2025-2026学年湖南省长沙市高三（上）10月月考数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年湖南省长沙市高三（上）10月月考数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|y= x+1},B={y|y=x2+1}，则A∩(∁RB)=( )
A. [0,1)B. (−∞,1)C. [−1,1)D. [−1,1]
2.双曲线C：y24−x2=1的渐近线方程为y=mx，则|m|=( )
A. 12B. 22C. 2D. 2
3.已知Sn为等比数列{an}的前n项和，若a4=4a3−4a2，则S4a1+a2=( )
A. 5B. 9C. −9D. −5
4.已知实数a>0，b>1满足a+b=5，则2a+1b−1的最小值为( )
A. 3+2 24B. 3+4 24C. 3+2 26D. 3+4 26
5.已知函数f(x)=a2ax−1+a(a>0且a≠1)是奇函数，则f(1)=( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
6.已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，它的侧面展开图是圆心角为π的扇环，则该圆台的体积为( )
A. 7 33πB. 8 33πC. 163πD. 563π
7.已知函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称，且f(x)在(1,+∞)上单调，若a>0，b>0，且f(a)+f(b)=0，则2a+8b的最小值是( )
A. 4B. 92C. 8D. 9
8.如图是棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1，则两个三棱锥D−A1BC1，B1−AD1C的公共部分的内切球的表面积为( )
A. π3
B. 2π3
C. 4π3
D. 8π3
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，正确的是( )
A. 回归直线y​=b​x+a​可以不经过样本中心
B. 可以用相关系数r刻画两个变量的相关程度强弱，r值越大两个变量的相关程度越强
C. 残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高
D. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2=4.712，根据小概率值α=0.05的χ2独立性检验(x0.05=3.841)，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05
10.已知函数f(x)=2sin(x2−π3)，则下列说法正确的有( )
A. x=−π3为函数f(x)图象的一条对称轴B. f(x)在区间[π,2π]上单调递增
C. f(x)在区间[−π,π]上的值域为[−2,1]D. f(x)在区间[0,4π]上有3个零点
11.已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，点P为C上任意一点，若点M(1,3)，下列结论错误的是( )
A. |PF|的最小值为2
B. 抛物线C关于x轴对称
C. 过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条
D. 点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在(1+2x)5的展开式中含x2的项的系数为______．
13.已知x>−1，y>0且满足x+2y=1，则1x+1+2y的最小值为 ．
14.已知函数f(x)=1,x>00,x=0−1,x0,b>0)实轴端点分别为A1(−a,0)，A2(a,0)，右焦点为F，离心率为2，过A1点且斜率1的直线l与双曲线C交于另一点B，已知△A1BF的面积为92．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过F的直线l′与双曲线C交于M，N两点，试探究直线A1M与直线A2N的交点Q是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由．
17.(本小题20分)
电信诈骗是指通过电话、网络和短信方式，编造虚假信息，设置骗局，对受害人实施远程诈骗的犯罪行为.随着5G时代的全面来临，借助手机、网银等实施的非接触式电信诈骗迅速发展蔓延，不法分子甚至将“魔爪”伸向了学生.为了调查同学们对“反诈”知识的了解情况，某校进行了一次抽样调查.若被调查的男女生人数均为20n(n∈N∗)，统计得到以下列联表.经过计算，依据小概率值α=0.025的独立性检验，认为该校学生对“反诈”知识的了解与性别有关，但依据小概率值α=0.01的独立性检验，认为该校学生对“反诈”知识的了解与性别无关．
(1)求n的值；
(2)将频率视为概率，用样本估计总体，从全校男生中随机抽取5人，记其中对“反诈”知识了解的人数为X，求X的分布列及数学期望．
(3)为了增强同学们的防范意识，该校举办了主题为“防电信诈骗，做反诈达人”的知识竞赛.已知全校参加本次竞赛的学生分数η近似服从正态分布N(80,25)，若某同学成绩满足μ−σ≤η≤μ+2σ，则该同学被评为“反诈标兵”；若η>μ+2σ，则该同学被评为“反诈达人”．
(i)试判断分数为88分的同学能否被评为“反诈标兵”；
(ii)若全校共有50名同学被评为“反诈达人”，试估计参与本次知识竞赛的学生人数.(四舍五入后取整)
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
若x～N(μ,σ2)，则P(μ−σ≤x≤μ+σ)=0.6827，P(μ−2σ≤x≤μ+2r)=0.9545，P(μ−3σ≤x≤μ+3σ)=0.9973．
18.(本小题20分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F(2,0)到C的一条渐近线的距离为 3．
(1)求C的方程；
(2)设点P在C的右支上，过点P作圆O：x2+y2=32的两条切线，一条与C的左支交于点M，另一条与C的右支交于点N(异于点P)．
(i)证明：OM⊥OP；
(ii)当△PMN的面积最小时，求直线PM和直线PN的方程．
参考答案
1.C
2.D
3.A
4.A
5.C
6.A
7.D
8.C
9.CD
10.AC
11.AB
12.40
13.92
14.(1, 5)
15.(1)根据2b=c+2acsC，由正弦定理得2sinB=sinC+2sinAcsC，
在△ABC中，sinB=sin(A+C)=sinAcsC+sinCcsA，
则2sinAcsC+2csAsinC=sinC+2sinAcsC，整理得2csAsinC=sinC，
结合sinC>0，可得csA=12，又A∈(0,π)，所以A=π3．
(2)由(1)得S△ABC=12bcsinA= 34bc=3 34，解得bc=3，
根据△ABC的周长为a+b+c=9，可得b+c=9−a，
由余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA=(b+c)2−3bc，可得a2=(9−a)2−9，解得a=4．
16.解：(1)设直线l的方程为y=x+a，
联立y=x+ax2a2−y2b2=1，得y=2ab2b2−a2，
又e=ca=2，c2=a2+b2，代入上式得
所以y=3a，即yB=3a，
所以S△A1BF=12(a+c)⋅3a=92，解得a=1，
所以b= 3，c=2，
所以双曲线的方程为x2−y23=1．
(2)当直线l′的斜率不存在时，M(2,3)，N(2,−3)，
直线A1M的方程为y=x+1，
直线A2N的方程为y=−3x+3，
联立直线A1M与直线A2N的方程可得的Q(12,32)，
当直线l′的斜率存在时，设直线l′的方程为y=k(x−2)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
联立y=k(x−2)x2−y23=1得(3−k2)x2+4k2x−4k2−3=0，
所以x1+x2=4k2k2−3，x1x2=4k2+3k2−3，
所以直线A1M的方程为y=y1x1+1(x+1)，直线A2N的方程为y=y2x2−1(x−1)，
所以x+1x−1=y2(x1+1)y1(x2+1)，
两边平方得(x+1x−1)2=y22(x1+1)2y12(x2−1)2，
又因为x2−y23=1，
所以y22(x1+1)2y12(x2−1)2=3(x22−1)(x1+1)23(x12−1)(x2−1)2=(x2+1)(x1+1)(x1−1)(x2−1)=x1x2+(x1+x2)+1x1x2−(x1+x2)+1=4k2+3k2−3+4k2k2−3+14k2+3k2−3−4k2k2−3+1=4k2+3+4k2+k2−34k2+3−4k2+k2−3=9，
所以(x+1x−1)2=9，
所以x=12，或x=2(舍去)，
所以定直线方程为x=12．
17.解：(1)由已知，完成列联表，
由题意χ2=40n×(150n2−50n2)220n×20n×25n×15n=8n3，
根据条件，可得5.024≤8n3