湖南省祁阳市第一中学2025-2026学年高一上学期第一次段考数学试卷（Word版附解析）

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符合题目要求的.
1. 设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据交集的定义计算可得.
【详解】因为 ，又 ，
所以 .
故选：C
2. 命题“ ， ”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定的定义求解即可.
【详解】根据存在量词命题的否定，
命题“ ， ”的否定是“ ， ”.
故选：D
3. 设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用绝对值的定义及充分条件必要条件的定义即可求解.
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【详解】由题意可知， ，
或 ，即 不能推出 ，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
4. 集合 U、M、N、P 如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据阴影部分在 内部排除 C,D,再分别分析 A,B 即可.
【详解】由图,阴影部分在 内部,排除 C,D,对 A, 为 中除阴影的部分,B 满足条件.
故选 B.
【点睛】由图判断集合关系时可先根据选项先主观判断是交集还是并集,排除选项后继续分析剩余的选项即
可.
5. 若不等式 的解集是 ，则不等式 的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意得 为方程 的根，且 ，进而结合韦达定理求得 ，进而
求解不等式即可.
【详解】由题意， 为方程 的根，且 ，
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则 ，即 ，
则不等式 ，即为 ，
则 ，即 ，解得 ，
所以不等式 的解集是 .
故选：C
6. 已知命题 为真命题，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析】通过 和 两类情况讨论即可.
【详解】当 时， 恒成立，符合题意
当 时，需满足
解得： ，
综上 ，
故选：D
7. 若关于 的不等式 恰有两个整数解，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】令 ，解得 或 .对两个根进行分类讨论，即 ， ，
三种情况，求出解集后，再让解集中含有两个整数，即可得到答案；
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【详解】令 ，解得 或 .
当 ，即 时，不等式 的解集为 ，则 ，解得
；
当 ，即 时，不等式 无解，
所以 不符合题意；
当 ，即 时，不等式 的解集为 ，则 ，解得
.
综上， 的取值范围是 或 .
故选：D
8. 设正实数 ， ， 满足 ，则当 取得最大值时， 的最大值为（ ）
A. 2 B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知可得 ，将 转化为双变量的式子，再根据基本不等式求得 的最大值，
并结合取等条件转化 ，利用函数求得其最值.
【详解】根据题意，正实数 ， ， 满足 ，则 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，则此时 ，
当 取得最大值时， ，
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分析可得，当 时，即 时， 取得最大值 2．
故选：A．
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分或 4 分.
9. 下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ）
A.
B. ，2x＋1 为奇数
C. 所有菱形的四条边都相等
D. 是无理数
【答案】AC
【解析】
【分析】利用全称量词命题的定义，结合真假判断逐项分析即可.
【详解】对于 A， ， 恒成立，该命题是全称量词命题，且是真命题，A 是；
对于 B，该命题是存在量词命题，不是全称量词命题，B 不是；
对于 C，该命题是全称量词命题，且是真命题，C 是；
对于 D，该命题不是全称量词命题，D 不是.
故选：AC
10. 若 x，y 满足 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．
【详解】因为 （ R），由 可变形为，
，解得 ，当且仅当 时， ，当且仅当
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时， ，所以 A 错误，B 正确；
由 可变形为 ，解得 ，当且仅当 时取等
号，所以 C 正确；
因为 变形可得 ，设 ，所以
，因此
，所以当 时满足等式，但是 不成立，所以 D
错误．
故选：BC．
11. 已知函数 ，若 ，则实数 的可能取值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】分 、 、 三种情况讨论，验证 能否成立，即可得出合适的选项.
【详解】当 时， ， ， ，不合乎题意；
当 时， ， ， ，不合乎题意；
当 时， ， ， ，合乎题意.
故选：CD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 函数 的定义域为____________
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【答案】
【解析】
【分析】要使函数有意义，只要 即可．
【详解】要使函数有意义，
须满足 ，
解得 且 ，
故函数 的定义域为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，属基础题，若函数解析式为偶次根式，被开方数大于等于 0；若
解析式为分式，分母不为 0．
13. 已知 ， ， ，则 的最小值为________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】将所求式子化简整理为 ，利用基本不等式可求得结果.
【详解】
（当且仅当 ，即 ， 时取等号），
的最小值为 .
故答案为： .
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14. 设集合 、 是实数集 的子集， ， ， ，则
________
【答案】
【解析】
【分析】根据条件 可得 ，结合 的意义，可
得集合 .
【 详 解 】 因 为 集 合 、 是 实 数 集 的 子 集 ， 若 ,则 ，
，但不满足 ，所以 .
因为 ,所以 ，所以有 .
又因为 表示集合 元素去掉集合 中的元素， 表示 A 集合和 B
集合中的所有元素，所以把 中的元素去掉 中元素，即为所求的集
合 ，所以 .故答案为 .
【点睛】本题主要考查集合的运算，根据集合的运算性质可求也可借助数轴或者韦恩图求解，侧重考查逻
辑推理的核心素养.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合 ， .
（1）当 时，求 与 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出集合 ，再根据交集、并集、补集的定义即可求解；
（2）先求出集合 ，再根据包含关系求解即可.
【小问 1 详解】
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当 时， ，
则 ， ，
则 .
【小问 2 详解】
由 ， ，
则 ，解得 ，
则实数 的取值范围为 .
16. 已知命题 p： ， ，命题 p 为真命题时实数 a 的取值集合为 A．
（1）求集合 A；
（2）设集合 ，若 是 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】（1）由一元二次方程有实数解，即判别式不小于 0 可得结果；
（2）将 是 的必要不充分条件化为 是 的真子集后，列式可求出结果．
【详解】（1）由命题 真命题，得 ，得
∴ ．
（2）∵ 是 的必要不充分条件，∴ 是 的真子集．
∴ （等号不能同时成立），
解得 .
17. 设函数 .
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（1）若对于一切实数 恒成立，求 的取值范围；
（2）解不等式 .
【答案】（1）
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）分成二次项系数为 0 和不为 0 两种情况，当二次项系数不为 0 时满足开口向下且 ；
（2）因式分解后对参数 分类讨论即可.
【小问 1 详解】
①若 ，此时 恒成立；
②若 ，要使得 恒成立，则 ，解得 ，
所以 ；
【小问 2 详解】
，即 ，
即 ，
若 ，则解集为 ；
若 ，此时不等式无解；
若 ，则解集为
18. 某地政府为进一步推进地区创业基地建设，助推创业带动就业工作，拟对创业者提供 万
元的创业补助．某企业拟定在申请得到 万元创业补助后，将产量增加到 万件，同时企业生产
万件产品需要投入的成本为 万元，并以每件 元的价格将其生产的产品全部售
出．（注：收益＝销售金额＋创业补助－成本）
（1）求该企业获得创业补助后的收益 万元与创业补助 万元的函数关系式；
（2）当创业补助为多少万元时，该企业所获收益最大？
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【答案】（1） ，
（2）7 万元
【解析】
【分析】（1）由题意计算销售金额、成本，从而可得该企业获得创业补助后的收益 万元与创业补助 万元
的函数关系式；
（2）由（1）得 ， , ，利用基本不等式和对勾函
数的性质，即可得出答案．
【小问 1 详解】
依据题意可知，销售金额 万元，创业补助 万元，成本为
万元，
所以收益 ， ．
【小问 2 详解】
由（1）可知 ， ，
其中 ，当且仅当 ，即 时，取等号．
所以 ，
所以当 时，该企业所获收益最大，最大值为 74 万元．
19. 已知实数集 ，定义 ．
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求集合 A；
（3）若 A 中的元素个数为 9，求 的元素个数的最小值．
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【答案】（1）
（2） 或者 .
（3）13
【解析】
【分析】（1）根据集合的新定义直接求解即可；
（2）根据 可得 ，然后分 中 4 个非零元素，符号为一负三正或者
一正三负进行讨论即可；
（3）分 中没有负数和 中至少有一个负数两种情况进行讨论即可求解.
【小问 1 详解】
;
【小问 2 详解】
首先， ；
其次 中有 4 个非零元素，符号为一负三正或者一正三负.
记 ，不妨设 或者 --
①当 时， ，
相乘可知 ，从而 ，
从而 ，所以 ；
②当 时，与上面类似的方法可以得到
进而 ，从而
所以 或者 .
小问 3 详解】
估值+构造 需要分类讨论 中非负元素个数.
先证明 ．考虑到将 中的所有元素均变为原来的相反数时，
集合 不变，故不妨设 中正数个数不少于负数个数.接下来分类讨论：
情况一： 中没有负数．
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不妨设 ，则
上式从小到大共有 1+7+6=14 个数，它们都是 的元素，这表明
情况二： 中至少有一个负数．
设 是 中的全部负元素， 是 中的全部非负元素.
不妨设
其中 为正整数， ．
于是有
以上是 中的 个非正数元素：另外，注意到
它们是 中的 5 个正数．这表明
综上可知，总有 -
另一方面，当 时， 中恰有 13 个元素. 综
上所述， 中元素个数的最小值为 13.
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