2025-2026学年内蒙古呼和浩特市新城区国星教育集团九年级上学期第一次月考数学试题

这是一份2025-2026学年内蒙古呼和浩特市新城区国星教育集团九年级上学期第一次月考数学试题，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．一元二次方程配方后可变形为（ ）
A．B．C．D．
3．二次函数 的图象的顶点坐标是 （ ）
A．B．C．D．
4．下列一元二次方程中有实数根的是（ ）
A．B．
C．D．
5．若，是关于的方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．B．3C．D．
6．已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
7．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．B．且
C．且D．
8．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．方程的解是 ．
10．将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到对应函数图象的解析式为 ．
11．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数量的小分支． 若主干、支干和小分支的总数是 57，设每个支干长出 x 个小分支，则可列方程为
12．若，则 ．
三、解答题
13．解下列方程：
(1)（直接开平方法）；
(2)（配方法）；
(3)（公式法）；
(4)（因式分解法）．
14．已知二次函数，当时有最大值，且函数图象经过点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)当为何值时，随的增大而增大？
15．已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值．
16．“杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．
（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．
17．根据以下素材，探索完成任务．
18．已知二次函数，其图象经过，，．
(1)求二次函数的解析式及顶点坐标；
(2)画出这个二次函数的图象；
(3)根据图象，直接写出：
①当_____时，函数有最_____值，该值为_____；
②当时，函数值的取值范围是_____．
如何设计购买服装的方案
素材1
小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元．
素材2
如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．
素材3
按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．
问题解决
任务1
（1）设购买件服装，
①当时，小丽购买的这种服装的单价为_____；
②写出用含的代数式表示单价；
任务2
（2）小丽一次性购买这种服装付了1200元，则她购买多少件这种服装？
《内蒙古自治区呼和浩特市新城区国星教育集团2025—2026学年上学期第一次教学质量调研 九年级数学试题》参考答案
1．D
【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程定义：含有一个未知数、未知数的最高次数是2次的整式方程，根据定义逐项判定即可得到答案，熟记一元二次方程的定义是解决问题的关键．
【详解】解：A、不是一元二次方程，不符合题意；
B、，若，不是一元二次方程，不符合题意；
C、是二元一次方程，不是一元二次方程，不符合题意；
D、是一元二次方程，符合题意；
故选：D．
2．C
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即可配方，熟练掌握配方法解一元二次方程是解此题的关键．
方程两边同时加上9，再写成完全平方的形式即可．
【详解】解：，
，即，
故选：C．
3．D
【分析】由于二次函数的顶点坐标为，由此即可求出抛物线的顶点坐标．
【详解】∵二次函数，
∴其图象的顶点坐标为．
故选D．
【点睛】考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点式求其顶点的坐标．
4．D
【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根”是解题的关键．分别求出各选项中方程的根的判别式的值，取的选项即可．
【详解】解：A．∵，
∴关于x的一元二次方程没有实数根，选项A不符合题意；
B．∵，
∴关于x的一元二次方程没有实数根，选项B不符合题意；
C．方程整理得，，
∵，
∴关于x的一元二次方程没有实数根，选项C不符合题意；
D．∵，
∴关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，选项D符合题意．
故选：D．
5．C
【分析】本题主要考查了根与系数的关系，若方程的两根为，，则．利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题．
【详解】解：∵，是关于的方程的两个实数根，
∴．
故选：C．
6．C
【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越近，函数值越大，据此求出三个点到对称轴的距离即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数的图象开口向下，对称轴为，
∴离对称轴越近，函数值越大，
点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为．
∵，
∴，
故选C．
7．B
【详解】解：根据题意得且，解得且．
8．B
【分析】本题主要考查了一次函数图象和二次函数图象的判定，解题的关键是熟练掌握一次函数和二次函数图象的性质，根据二次函数图象和一次函数图象的特点进行判定即可．
【详解】解：∵二次函数中，
∴二次函数图象开口向上，C、D选项不符合题意，
∵A、B两个选项中抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴，
∴一次函数经过第一、二、四象限．
故选：B．
9．，
【分析】本题考查解一元二次方程．掌握解一元二次方程的方法是解题关键．根据因式分解法解方程即可．
【详解】解：
∴
∴
∴或
∴该方程的解为：，．
故答案为：，．
10．
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解答的关键，先将二次函数解析式化为顶点式，再根据二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”解答即可．
【详解】解：将二次函数化为顶点式为：，
将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，
得到的新图象函数的表达式为，
故答案为．
11．x²+x+1=57
【分析】由题意设每个支干长出 x 个小分支，每个小分支又长出 x 个分支，则又长出 x2 个分支，则共有 x²+x+1 个分支，即可列方程．
【详解】设每个支干长出 x 个小分支， 根据题意列方程得：x²+x+1=57． 故答案为 x²+x+1=57．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目，找到关键描述语，找到等量关系是解题的关键．
12．6
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程．解答该题时，注意中的t的取值范围：．
设．则原方程转化为关于t的一元二次方程，即；然后解关于t的方程即可．
【详解】解：设，则，
∴，
解得或（不合题意，舍去）；
故．
故答案为：6．
13．(1)，
(2)，
(3)，
(4)，
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．
（1）移项，整理，利用直接开平方法求得方程的解即可；
（2）利用配方法解方程求得答案；
（3）利用公式法，首先求出判别式的值，再利用求根公式求得答案；
（4）利用因式分解法求得方程的解即可．
【详解】（1）解：，
整理得，
∴，
解得，；
（2）解：，
，
，
，
，
∴，
解得，；
（3）解：，
，
∵，，，
∴，
∴，
解得，；
（4）解：，
，
即，
∴或，
解得，．
14．(1)
(2)
【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
（1）由于当时有最大值，则抛物线的顶点式为，再把代入即可求出a，从而得到二次函数解析式；
（2）再根据二次函数的性质易得，当时，y随x的增大而增大．
【详解】（1）解：∵二次函数，当时有最大值，
∴，二次函数，
∵函数图象经过点，
∴，
解得，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：∵抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下，
∴当时，y随x的增大而增大．
15．（1）；（2）
【分析】（1）根据方程有实数根的条件，即求解即可；
（2）由韦达定理把和分别用含m的式子表示出来，然后根据完全平方公式将变形为，再代入计算即可解出答案．
【详解】（1）由题意可得：
解得：
即实数m的取值范围是．
（2）由可得：
∵；
∴
解得：或
∵
∴
即的值为-2．
【点睛】本题主要考查的是根的判别式、根与系数的关系，要牢记：（1）当时，方程有实数根；（2）掌握根与系数的关系，即韦达定理；（3）熟记完全平方公式等是解题的关键．
16．（1）20%；（2）能
【分析】（1）设亩产量的平均增长率为x，依题意列出关于x的一元二次方程，求解即可；
（2）根据（1）求出的平均增长率计算第四阶段亩产量即可．
【详解】解：（1）设亩产量的平均增长率为x，根据题意得：
，
解得：，（舍去），
答：亩产量的平均增长率为20%．
（2）第四阶段的亩产量为（公斤），
∵，
∴他们的目标可以实现．
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，掌握2次变化的关系式是解决本题的关键．
17．（1）①76元；②；（2）小丽购买了20件这种服装
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据已知得出每件服装的单价是解题关键．
（1）①根据每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，计算购买12件时的单价；
②根据每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，计算购买件服装的单价即可；
（2）根据“单价件数”得一元二次方程，求解，再根据单价不得低于50元取合适的值即可．
【详解】解：（1）①（元），
即当时，小丽购买的这种服装的单价为76元，
故答案为：76元；
②∵购买件服装，
∴单价为；
（2）由题意得：，
解得：，，
当时，，
当时，（不符合题意，舍去），
答：小丽购买了20件这种服装．
18．(1)；
(2)见解析
(3)①1；小；；②
【分析】本题主要考查运用待定系数法求二次函数解析式、画二次函数图象以及二次函数图象与性质，正确求出二次函数解析式是解答本题的关键．
（1）把，，代入二次函数解析式，求出a、b、c的值，得二次函数解析式，将解析式化为顶点式可得顶点坐标；
（2）运用描点法画出二次函数的图象即可；
（3）根据函数图象回答问题即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过，，，
∴，
解得，
∴二次函数解析式为；
∵，
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）解：∵二次函数的图象经过，，，且顶点坐标为，
∴描点、连线得：
（3）解：由图象得
①当时，函数有最小值，该值为；
②当时，函数值的取值范围是．
故答案为：①1；小；；②．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
D
C
D
D
C
C
B
B