哈三中2025-2026学年度高一上学期十月月考数学试卷和答案

这是一份哈三中2025-2026学年度高一上学期十月月考数学试卷和答案，共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1． 已知集合 A  x | x  2或x  2 ， B   x | 4  x  1 ，则ðR A   B  （ ）
A． x | 2  x  1
B． x | 2  x  2
C．x | 2  x  1
D．x | 2  x  1
2． 已知命题 p : x 1, , x 2  2x ，则p 是（ ）
A． x 1, , x 2  2x
C． x 1, , x 2  2x
B． x 1, , x 2  2x
D． x 1, , x 2  2x
函数 y 
1
3  x  2x2
的定义域是（ ）
(, 1] [ 3 , )B． (,  1) (3, )C．  1, 3 D．[ 1 , 3]
222 2

若 a  b  0 ， m  0 ，下列结论正确的是（）
a  1  b  1
ba
mm

a2b2
b  b  m
aa  m
a  b
a2  b2
1
a  b
已知 f  x 1  x2  x  2，则函数 f x 1 的解析式为（）
f  x 1  x2  5x 1
C． f  x 1  x2  5x  4
f  x 1  x2  3x
D． f  x 1  x2  3x  6
“ a  b ”是“ a  b ”的（）
充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
x
若关于 x 的不等式 x  2 2  a  0 在 x [4, 9] 时有解，则实数a 的取值范围是（）
[3, )
[2, )
[1, )
[6, )
若对任意 x  (1, 3) ， (m 1)x2  (m  1)x  m  1  0恒成立，则m 的取值范围为（）

A．  5 , 
B．1, 
C．2, 
D．0, 
 3
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二、多选题：共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
设正实数 a, b 满足a  3b  6 ，则下列说法正确的是（）
a
2
ab 的最大值为3B． 3b 的最大值为3
C． 3b  1 的最大值为4D． 3  1 的最小值为12

aab
已知关于 x 的不等式ax2  bx  c  0 的解集为x 1  x  3 ，则（）
y  ax2  bx  c 有最大值B． 4a  3b  c  0
ax  c  0 的解集为{x | x  3}
bx2  a x  c  0 的解集为{x | x   3 或x  3}
22
已知xR ，用t(x) 表示 f ( x ), g ( x ), h ( x ) 中的中间者，记为t ( x )  m id{ f ( x ) , g ( x ) , h ( x )} （即当 f ( x )  g ( x )  h ( x ) 时，t(x)  g (x) ），若t  x   mid x 1 , x 1 , x2 ，则下列说法中正确的是（）
t  x  的图象为轴对称图形
当 x  1  5 , t  x   x  1 2
若 y  a 与 y  t  x  的图象有两个交点，则a 1, 
当t  x  的定义域为m, n 时， t  x  的值域为 3  5 ，则n  m   3  5 , 2
2,1
2

第Ⅱ卷（非选择题, 共 92 分）
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．将答案填在答题卡相应的位置上．
3
3  x
已知 M  x  Z Z  ，则集合 M 的真子集的个数是．


已知命题 p : x  R, x 2  a  0 ；命题q : x  R, x 2  2ax  2  a  0 ．若命题 p ，q 都是真命题，则实数a
的取值范围为．
已知二次函数 f x   mx 2  2x  n m ,n  R 
取值范围为.
的值域为
0,  ，且
f 1  7
m2
，则
n2 1
n2 m2 1
1948 的
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四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13 分）

已知 m  R ，集合 A  x | m 1  x  2m  5 ， B  x | x2  4x 12  0 ， C  {x | x 1
2x  4
 0} .
当 m  2 时，求 A  B 和 A  C ；
已知 A  (ðR B)  A ，求 m 的取值范围．
16．（15 分）
利用基本不等式求以下最值：
（1）若0  x  4 ，求 y  x 12  3x的最大值；
（2）已知a  0 ， b  0 ，且3a  2b  ab  0 ，求2a  3b 的最小值；
x2  6x 12
求 y 
x  3
在 x  3 时的最小值．
17．（15 分）
已知函数 f  x   ax2  1 a  x  a ．
若对任意的 x  R 都有 f (x)  0 成立，求实数a 的取值范围；
求关于 x 的不等式 f (x)  3a  2 的解集．
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18．（17 分）
某公司出售一款网红玩偶，假设购进该款产品能够全部售出．采购此玩偶有两种渠道，渠道一：若采购数量不超过 25 万件，只能从经销商处按每件成本 60 元购买，且另需投入 400 万元固定费用，此时
销售定价也与购进数量有关，若购进产品数量不超过 15 万件，定价 160 元/件即可；若购进该产品数
量多于 15 万件且不超过 25 万件，需降低定价销售，且单价每降低 2 元，销量增加 5000 件（例：若
购进 16 万件，则定价为 156 元/件）；渠道二：若购进数量在 25 万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行采购和销售，此时利润W (x) （万元）与采购量 x （万件）的关系为
W (x)  2x  7200 1800 ．
x 15
当购进产品数量为 12 万件时，利润是多少？（利润 销售收入 成本）
写出利润W  x （万元）关于采购 x （万件）的函数解析式；
购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？
19．（17 分）
已知集合 A  {1, 2, 3,, 2n}(n  N ) ，对于 A 的子集 B ，若存在不大于n 的正整数m ，使得对于 B 中的
任意两个元素 a1 , a2 ，都有 a1  a2  m ，则称 B 为 A 的“非凡”子集．
当n  6 时，试判断 M  {x  A | x  5}和 P  x  A | x  2k  1,k  N是否为 A 的“非凡”子集？并说明理由；
当n  1012 时，
①若T 为 A 的“非凡”子集，那么S  {(2025  x) | x T} 是否为 A 的“非凡”子集？并说明理由；
②若T 为 A 的“非凡”子集，求T 中元素个数的最大值．
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十月月考答案
一、单选
二、多选
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
D
C
B
C
A
B
A
题号
9
10
11
答案
AC
ABD
ABD
三、填空题
12. 1513. (, 2]
14. [1949, 2026]
解答题
15.（1） A  (3,1) ,
B  (, 2]∪[6, )
, C  (2,1]
………………3
A∪B  (,1)∪[6, )
A∩C  (2,1)
ðR B  (2, 6)
∵ A  ðR B
∴ A   时， m 1≥ 2m  5
m 1  2m  5
解得 m  6
………………5
………………7
………………8
………………10

A   时， m 1≥ 2

2m  5  6
综上， m (, 6]∪[
⇒ 1  m  1
2
1
1, ]
2
………………12
………………13
【答案】(1)12；(2)25；(3) 2 3 ．
【详解】（1） 0  x  4  12  3x  0 ，
11 3x  12  3x2
 y  x 12  3x   3x 12  3x   
 12,
…（4 分）
33 2
当且仅当3x  12  3x ，即 x  2 时等号成立，
 y  x 12  3x 的最大值为 12．（5 分）
（2）因为3a  2b  ab  0 ，所以 2  3  1（6 分）
ab
2a  3b   2  3  2a  3b  13 6b 6a
13
2
 2 ，（9 分）
ab
ab
 

6b 6a
ab
当且仅当即 6b  6a 即a  5, b  5 时，等号成立，
ab
所以2a  3b 的最小值为25（10 分）
（3） x  3  x  3  0 ， 令t  x  3 ，则t  0, x  t  3 ，
所以 y 
x2  6x 12
x  3
t 2  33
，化为 y  t  ，
tt
t  3
t
而 y  t  3  2
t
 2 3 ，（14 分）
3
当且仅当t  3 ，即t  x 
t
x2  6x 12
3  3 时等号成立，
 y 的最小值为2 3 ．（15 分）
x  3
【答案】（1）当a  0 时，不等式可化为 x  0 ，不满足题意；1

a  0,
当a  0 时，则有Δ  1 a 2  4a 2  0,3
解得 a  1 ．4
3
故实数a 的取值范围是a a  1 ．5
3


（2）不等式ax2  1 a x  a  3a  2 等价于ax2  1 a x  2a 1  0 ，即ax  a 1  x  2  0 ，
当a  0 时，不等式可化为 x  2  0 ，解集为x x  2 ；
当a  0 时，与不等式对应的一元二次方程的两根为 x   a 1  1 1 ， x  2 ．
1aa2
当a  0 时， x  x ，此时不等式解集为x 1 1  x  2
12；
a
当 1  a  0 时， x  x ，此时不等式解集为{x | x  2 或 x  1 1}；
312a
当a   1 时， x  x ，此时不等式解集为x x  2；
312
当a   1 时， x  x ，此时不等式解集为{x | x  1 1 或 x  2}．
312a
综上所述，
当a  0 时，解集为x x  2 ；
当a  0 时，解集为x 1 1  x  2
a
；

当 1  a  0 时，解集为{x | x  2 或 x  1 1} ；
3a
当a   1 时，解集为x x  2； 3
当a   1 时，解集为{x | x  1 1 或 x  2}．17
3a
解：（1）依题意，当购进产品数量为 12 万件时，利润是 800 万元.
（2）当0  x  15 时，W  x   160  60 x  400  100x  400 ；
当15  x  25 时，设降价t 元，则15  0.5 t
2
 x ，得到t  4  x 15 ，
所以W  x   160  4 x 15 x  60x  400  4x 2 160x  400 ；
当 x  25 时， W  x   2x  7200 1800
x 15
所以，


100x  400, 0  x  15

W  x   4x 2  160x  400,15  x  25 .
7200
 2x 1800, x  25
x 15
（3）由（2）知，当0  x  15 时，
当 x  15 时，利润最大，此时利润是 900 万元； 当15  x  30 时，W  x   4 x  202 1200 ，
当 x = 20 时，利润最大，此时利润是 1200 万元；
当 x  30 时，

W  x   2 x 15 

3600  1830  4
x 15  3600
x  50
x 15
1830  1590 ，
当且仅当 x 15 
3600
，即 x  45 时，利润最大，此时利润是 1590 万元.
x 15
因为1590  1200  900 ，所以当购进并销售产品 45 万件时，利润最大，此时利润是 1590
万元.
19．(1)集合 M 不是，集合 P 是，理由见解析；
(2)①集合 S 是，理由见解析；②1349，证明见解析.
【详解】（1）当n  6 时， A  1, 2, 3, 4, 5,,11,12，
M  x  A | x  5  6, 7,8, 9,10,11,12 不是 A 的非凡子集，
因为对于集合 M 中任意不大于 6 的正整数 m ，都可以找到该集合中两个元素b1  6 ，
b2  6  m 使得 b1  b2  m 成立，
P  x  A| x  2 k 1, k  N是 A 的“非凡”子集.
取 m  1  6 ， 对于该集合中任意一对元素 c1  2k1 1 ， c2  2k2 1 ， k1, k2  N 都有
c1  c2  2 k1  k2  1，
集合 M 不是，集合 P 是。 5 分
（2）若n  1012 时，则 A  1, 2, 3,, 2023, 2024 ，
①如果集合 T 是 A 的“非凡”子集，那么集合 S  {(2025  x) | x T} 是 A 的“非凡”子集，
因为 S  {(2025  x) | x T}，任取 s  2025  x0  S ，其中 x0  T ，
因为T  A ，则 x0 1, 2, 3,, 2023, 2024 ，从而1  2025  x0  2024 ，即s  A ，所以 S  A ，由集合 T 是 A 的“非凡”子集，知存在不大于1012 的正整数m ，使得对于 T 中的任意一对
元素 s1, s2 都有 s1  s2  m ，
在集合 S  {(2025  x) | x T} 中任取一对元素d1  2025  x1 ， d2  2025  x2 ，
其中 x1 , x2  S ，则由 d1  d2  x1  x2  m ，
所以集合 S  {(2025  x) | x T} 是 A 的“非凡”子集。 10 分
② 设集合 T 中有 k 个元素， 由① 知： 若集合 T 是 A 的“ 非凡” 子集， 那么集合
S  {(2025  x) | x T} 一定是 A 的“非凡”子集，
任给 x T ，1  x  2024 ，则 x 和2025  x 中必有一个不超过1012 ，
因此集合 T 和集合 S 中必有一个集合中至少存在一半的元素不超过1012 ，
不妨设 T 中有t(t  k ) 个元素b , b ,b 不超过1012 ，由集合 T 是 A 的“非凡”子集，
21 2t
知存在正整数 m  1012 ，使得对于 T 中的任意一对元素 s1, s2 都有 s1  s2  m ，
于是一定有b1  m,b2  m,bt  m T ，又bi  m  1012  1012  2024 ，
即b1  m,b2  m,bt  m  A ，则集合 A 中至少有t 个元素不在集合 T 中，因此 k  k  k  t  2024 ，所以k  k  2024 ，解得： k  1349 ，
22
当T  1, 2, 3,, 674, 675,1351,1352,2023, 2024 时，取m  675 ，
对于集合 T 中任意两个元素 y1, y2 都有 y1  y2  675 ，即集合 T 是 A 的“非凡”子集，而此
时集合 T 中有1349 个元素，
因此集合 T 中元素个数的最大值是1349 . 17 分