2025-2026学年海南省琼中中学高三（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

这是一份2025-2026学年海南省琼中中学高三（上）月考数学试卷（9月份）（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“∃x∈(0,2)，2x−x2≥1”的否定是( )
A. ∀x∉(0,2)，2x−x2≥1B. ∀x∈(0,2)，2x−x20，且2x+2y=8，则xy的最大值是( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
7.若mlg53=1，2n=lg336，则33m−2n=( )
A. 75216B. 7536C. 12536D. 62536
8.已知a=5(ln5−2ln2),b=e15,c=109，则( )
A. b>a>cB. b>c>aC. a>b>cD. a>c>b
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知正数a，b满足a5>b5，则下列不等式一定成立的有( )
A. a>b−1B. a+1b>b+1aC. a−1b>b−1aD. a+1b+1>ab
10.已知a，b∈R，函数f(x)=(x−1)|x−1|+ax+b，则下列结论中正确的是( )
A. 存在a，b∈R，使得f(x)无零点
B. 对任意a，b∈R，f(x)至少有一个零点
C. 存在a，b∈R，使得f(x)有两个零点
D. 存在a，b∈R，使得f(x)的图象关于(1,1)对称
11.已知函数f(x)=(x2+a)e2x存在极大值点x1和极小值点x2，则下列说法正确的是( )
A. x1x2lnx，
令x=1+1n=n+1n,n∈N∗，那么12(1+1n−nn+1)>lnn+1n，
整理可得12(1n+1n+1)>ln(n+1)−lnn，
即12(1+12)>ln2−ln1=ln2，12(12+13)>ln3−ln2，…，12(1n+1n+1)>ln(n+1)−lnn，
12[1+2(12+13+⋯+1n)+1n+1]>ln(n+1)，
化简可得1+13+14+15+⋯+1n+12(n+1)>ln(n+1)，n∈N∗，证明完毕．
18.(1)由题意知y=f(x+1)的图象关于直线x=−1对称，
则y=f(x)的图象关于y轴对称，即f(x)=ex+eax2,x∈R为偶函数，
故f(−x)=f(x)，∴e−x+e−ax2=ex+eax2，即ex−e−x=−(eax−e−ax)，
设g(x)=ex−e−x，x∈R，则g(−x)=e−x−ex=−g(x)，
即g(x)为奇函数，
又g′(x)=ex+e−x>0，所以g(x)在R上单调递增，
则由ex−e−x=−(eax−e−ax)，可得g(x)=−g(ax)，则g(x)=g(−ax)，
则x=−ax，所以(a+1)x=0，
由于x∈R，故a+1=0，所以a=−1；
(2)由(1)可知f(x)=ex+e−x2，则f(−x)=f(x)，f(x)为偶函数，
f′(x)=ex−e−x2，当0e−x，则f′(x)>0，
则f(x)在(0,1]上单调递增，在[−1,0)上单调递减，
且f(1)=e+e−12，f(0)=1，
故f(x)在[−1,1]上的值域为[1,e+e−12]；
(3)∀x∈[−1,1]，不等式f(2x)+mf(x)≥0恒成立，
即e2x+e−2x2+m⋅ex+e−x2≥0恒成立，
即∀x∈[−1,1]，(ex+e−x)2−2+m(ex+e−x)≥0恒成立，
令t=ex+e−x，由于x∈[−1,1]，结合(2)可知t∈[2,e+e−1]，
则(ex+e−x)2−2+m(ex+e−x)≥0即为t2+mt−2≥0，
即得m≥2t−t对于t∈[2,e+e−1]恒成立，
因为函数y=2t−t在[2,e+e−1]上单调递减，所以(2t−t)max=22−2=−1，
故m≥−1，即m的取值范围为[−1,+∞)．
19.(1)由题意，f′(x)=lnx，x>0．g′(x)=1−2x+1,x>−1，
令s(x)=f′(x)，t(x)=g′(x)，则s′(x)=1x,x>0；t′(x)=2(x+1)2,x>−1，
∴s′(x)>0，t′(x)>0．
由函数f′(x)和g′(x)存在a−平衡点，知s(x)和t(x)存在a−平衡点，
∴存在实数x0使得as′(x0)=t′(x0)成立，即存在实数x0使得a=t′(x0)s′(x0)成立．
令ℎ(x)=t′(x)s′(x)=2xx2+2x+1=1x2+12x+1≤12，当且仅当x=1时，等号成立．
∴ℎ(x)的最大值为12．
实数a的最大值为12．
(2)(i)若函数f(x)和g(x)存在3个不同的a−平衡点x1，x2，x3，且x10，且x≠1．
令G(x)=2lnx−x+1x,x>0，则G′(x)=−(x−1)2x2≤0，∴G(x)在(0,+∞)上单调递减．
∵G(1)=0，∴当00，F(x)在(0,1)上单调递增；
当x>1时，G(x)