四川省成都市石室中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题（Word版附解析）

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一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 若全集 ， ， ，则集合 的元素个数有（ ）
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
【答案】D
【解析】
【分析】根据集合的运算法则计算即可.
【详解】因为 ，
所以 ，所以 有 4 个元素.
故选：D
2. 若复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】应用复数 四则运算化简复数，即得虚部.
【详解】由题设 ，故虚部为 .
故选：B
3. 函数 的最小正周期是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】易得 的周期为 ，函数 的周期为函数 的周期的 ，
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再判断 与 的关系即可.
【详解】令 ，其周期 ，
对于函数 ，其周期为函数 的周期的 ，
所以 ，
所以 不是函数 的一个周期，
又因为 ，
所以 是函数 的周期，
即函数 的最小正周期是 .
故选：C.
4. 已知 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】应用全概率公式、对立事件的概率求法列方程求 .
【详解】由全概率公式知
，
所以 .
故选：A
5. 已知一圆锥的轴截面是正三角形，将其侧面展开，得到的扇形的圆心角为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意得出底面圆半径与母线的关系，进而可求出扇形的圆心角.
【详解】设圆锥的底面圆的半径为 ，则其母线 ，
则其侧面展开扇形的圆心角 .
故选：C.
6. 如图，设抛物线 的焦点为 ，过 轴上一点 作直线 交 于 ， 两点，若 ，
，则 （ ）
A. 4 B. 3 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线的定义，可求两线段的长度之比.
【详解】对抛物线 ，焦点 ，准线： .
如图：
过 向准线作垂线，垂足为 ，交 轴于 ，根据抛物线定义，得 ，所以
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；
过 向准线作垂线，垂足为 ，交 轴于 ，根据抛物线定义，得 ，所以
.
所以 ，所以 .
故选：B
7. 已知函数 ，若对任意 ，当 时， 的图象与 的图象有交
点，则 的取值范围为（ ）
A. （0，1） B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出分段函数的值域，根据对任意 ，当 时， 的图象与 的图象有交点，
可得函数 的值域要覆盖所有的正实数，进而可得出答案.
【详解】当 时， 为减函数，则 ，
当 时， 为减函数，则 ，
因为对任意 ，当 时， 图象与 的图象有交点，
所以函数 值域要覆盖所有的正实数，
所以 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
故选：C.
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8. 若 ，则 为偶数的排列的个数为（ ）
A. 144 B. 288 C. 432 D. 576
【答案】C
【解析】
【分析】先得出全排列有 个排列，得出奇数有 个，即可间接法得出偶数的
排列数.
【详解】因为 ，所以共有 个排列，
若 为奇数，
则 ， ， 全部为奇数，有 个，
故 为偶数的排列共有 个．
故选：C．
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分、共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得 6 分、部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知直四棱柱 中，四边形 为矩形， ， ， 为 的
中点， 为 的中点， 为线段 上的动点（不含端点），则下列说法正确的是（ ）
A. 平面 B.
C. 三棱锥 的体积为定值 D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据已知及线面平行的判定判断 A；由空间向量加减、数乘的几何意义，用 表示出
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判断 B；由面面、线面平行的判定及性质证明 平面 ，结合棱锥的体积公式判断 C；应用
线面垂直的判定和性质定理证 判断 D.
【详解】由题设 ， 且不含端点，则 平面 ，
而 平面 ，则 平面 ，A 对；
由 ，B 错；
由 分别是 的中点，有 ，而 ，即 ，
所以 为平行四边形，故 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，同理，由 也可得 平面 ，
由 ，且 平面 ，则平面 平面 ，
由 平面 ，则 平面 ，而 ，
所以 到平面 恒定不变，又 为定值，则 恒定不变，
由 ，故三棱锥 体积为定值，C 对；
由题设 ，则 ，
且 ，即 ，
则 ，所以 ，
而 平面 ， 平面 ，则 ，
由 ，且 平面 ，则 平面 ，
由 平面 ，则 ，D 对.
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故选：ACD
10. 将函数 的图象水平平移，得到函数 的图象，若 的导函数
，则下列平移能满足题意的是（ ）
A. 向左平移 个单位长度 B. 向左平移 个单位长度
C. 向右平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度
【答案】AC
【解析】
【 分 析 】 根 据 导 函 数 可 得 ， 由 三 角 恒 等 变 换 可 得 或
，结合诱导公式及图象平移变换依次判断即可.
【详解】因为 的导函数 ，所以 ，
因为只有左右水平平移，故 ，所以 .
因为 ，
或 ，
，
对于 A，将函数 的图象向左平移 个单位长度，
得 ，满足题意，故 A 正确；
对于 B，将函数 的图象向左平移 个单位长度，
得 ，不满足
题意，故 B 错误；
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对于 C，将函数 的图象向右平移 个单位长度，
得 ，满足题意，故 C 正确；
对于 D，将函数 的图象向右平移 个单位长度，
得 ，不满足题意，
故 D 错误.
故选：AC
11. 已知 ，圆 ，点 为圆 上一动点，以 为直径的圆 交 轴于 ， 两
点，设 ， ， ，则（ ）
A. 当点 在 轴上时， B. 的取值范围是
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于 A，先根据已知求出点 的坐标，然后再验算 即可；对于 B，得出点 在以坐标原点
为圆心、 为半径的圆上运动，即可验算；对于 C，根据圆的向量表示式，结合韦达定理即可验证；对于 D
，只需验证 是否成立即可.
【详解】
当 在 轴上时， ，则 ，则 ，故 A 正确；
设 且 ，则 ，代入得 ，
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可得 在以坐标原点 为圆心、 为半径的圆上运动，又圆 交 轴于 ，故 ，故 B 正
确；
以 为直径的圆 的方程可写为 ，
令 ，可得 ，即 ，
则 分别为方程的两根，由韦达定理得 ， ，故 C 错误；
要证 ，即证 ，
，
，
所以 ，即 ，故 D 正确．
故选：ABD
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 如图，矩形 中， 是线段 的中点， 是线段 的中点，连接 ，若
，则 _____.
【答案】 ##
【解析】
【分析】利用向量的线性运算和中点公式的向量运算即可求解.
【详解】由 是线段 的中点，可得 ，
又由 是线段 的中点，可得 ，
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所以
，
即 ，
故答案为：
13. 已知正实数 ， 满足 ，则 的最大值为_____.
【答案】1
【解析】
【分析】根据对数的运算性质，先把 化成 的形式，再结合基本不等式，求 的
最大值，最后利用对数函数的单调性可求 的最大值.
【详解】因为 ，所以 ，当且仅当 即 ，
时取等号.
所以 .
故答案为：1
14. 如图， 是正四面体 棱 上的两个三等分点，分别过 作同时平行于 的平面，
将正四面体分成上中下三部分，其体积分别记为 ，则 _____．
【答案】
【解析】
【分析】利用几何体的特征可知 ，利用割补法求出 即可得答案.
【详解】由题意可知 ， ,
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设正四面体的棱长为 6，则下部分可以看作一个直棱柱 两端截去两个体积相同的四棱锥
和 ，如图，
由题可知， , , ;
由直棱柱的性质可知 ,所以 的高为 ，且为四棱锥 的高；
,
棱长为 6 的正四面体高为 ，其体积为 .
所以 ，所以 .
故答案为：
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某家超市连续 5 天的广告支出 （万元）与销售额 （万元）的数据如下：
第 天 1 2 3 4 5
广告支出 2 4 5 6 8
销售额 20 30 60 60 80
（1）从这 5 天中随机抽取 3 天，记销售额不少于 60 万元的天数为 ，求 的分布列及均值；
（2）已知 与 线性相关，求出 关于 的经验回归方程，并预测广告支出为 10 万元时的销售额．
附：经验回归直线 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ，
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【答案】（1）分布列见解析；期望为
（2） ，102.5 万元
【解析】
【分析】（1）根据超几何分布的概率公式求解分布列，进而可求解期望，
（2）利用最小二乘法求解线性回归方程即可.
【小问 1 详解】
销售额不少于 60 万元的有 3 天， 的所有可能取值为 ， ， ，
， ， ，
所以 的分布列为：
1 2 3
所以 ；
【小问 2 详解】
， ，
，
，
， ，
所以经验回归方程为 ，
当 时， ，
答：所求方程为 ，预测销售额为 102.5 万元.
16. 已知 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ，则
（1）已知 ，求 ；
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（2）若 ，过 作 的垂线，垂足为 ，且 ，求 ， ；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换公式得 ，再结合 为三角形内角，可求角
.
（2）利用三角形的面积公式和余弦定理列式，可求 .
【小问 1 详解】
因 ，
所以 ，
故 ，即 .
所以 或 .
又 为三角形内角，且 ，
若 ，则 ，此时 ；
若 ，则 .
综上： .
【小问 2 详解】
如图：
因为 ，
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所以 .
又由余弦定理： .
所以 .
17. 已知函数
（1）求 的极小值；
（2）若 的极大值为 ，证明： .
【答案】（1）0 （2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先对函数 求导，根据导数分析函数单调性，进而确定极小值；
（2）先求出极大值 的表达式，再通过构造新函数，利用导数研究新函数单调性来证明 ．
【小问 1 详解】
已知 ， ，
则 ，
令 ， ，
令 ，解得 ，
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增，
在 处取得最小值 ．
又 ，
故存在 ，使得 ，又 ，
当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减；
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当 时， 单调递增．
所以 在 处取得极小值 ．
【小问 2 详解】
由（1）知 在 处取得极大值 ，
由 得 ，其中 ，
所以 ，
令 ，
当 时， ，则 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ．
18. 人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿（Isaac Newtn，1643-1727）在《流数法》一书
中给出了牛顿法：用“作切线”的方法求方程的近似解.具体步骤如下：设 是函数 的一个零点，
任意选取 作为 的初始近似值，在点 处作曲线 的切线 ，设 与 轴交于点
，并称 为 的 1 次近似值；在点 处作曲线 的切线 ，设 与 轴交于
点 ，称 为 的 2 次近似值.一般地，在点 处作曲线 的切线 ，记 与
轴交于点 ，并称 为 的 次近似值.
（1）若函数 ，取 作为 的初始近似值，求 的 2 次近似值；
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（2）若函数 ，取 作为 的初始近似值，点 ，数列 是由 ， ， ， ，
构成的，记： ， .回答以下问题：
（i）求数列 的通项公式，并将 的长度用 表示；
（ii）求证： .
【答案】（1）
（2）（i） ； ；（ii）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用导数求出曲线的切线方程，即可得 r 的 2 次近似值；
（2）①先求出在点 处的切线斜率为 ，可得切线方程，从而得 ，
即 可 求 得 的 表 达 式 ； 由 抛 物 线 的 定 义 可 得 ； ② 利 用
进行放缩，结合等比数列的前 n 项和公式，可证命题.
【小问 1 详解】
由 得 ，则 ，又 ，得 ，
故在 处的切线 的方程为： ，
令 ，得到 ，所以 ，得到 ，
所以 ，在 处的切线 的方程为： ，
令 ，得到 ，故 r 的 2 次近似值为 ；
【小问 2 详解】
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（i）由 ，得 ，
，则 ， ，得 ，
同理：在点 处的切线斜率为 ，
，将 代入得 ，
所以 或 ，
若 ，则 重合，与题设矛盾，故舍去，
故 ，故数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
得到 ，
由抛物线的定义可得 ，
故 ；
（ii）由题意得 ，
由（i）知 ，
得 ，
结合 时， ，
可得 ，故 ，
所以 ，将 代入，
得
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.
19. 平面几何中有一定理如下：三角形任意一个顶点到其垂心（三角形三条高所在直线的交点）的距离等于
外心（外接圆圆心）到该顶点对边距离的 2 倍.已知 的垂心为 D，外心为 E，D 和 E 关于原点 O 对称，
.
（1）若 ，点 B 在第二象限，直线 轴，求点 B 的坐标；
（2）若 A，D，E 三点共线，椭圆 T： 与 内切，证明：D，E 为椭圆 T 的两
个焦点.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据垂心以及外心满足的等量关系即可根据 ， ，求解，
（ 2） 根 据 共 线 以 及 可 得 ， 进 而 根 据 满 足 的 垂 直 关 系 可 得
，联立直线与椭圆方程，得判别式，化简可得 即可求解.
【小问 1 详解】
因为 ，所以 .
设 与 x 轴的交点为 ，由题意可得 ，
即 ，解得 .
设 ，因为 ，所以 ，
则 ，解得 .
所以 .
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【小问 2 详解】
证明：因为 D 和 E 关于原点 O 对称，且 A，D，E 三点共线，所以 A，D，E，O 四点共线，即点 A，D，E，
O 都在 x 轴上.
因为 是 的高，所以 ，即 轴.
因为 的外心为 E，所以 ，所以点 B 与点 C 关于 x 轴对称.
设 与 x 轴的交点为 ， ， ， ， ，
由题意可得 ，即 ，化简得 .
直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，
所以 ，化简得 ①
直线 的方程为 .
椭圆 与 内切，所以 .
联立
得 .
，
即 .
因为 ，所以 ，
即 ，即 .
结合①可得
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设椭圆 T 的焦距为 ，则 ，
所以 D，E 为椭圆 T 的两个焦点.
【点睛】关键点点睛：根据 以及垂心和外心满足的几何关系，根
据相切，通过判别式为 0 化简的 是本题的关键.