湖南省长沙市2026届高三上学期10月月考数学试卷（含答案）

这是一份湖南省长沙市2026届高三上学期10月月考数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A=x|y= x+1，B=y|y=x2+1，则A∩∁RB=( )
A. [0,1)B. (−∞,1)C. [−1,1)D. [−1,1]
2.双曲线C:y24−x2=1的渐近线方程为y=mx，则|m|=( )
A. 12B. 22C. 2D. 2
3.已知Sn为等比数列an的前n项和，若a4=4a3−4a2，则S4a1+a2=( )
A. 5B. 9C. −9D. −5
4.已知实数a>0，b>1满足a+b=5，则2a+1b−1的最小值为( )
A. 3+2 24B. 3+4 24C. 3+2 26D. 3+4 26
5.已知函数f(x)=a2ax−1+a(a>0且a≠1)是奇函数，则f(1)=( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
6.已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，它的侧面展开图是圆心角为π的扇环，则该圆台的体积为( )
A. 7 33πB. 8 33πC. 163πD. 563π
7.已知函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称，且f(x)在(1,+∞)上单调，若a>0，b>0，且f(a)+f(b)=0，则2a+8b的最小值是( )
A. 4B. 92C. 8D. 9
8.如图是棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1，则两个三棱锥D−A1BC1，B1−AD1C的公共部分的内切球的表面积为( )．
A. π3B. 2π3C. 4π3D. 8π3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，正确的是( )
A. 回归直线y=bx+a可以不经过样本中心
B. 可以用相关系数r刻画两个变量的相关程度强弱，r值越大两个变量的相关程度越强
C. 残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高
D. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2=4.712，根据小概率值α=0.05的χ2独立性检验x0.05=3.841，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05
10.已知函数f(x)=2sinx2−π3，则下列说法正确的有( )
A. x=−π3为函数f(x)图象的一条对称轴B. f(x)在区间π,2π上单调递增
C. f(x)在区间−π,π上的值域为[−2,1]D. f(x)在区间0,4π上有3个零点
11.已知抛物线C:x2=4y的焦点为F，点P为C上任意一点，若点M(1,3)，下列结论错误的是( )
A. |PF|的最小值为2
B. 抛物线C关于x轴对称
C. 过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条
D. 点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在(1+2x)5的展开式中含x2的项的系数为 ．
13.已知x> −1，y>0，且满足x+2y=1，则1x+1+2y的最小值为 ．
14.已知f(x)=1,x>00,x=0−1,x0,b>0)实轴端点分别为A1(−a,0)、A2(a,0)，右焦点为F，离心率为2，过A1点的直线l与双曲线C交于另一点B(x,3)，已知▵A1BF的面积为92．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过点F的直线l′与双曲线C交于M、N两点，试探究直线A1M与直线A2N的交点Q是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由．
17.(本小题12分)
电信诈骗是指通过电话、网络和短信方式，编造虚假信息，设置骗局，对受害人实施远程诈骗的犯罪行为．随着5G时代的全面来临，借助手机、网银等实施的非接触式电信诈骗迅速发展蔓延，不法分子甚至将“魔爪”伸向了学生．为了调查同学们对“反诈”知识的了解情况，某校进行了一次抽样调查．若被调查的男女生人数均为20nn∈N∗，统计得到以下列联表．经过计算，依据小概率值α=0.025的独立性检验，认为该校学生对“反诈”知识的了解与性别有关，但依据小概率值α=0.01的独立性检验，认为该校学生对“反诈”知识的了解与性别无关．
(1)求n的值；
(2)将频率视为概率，用样本估计总体，从全校男生中随机抽取5人，记其中对“反诈”知识了解的人数为X，求X的分布列及数学期望．
(3)为了增强同学们的防范意识，该校举办了主题为“防电信诈骗，做反诈达人”的知识竞赛．已知全校参加本次竞赛的学生分数η近似服从正态分布N(80,25)，若某同学成绩满足μ−σ≤η≤μ+2σ，则该同学被评为“反诈标兵”；若η>μ+2σ，则该同学被评为“反诈达人”．
(i)试判断分数为88分的同学能否被评为“反诈标兵”；
(ii)若全校共有50名同学被评为“反诈达人”，试估计参与本次知识竞赛的学生人数．(四舍五入后取整)
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
若x～Nμ,σ2，则P(μ−σ≤x≤μ+σ)≈0.6827,P(μ−2σ≤x≤μ+2r)≈0.9545,P(μ−3σ≤x≤μ+3σ)≈0.9973．
18.(本小题12分)
已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F(2,0)到C的一条渐近线的距离为 3．
(1)求C的方程;
(2)设点P在C的右支上，过点P作圆O:x2+y2=32的两条切线，一条与C的左支交于点M，另一条与C的右支交于点N(异于点P)．
(ⅰ)证明：OM⊥OP;
(ⅱ)当△PMN的面积最小时，求直线PM和直线PN的方程．
参考答案
1.C
2.D
3.A
4.A
5.C
6.A
7.D
8.C
9.CD
10.AC
11.AB
12.40
13.92
14.(1, 5)
15.解：(1)在▵ABC中，由2b=c+2acsC及正弦定理得2sinB=sinC+2sinAcsC，
则sinC+2sinAcsC=2sin(A+C)=2sinAcsC+2csAsinC，
因此2csAsinC=sinC，而sinC>0，则csA=12，又A∈(0,π)，
所以A=π3．
(2)由(1)及已知得S▵ABC=12bcsinA= 34bc=3 34，解得bc=3，
由a+b+c=9，得b+c=9−a，
由余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA=(b+c)2−3bc，则a2=(9−a)2−9，
所以a=4．

16.(1)解：因为双曲线C的离心率为e=ca=2，可得c=2a，则A1F=a+c=3a，
则S▵A1BF=12×3a×3=92a=92，可得a=1，则c=2，b= c2−a2= 22−12= 3，
因此，双曲线C的方程为x2−y23=1．
(2)证明：若直线l′与x轴重合，则点M、N为双曲线C实轴的端点，不合乎题意，
设直线l′的方程为x=my+2，设点Mx1,y1、Nx2,y2，
联立x=my+23x2−y2=3可得3m2−1y2+12my+9=0，
则3m2−1≠0Δ=144m2−363m2−1=36m2+1>0，可得m≠± 33，
由韦达定理可得y1+y2=−12m3m2−1，y1y2=93m2−1，
直线A1M的方程为y=y1x1+1(x+1)，直线A2N的方程为y=y2x2−1(x−1)，
联立直线A1M与直线A2N的方程可得x+1x−1=y2x1+1y1x2−1=y2my1+3y1my2+1=my1y2+3y2my1y2+y1
=9m3m2−1+3−12m3m2−1−y19m3m2−1+y1=−27m3m2−1−3y19m3m2−1+y1=−3，解得x=12．
因此，点Q在定直线x=12上.

17.(1)由已知，完成列联表，
χ2=40n×150n2−50n2220n×20n×25n×15n=8n3，
根据条件，可得5.024≤8n3