哈三中2025-2026学年度上学期高二学年12月月考数学试卷和答案

这是一份哈三中2025-2026学年度上学期高二学年12月月考数学试卷和答案，共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷 （选择题，共 58 分）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
2
2
椭圆 x  y  1的右焦点坐标为
43
A． 1, 0
B． 2, 0
C． 0，2
D． 0, 3 
已知直线l1 : mx  y 1  0 ， l2 : x  m 1 y 1  0 ，若l1  l2 ，则 m 
1
2C．  1
2
D． 1
2
直线 y  x 1被圆 x2  y2  2 截得的弦长为
6
6
2
2D．
2
2
比较下列四个椭圆的形状，其中更接近于圆的是
x2  y2 B． x2  y2 C． x2  y 2 D． x2  y 2 
1
910
1
810
1
710
1
610
哈三中百年校庆活动将 5 名教师志愿者分配到教学楼、田径场、艺体中心、普育广场
4 个地点参加志愿活动，每名志愿者仅去 1 个地点，每个地点至少需要 1 名志愿者，则不同的分配方案共有
A．60 种B．120 种C．240 种D．480 种
已知椭圆C : x2  y2  的左，右焦点分别为 F，F ，点 P 为椭圆C 上位于第一象限内
95112
的一点，点G  x , y  为VF PF 的重心，且F PF  ，则 y 的值为
0012
1230
5 3
6
5 3
9
5 3
12
5 3
18
已知圆C : (x  3)2  y2  1，圆C : (x  4)2  y2  4 ，M , N 分别是圆C ，C 上两个动点，
1212
点 P 是直线 y  x 上动点，则 PN  PM 的最大值是
A． 5B． 6C． 7D． 8
“用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线”．利用这个原理，小明在家里用射灯（射出的光锥视为圆锥）在墙上投影出椭圆（图 1）．图 2 是射灯投影的直观图，圆锥 PO 的轴截面 APB 是等腰直角三角形，椭圆O1 所在的平面与平面 APB 垂直，且点 M 为线段 PB 中点，则椭圆O1 的离心率为
A． 6
6
B． 5
5
C． 3
3
D． 2
2
图 1图 2
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
已知圆C :  x 12  y2  1与圆C :  x  32   y  m2  4 ，圆心分别为C ，C ，则下列
1212
结论正确的是
若过点C1 作圆C2 的切线有且只有 1 条，则m  0
若圆C1 与圆C2 有且只有 2 条公切线，则5  m  5
当m  2 时，两圆的公共弦所在直线的方程为4x  4 y  9  0
当m  2 时，过点C2 作圆C1 的切线，切点为 A ，则 AC2 =2
下列说法正确的是
已知 X 是随机变量，则 E  X 2   E 2  X 
一组样本数据的散点图中，若所有样本点 xi , yi  都在直线 y  0.95x 1上，则这组样本数据的样本相关系数为0.95
随机变量 X 服从正态分布 N 1,2 , P(x  1.5)  0.34 ，若 P(x  a)  0.34 ，则a  0.5
D ． 在 22 列联表中， 若 a,b,c,d 每个数据均变成原来的 2 倍， 则 2 不变
2 
n(ad  bc)2
（a  bc  d a  c b  d  ，其中n  a  b  c  d ）
已知点 F (2, 0) ，直线l : x  8 ， O 为坐标原点，动点 P 到点 F 的距离是点 P 到直线 l
的距离的一半. 若某直线上存在这样的点 P，则称该直线为“最远距离直线”，则下列
结论中正确的是
2
2
1
点 P 的轨迹方程是 x  y 
1612
直线l1 : x  2 y  8  0是“最远距离直线”
满足 OP  2 的点 P 有且仅有 4 个
3
若点 P 形成的轨迹为曲线 ，且矩形 ABCD 内接于曲线 ，则矩形 ABCD 面积的最大值为16
第Ⅱ卷 （非选择题，共 92 分）
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．将答案填在答题卡相应的位置上．
1 x5 的展开式中 x2 的系数为（用数字作答）．
1
已知椭圆C : x2  y2  ，若直线l 与椭圆相交于不同的两点 A，B，且线段 AB 的中
1612
 2 2 
点坐标为 1 , 1  ，则直线l 的斜率为．

已知椭圆C : x2  y2 的左，右焦点分别为 F，F ，O 为坐标原点，斜率
a2b21(ab0)12
1 2
为 1 且过 F 的直线交椭圆于 A，B 两点，VAF F 的内切圆圆心为点 I ，且 SV AF F  3 ,
1 2
11 2
SV IF F
OPOAOB
若 P 为椭圆上一点，且满足     （, R ），则2  2 的最大值 为.
四、解答题：本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤.
已知椭圆C : x2  y2  1 a  b  0 的右焦点为 F 1, 0 ，且长轴长为2 5 ．

a2b2
求椭圆 C 的标准方程；
经过椭圆 C 的右焦点 F 1, 0 作倾斜角为45的直线 l，直线 l 与椭圆相交于 M， N 两点，求线段 MN 的长．
如图，某海面上有O 、 A 、 B 三个小岛（面积大小忽略不计）， A 岛在O 岛的北偏东45方向 20 2km 处， B 岛在O 岛的正东方向10km 处. 已知在经过O 、 A 、 B 三个点的圆形区域内有未知暗礁，以O 为坐标原点，O 的正东方向为 x 轴正方向，1km 为单位长度，建立平面直角坐标系．
写出暗礁所在区域边界的圆的方程；
现有一船在O 岛的南偏西30方向距O 岛20km 处，正沿着北偏东45行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？
17．2023 年 10 月 6 日，哈三中举行百年校庆活动，在活动期间统计连续5 天进入学校参加活动的校友数（单位：千人）如下：
由上表数据看出，可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，请用相关系数r 加以说明（保留小数点后两位）；（若 r  0.75 ，则认为 y 与 x 的线性相关性很强），并求出 y 关于 x 的线性回归方程；
校庆期间学校仅开放1号门和 2 号门，校友从中随机等可能选择一个进入，且
出学校与进学校选择相同门的概率为 2 . 假设校友从1号门、2 号门出入学校互
3
不影响，现有甲、乙、丙、丁4 名校友于10 月 6 日回母校参加活动，设 X 为4
人中从 2 号门出学校的人数，求 X 的分布列、期望及方差．
555
日期
10 月 2 日
10 月 3 日
10 月 4 日
10 月 5 日
10 月 6 日
第 x 天
1
2
3
4
5
参观人数 y
2.2
2.6
3.1
5.2
6.9
158.6
附：参考数据：  x y  72 ，  x2  55 ， y  4 ，  y2  95.86 ，
12.59 ．
i i
i1
i
i1
i
i1
ˆ
 xi yi  nx  yˆ
n
n
参考公式：回归直线方程 y  bx  a ，其中bˆ  i1 ， a  y  bx ．

i1
2
x2 
inx
n
 xi yi  nx  y

n
x2  nx2y2  ny2
i 1
i

n
i 1
i
相关系数 r  i 1 ．
已知椭圆
x2y2
过点
3  ，A、B 分别是椭圆 C 的左、右
C : a2  b2  1 a  b  00,1、1, 2 

顶点．
求椭圆C 的方程；
已知点 D 是 x 轴上异于 A、B 的一点，过点 D 且斜率不为 0 的直线l 与椭圆C 交于 M、N 两点，直线 BM、BN 分别交直线 x  3 于 E、F 两点．
若直线l 垂直于 x 轴，且 EF =
3 ，求点 D 坐标；
3
是否存在点 D ，使得 ME  NF ？若存在，求点 D 坐标；若不存在，请说明理由．



已知向量OP  rcs,rsin 绕着原点O 沿逆时针方向旋转角可得到向量
OP  rcs, rsin ．
求点T 2, 0 绕着原点O 沿逆时针方向旋转得到的点T  的坐标；
4
已知曲线C 的方程为7x2  7y2 +2xy  24 ，点Q 是曲线C 上任意一点；
是否存在定点 M , N ，使得 QM  QN 为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由；
在（i）的条件下，过点M 的直线l1 与曲线C 交于 A, B 两点，过点 N 的直
线l2 与曲线C 交于 D, E 两点，且l1  l2 ，求以 A, D, B, E 四点为顶点的四边形面积的取值范围．
哈三中 2025-2026 学年度上学期高二学年 12 月月考数学答案
1-8：ACAA CDDB
9.AC 10.AC 11.AB
12.1013.  3
4
14. 7
2
1
（1） x2  y2 （2） 16 5
549
（1） x2  y2 10x  30 y  0 （2）有
（1）0.95，有很强的线性相关性
（2）

y  1.2x  0.4
X
0
1
2
3
4
P
1
16
1
4
3
8
1
4
1
16
EX   2
DX   1
（1） x2 
4
y2  1
（2）（i） 
1,0
（ii）  6

 5
，0


（1）  2, 2 （2）（i）4（ii）  288 ,6
 49