2025-2026学年山东省潍坊市安丘市东埠中学九年级上学期第一次学科素养展示数学试题

这是一份2025-2026学年山东省潍坊市安丘市东埠中学九年级上学期第一次学科素养展示数学试题，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知关于x的二次三项式的部分对应值如表：
据此可估计关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．若将一元二次方程化成的形式，则的值为（ ）
A．B．C．5D．17
4．如图，在一块矩形的劳动实践基地上有三条同宽的道路，横向有一条，纵向有两条，除道路外，剩下的是种植面积．已知该矩形基地的长为34米，宽为18米，种植面积为480平方米，则劳动基地中的道路宽为（ ）
A．1米B．1.5米C．2米D．2.5米
5．如图，为矩形对角线上的一点，，则方程的正数解是（ ）
A．线段的长B．线段的长
C．线段的长D．线段的长
6．在中，若，则的值估计在（ ）
A．0到之间B．到之间
C．到1之间D．0到之间
7．如图，已知，，，，则的长是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在中，是边上的中线，且，是边上的高．若，，则的长为（ ）
A．B．C．6D．
9．如图，在边长为的正方形网格中，点、、、、都在小正方形格点的位置上，连接，相交于点，根据图中提示所添加的辅助线，可以求得的值是（ ）
A．B．C．D．
10．数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树A，B的距离，他们设计了如图的测量方案：从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂直于AE的方向走到F，C为AE上一点，其中4位同学分别测得四组数据：①AC，∠ACB；②EF，DE，AD；③CD，∠ACB，∠ADB；④∠F，∠ADB，FB．其中能根据所测数据求得A，B两树距离的有（ ）
A．1组B．2组C．3组D．4组
二、填空题
11．如图，在中，，的垂直平分线交边于点，若，则 ．
12．如图所示，P为∠α的边OA上一点，且P点的坐标为（3，4），则sinα+csα= ．

13．等腰三角形一条边的长度为3，另两条边的长度是关于x的一元二次方程的两个根，则k的值是 ．
14．方程，当，时，它的正根的个数是 个．
15．已知：m、n是方程x2+2x﹣1＝0的两根，则（m2+3m+3）（n2+3n+3）＝ ．
三、解答题
16．选用恰当的方法解方程
(1)
(2)
17．（1）计算：．
（2）求中锐角α的值．
18．若关于x的一元二次方程有两个实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若a，b是关于x的一元二次方程的两个根，且，求m的值．
19．某农场准备利用如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形家禽养殖场（篱笆只围两边），并在两边上各开一个宽的门（门不用篱笆围），则养殖场的面积能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
20．2024年是农历甲辰龙年．网店老板小王近期购进一批进价89元的“龙年大吉”保温杯，以每个100元的价格销售．由于销售火爆，保温杯的销售单价经过两次调整后，上涨到每个121元，此时每天可售出66个．
(1)若销售单价每次上涨的百分率相同，求该百分率；
(2)调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加3个．为了尽快减少库存，小王决定降价促销．若使每天所获销售利润为1512元，则销售单价应降低多少元？
21．“为了安全，请勿超速”，如图所示是一条已经建成并通车的公路，且该公路的某直线路段MN上限速17m/s，为了检测来往车辆是否超速，交警在MN旁设立了观测点C．若某次从观测点C测得一汽车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200m．
（1）求观测点C到公路MN的距离；
（2）请你判断该汽车是否超速？（参考数据：≈1.41，≈1.73）

22．学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（）．如图，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述对角的正对定义，解下列问题：
(1)的值为___________
A． B．1 C． D．2
(2)对于，的正对值的取值范围是___________．
(3)已知，其中α为锐角，试求的值．
23．如图，在中，，，，点D从点C开始沿CA边运动，速度为1cm/s，与此同时，点E从点B开始沿BC边运动，速度为2cm/s，当点E到达点C时，点D同时停止运动，连接AE，设运动时间为s，的面积为S．
(1)是否存在某一时刻t，使？若存在，请求出此时刻t的值，若不存在，请说明理由．
(2)点D运动至何处时，？
《山东省潍坊市安丘市东埠中学2025-2026学年九年级上学期第一次学科素养展示数学试题》参考答案
1．D
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，正确理解一元二次方程的定义是解答本题的关键．“方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，这样的方程叫做一元二次方程”．根据一元二次方程的定义，即可逐步判断．
【详解】选项A，不是整式，所以不是一元二次方程，不符合题意；
选项B，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
选项C，当时，不是一元二次方程，不符合题意；
选项D，是一元二次方程，符合题意．
故选：D．
2．C
【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，根据表格数据得到时，，时，进行求解，即可解题．
【详解】解：时，，
时，，
关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为，
故选：C．
3．C
【分析】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．先利用配方法将方程化成的形式，从而可得的值，再代入计算即可得．
【详解】解：，
，
，
∵将一元二次方程化成的形式，
∴，
∴，
故选：C．
4．C
【分析】考查一元二次方程的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系列出方程是解题的关键．假设出修建的路宽应x米，利用图形的平移法，将种植地平移拼接为长方形，即可列出方程，进一步求出x的值即可．
【详解】解：假设修建的路宽应x米，则，
，
整理得：
解得：米，米(不合题意舍去)，
故选C．
5．C
【分析】此题考查了解一元二次方程，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
首先求出一元二次方程的解为或8，然后由矩形的性质得到，，然后利用勾股定理求出，进而得到，即可求解．
【详解】
或
解得或
∵四边形是矩形，
∴，
∴
∴．
∴方程的正数解是线段的长．
故选：C．
6．C
【分析】本题考查了求一个角的余弦值，无理数的估算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据角的余弦值的定义得，结合，则，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
故选：C．
7．A
【分析】本题主要考查了利用三角函数比解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数比．
利用等腰直角三角形求出，再利用求出长度即可得出答案．
【详解】解：在中，，
∴，
，
，
，
故选：A．
8．D
【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，等边对等角和三角形内角和定理，根据题意可得，则由等边对等角和三角形内角和定理可证明，则；利用勾股定理求出，则，则，据此可得答案．
【详解】解：∵是边上的中线，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
故选：D．
9．C
【分析】本题考查了三角函数，勾股定理，平行线的性质，解题的关键是数形结合．由题得：，，，根据勾股定理求出，，进而求出，即可求解．
【详解】解：由题得，，，，
，，
，，
在中，，
则，
故选：C．
10．C
【分析】根据三角函数的定义及相似三角形的判定定理及性质对各选项逐一判断即可得答案．
【详解】∵已知∠ACB的度数和AC的长，
∴利用∠ACB的正切可求出AB的长，故①能求得A，B两树距离，
∵AB//EF，
∴△ADB∽△EDF，
∴，故②能求得A，B两树距离，
设AC＝x，
∴AD＝CD+x，AB＝，AB＝；
∵已知CD，∠ACB，∠ADB，
∴可求出x，然后可得出AB，故③能求得A，B两树距离，
已知∠F，∠ADB，FB不能求得A，B两树距离，故④不能求得A，B两树距离，
综上所述：求得A，B两树距离的有①②③，共3个，
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质及解直角三角形的应用，解答道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形，解直角三角形即可求出．
11．/
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，勾股定理的应用，求解三角函数值，先证明，，结合勾股定理可得，再利用锐角的正切可得答案．
【详解】解：如图，的垂直平分线交边于点，，
∴，，
∵，
∴，
∴；
故答案为：
12．
【分析】根据正弦和余弦的概念求解．
【详解】解：∵P是∠α的边OA上一点，且P点坐标为（3，4），

∴PB=4，OB=3，OP= =5,
故sinα= = , csα= ,
∴sinα+csα=,
故答案为
【点睛】此题考查的是锐角三角函数的定义，解答此类题目的关键是找出所求角的对应边．
13．18
【分析】本题主要考查了根的判别式、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质等知识点，分3为等腰三角形的腰与3为等腰三角形的底两种情况考虑是解题的关键．分3为等腰三角形的腰与3为等腰三角形的底两种情况讨论，再利用一元二次方程的解和根的判别式即可得解．
【详解】解：当3为等腰三角形的腰时，将代入原方程得，，解得：，
此时原方程为，
解方程得，，，
，
不能为等腰三角形的腰，
当3为等腰三角形的底时，方程有两个相等的实根，
，
解得：，
原方程为：，
，
可以围成等腰三角形，
，
故答案为：18．
14．1/一
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系等知识．先计算，得到方程有两个不相等的实数根，设方程的两个实数根为，则，得到方程有一正实数根和一负实数根，问题得解
【详解】解：由题意得，
∵，，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
设方程的两个实数根为，
则，
∴方程有一正实数根和一负实数根．
故答案为：1
15．7
【分析】根据题意得到m+n=-2，mn=-1，m2+2m=1，n2+2n=1，再将（m2+3m+3）（n2+3n+3）变形为（m2+2m+m+3）（n2+2n+n+3），进而得到（m+4）（n+4），进而得到mn+4（m+n）+16，问题得解．
【详解】解：∵m、n是方程x2+2x﹣1＝0的两根，
∴m2+2m﹣1＝0 ，n2+2n﹣1＝0，m+n=-2，mn=-1，
∴m2+2m=1，n2+2n=1，
∴（m2+3m+3）（n2+3n+3）
=（m2+2m+m+3）（n2+2n+n+3）
=（1+m+3）（1+n+3）
=（m+4）（n+4）
=mn+4m+4n+16
=mn+4（m+n）+16
=-1+4×（-2）+16
=7．
故答案为：7
【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，根与系数的关系，熟知一元二次方程根的定义，根与系数的关系，并根据题意将所求代数式变形是解题关键．
16．(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用公式法求解即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，
或，
，；
（2）解：，
，
，
，
，
17．（1）（2）
【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值的运算，二次根式的运算等知识点，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
（1）把特殊角的三角函数值代入计算得到答案；
（2）根据的正切值是解答即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
18．(1)
(2)
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键；
（1）由题意易得，然后求解即可；
（2）由题意易得，然后根据完全平方公式可得，进而代入进行求解即可
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得：；
（2）解：由题意知：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
即：m的值为．
19．养殖场的面积能为，此时的值为或
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出对应的代数式和方程是解题的关键．
设，根据题意表示出，列出方程并解方程即可．
【详解】解：养殖场的面积能为，理由如下：
设，则，
由题意得：，
整理得：，
解得：或，
∴养殖场的面积能为，此时的值为或．
20．(1)每次上涨的百分率为
(2)销售单价应降低20元
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用：
（1）设每次上涨的百分率为，则第一次调整后的售价为元，第二次调整后的售价为元，由此列方程即可；
（2）设销售单价应降低元，根据进价、售价、销量、利润之间关系列方程，即可求解．
【详解】（1）解：设每次上涨的百分率为，
由题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：每次上涨的百分率为．
（2）解：设销售单价应降低元，根据题意，得
解方程，得，（不合题意，舍去）．
答：销售单价应降低20元．
21．（1）100m;(2) 该汽车没有超速．
【分析】（1）过C作CH⊥MN,垂足为H,在中结合锐角三角函数关系得出CH即可,
（2）汽车BH,AB的长,进而求出汽车的速度,进而得出答案．
【详解】详解:（1）过C作CH⊥MN,垂足为H,如图所示:
∵∠CBN=60°,BC=200m,
∴CH=BC•sin60°=200×=100m,
即观测点C到公路MN的距离为100m,
（2）该汽车没有超速,理由如下:
∵BH=BC•cs60°=100m,
∵∠CAN=45°,
∴AH=CH=100m,
∴AB=100﹣100≈73（m）,∴车速为=14.6m/s,
∵60千米/小时=m/s,
又∵14.6＜,
∴该汽车没有超速．

【点睛】此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系的应用,熟练掌握解直角三角形,得出AB的长是解决问题（2）的关键．
22．(1)B
(2)
(3)
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，求出底角的度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对的定义解答；
（2）求出0度和度时等腰三角形底和腰的比即可；
（3）作出直角，构造等腰三角形，根据正对的定义解答．
【详解】（1）解：根据正对定义，
当顶角为时，等腰三角形底角为，
则三角形为等边三角形，
则，
故选B；
（2）解：当接近时，接近0，
当近时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故接近2．
于是的取值范围是．
故答案为；
（3）解：如图，在中，，，
在上取点D，使，
作，H为垂足，令，，
则，
又∵在中，，，
∴，，
则在中，，，
于是在中，，，
由正对的定义可得：，即．
【点睛】本题考查了新定义的运算，解题的关键是理解新定义，再根据新定义直接求解．
23．(1)；
(2)当时，．
【分析】（1）表示出，，，利用求解即可；
（2）求出，设，则，，，可得即可求出．
【详解】（1）解：设运动时间为s时，，则，，，
此时，
∴，即，解得：，
∴时，，
（2）解：∵，，
∴，
设，则，，，
∴，
解得： ，（舍去），
∴当时，．
【点睛】本题考查动点问题，解题的关键是掌握相似三角形的判定及性质，一元二次方程的实际应用．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
C
C
C
C
A
D
C
C