黑龙江省牡丹江市第一高级中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题（含答案）含答案解析

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一、选择题：
填空题：
9 . 13、 . 14、
解答题：
15、已知直线.
(1)求经过点且与直线垂直的直线方程；
(2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程.
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）由直线可得斜率为，
所以根据垂直关系可设所求直线方程为，
则依题意有，解得，
所以所求直线方程为，整理得；
（2）联立，解得，即直线与的交点为，
当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为，
代入得，此时；
当直线的截距都不为0时，设直线方程为，
依题意，解得，此时直线方程为，
综上所述：所求直线方程为或.
16、已知直线，圆，圆：.
(1)判断直线与圆的位置关系，并说明理由；
(2)圆与圆交于两点，求过与这三点的圆的方程.
【答案】(1)相交，理由见解析
(2)
（2）法一：设圆的方程代入计算求解即可；法二：根据交点设圆的方程计算求参即可.
【详解】（1）由于，则直线过定点，，故定点在圆内，直线与圆相交.
（2）法一：联立两圆方程，解得，
令所求圆方程为，
代入三点，，
得所求圆方程为.
法二：令所求圆方程为，
代入，，
解得，故所求圆方程为.
17、已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点且倾斜角为的直线与椭圆交于两点，分别求的周长和面积．
【答案】(1)
(2)周长为8，面积为
【详解】（1）由题意可知：，则，
，
，
椭圆
（2）根据椭圆的定义，的周长为；
其中，直线的斜率为，
直线，
联立方程组得，显然，
设，则，
，
点到直线的距离，
.
18、已知圆C：，点P是直线l：上一动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B．
(1)若P的坐标为，求过点P的切线方程；
(2)试问直线AB是否恒过定点，若是，求出这个定点，若否说明理由；
(3)直线与圆C交于E，F两点，求的取值范围（O为坐标原点）.
【答案】(1)或，(2) (3)
【详解】（1）
由图像易知：是其一条切线，
设另切线方程为 ，即
圆心坐标为，半径
根据圆的切线的定义可知：，即
解得：
代回方程可求得切线方程为：
所以或，
过点P的切线方程为：或，
（2）
∵圆
∴圆心，半径，
设，由题意知在以为直径的圆上，又,
∴以为直径的圆的方程为：，即
又圆C：，即
故直线的方程为，即
由，解得，
即直线AB恒过定点.
（3）由，得
∴
设，
∴，
∴，


∵
∴
∴的取值范围为.
19、如图，椭圆的方程为，左、右焦点分别为．设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点．
(1)若，求直线的斜率；
(2)求证：是定值．
【答案】(1) (2)证明见解析
【详解】（1）由于，又因为，
所以设直线的方程分别为，，，，，．
联立方程可得，求得．
所以
．①
同理可得，．②
由①②两式得，．
由已知得，故．
注意到，所以．所以直线的斜率为．
（2）证明：因为，所以，
即，即．
所以．
由点在椭圆上知，，
所以．
同理可得，．
所以
．
由①②两式得，，，
所以．
所以是定值．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
B
C
B
C
C
A
A
D
BCD
CD
BD