ，
EAN  BAC  360  BAE  CAN  180 ， 又EAN  NAP  180 ，
NAP  CAQ ，
在 ANP 和 ACQ 中
NAP  CAQ

P  AQC  90 ，

 AN  AC
ANP≌ACQ AAS ，
 NP  CQ ，
 1 AE  NP  1 AB  CQ
22
AEN 和V ABC 面积相等，
BAC  EAN ， AB  AE ， AC  AN ，
AEN 和V ABC 不全等，
AEN 和V ABC 是偏等积三角形，
同理： △DBG 和V ABC 、△MCF 和V ABC 是偏等积三角形，
 △DBG 和△MCF 、△AEN 和△MCF 、△DBG 和△AEN 是偏等积三角形，
故图中共 6 组是偏等积三角形， 故答案为：6．
【点睛】本题是四边形的综合题，此题重点考查新定义问题的求解、三角形的三边关系、同角的余角相等、 全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
如图，CN 是等边V ABC 的外角ACM 内部的一条射线，点A 关于CN 的对称点为 D ，连接 AD ，BD ，
CD ，其中 AD ， BD 分别交射线CN 于点 E 、 P ．
依题意补全图形；
若ACN  a ，求BDC 的大小（用含 a 的式子表示）；
用等式表示线段 PB ， PC 与 PE 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析（2） 60  a
（3） PB  PC  2PE ，见解析
【解析】
【分析】（1）按要求画图即可；
由轴对称可得CA  CD ，再由等腰三角形和等边三角形的性质即可得到结论；
在 PB 上截取 PF  PC ，如图所示，连接CF ，先证明PCF 为等边三角形，再证明△BFC ≌△DPC ，则 BF  PD  2PE ，由此可解决问题．
【小问 1 详解】
解：补全图形如图所示：
【小问 2 详解】
解：点A 、 D 关于CN 对称，
∴ CN 为 AD 中垂线，
CA  CD ， ACN  DCN  a ，
 ACD  2a ，
又 ABC 为等边三角形，
 AB  AC  BC ，
 BC  CD ，
BCD  60  2a ， BDC  DBC ，
BDC  180  (60  2a)  60  a ；
2
【小问 3 详解】
解： PB  PC  2PE ，
证明：在 PB 上截取 PF  PC ，如图所示，连接CF ，
CA  CD ， ACD  2a ， CN  AD ，
CDA  CAD  90  a ，
BDC  60  a ，
PDE  CDA  BDC  90  a 60  a  30 ，
PD  2PE ， DPE  60  CPF ，
 PF  PC ，
△PCF 为等边三角形，
BFC  DPC  120 ， 在△BFC 和△DPC 中，
CBF  CDP

BFC  DPC ，

BC  DC
BFC≌DPC AAS ，
 BF  PD  2PE ，
 PB  PF  BF  PC  2PE ， 即 PB  PC  2PE ．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定 与性质，作出合理的辅助线构造等边三角形转移线段是解答本题的关键．