河南省信阳高级中学2025-2026学年高一上学期9月测试（二）数学试题（Word版附解析）

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数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 给出下列关系：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数为（ ）．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据实数集，有理数集，自然数集的概念得到结果即可.
【详解】和是正确的；①②正确；
因为，故③是错误的；因为故④是错误的；
故⑤是错误的．
故选：B.
2. 已知集合，则下列结果错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分析集合A与集合B中元素的差异，即可得解.
【详解】因为，
所以，即等价于，
所以集合比集合少一个元素，
所以，，正确，错误.
故选：B
【点睛】本题主要考查了集合的描述法，集合的包含关系，并集，补集运算，属于中档题.
3. 已知集合，且，则满足条件的集合的个数（ ）
A. 8B. 9C. 15D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】先求得集合，根据，结合集合子集个数的计算，即可求解.
【详解】由不等式，解得，即
又由，可得满足条件的集合的个数为.
故选：A.
4 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求集合和，根据集合的交集运算即可求解.
【详解】，解得，
．又，
．
故选:B．
5. 设集合，U为整数集，（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由整数可分成被3整除、被3除余1和被3除余2，再结合补、并运算即可求解.
【详解】因为整数集，，
所以．
故选：A．
6. 已知命题，则是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用含有量词的命题否定的方法进行求解，改变量词，否定结论.
【详解】因为命题，
所以：.
故选：D.
7. 已知，则“成立”是“成立”的（ ）条件．
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要
【答案】C
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的解法、绝对值的性质进行判断即可．
【详解】充分性：若，则，所以；
必要性：根据绝对值的性质：若，则，
若，且，则有．
所以“成立”是“成立”的充要条件．
故选：C．
8. 若正实数，满足，且存在实数，使不等式成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由结合基本不等式得到，解不等式即得解.
【详解】由得，
因为，
所以，所以，
所以或（舍），
所以.
因为存在实数，使不等式成立，
所以，
所以，
所以或.
所以实数的取值范围为.
故选：C
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】作差比较即可判断A的正误，时即可判断B的正误，根据不等式的性质即可判断C的正误，用和表示即可判断D的正误．
【详解】，，
，，A正确；
时，，B错误；
，，C正确；
，
且，，
则，D正确．
故选：.
10. 给定集合，若对于任意，，有，且，则称集合A为闭集合，以下结论正确的是（ ）
A. 集合为闭集合；
B. 集合为闭集合；
C. 集合为闭集合；
D. 若集合为闭集合，则为闭集合．
【答案】AC
【解析】
【分析】根据闭集合的定义和集合知识综合的问题,分别判断,且是否满足即可得到结论.
【详解】对于A：按照闭集合的定义，故A正确;
对于B：当时,.故不是闭集合.故B错误;
对于C：由于任意两个3的倍数,它们的和、差仍是3的倍数,故是闭集合.故C正确;
对于D：假设,.不妨取,但是, ,则不是闭集合.故D错误.
故选：AC
11. 下列说法中正确的为（ ）
A. 已知，则“”是“”的必要不充分条件
B. 若，则的最小值为2
C. 若正实数满足，则的最小值为
D. 若位于第一象限的点的坐标是方程的一组解，则的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，根据必要不充分条件的意义即可判断；对于B，利用基本不等式即可判断；对于C，由已知可得，进而利用基本不等式即可判断；对于D选项，根据条件，得到，从而有，再利用二次函数的性质，即可求解判断D.
【详解】对于A选项，当时，由，得不出，
所以“”是“”不充分条件，
由，可得，所以，
所以“”是“”必要条件，
所以“”是“”的必要不充分条件，故A正确；
对于B选项，，
当且仅当时取“=”，但此时在实数范围内无解，
故等号不成立，所以的最小值不为2，故B错误；
对于C选项，因为，所以，
则，
当且仅当时，即时，取“=”，
所以的最小值为，故C正确；
对于D选项，由题得，故，故，
则，
又，所以当时，的最小值为，故D正确
故选：ACD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若或，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据并集的运算进行求解即可.
【详解】由或，
则，解得，
故答案为：.
13. 已知“，使得”是假命题，则实数的a取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】由题可得命题“∀x∈R，使”是真命题，再利用二次函数的性质即得．
【详解】∵“，使得”是假命题，
∴命题“∀x∈R，使”是真命题，
∴判别式，
∴.
故答案为：．
14. 已知实数a，b，，设，，这三个数的最大值为，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】先把化成，再利用基本不等式求其最小值，即可得到的最小值.
【详解】由题意可得，，，
即有，
由，
可得，当且仅当，即时，取得最小值；
同理可得在时，取得最小值；
在时，取得最小值.
则，即.可得M的最小值为.
故答案为：
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知集合.
（1）求；
（2）求
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）由交集、并集运算即可求解；
（2）由交并补的混合运算即可求解.
【小问1详解】
由条件可得：；
【小问2详解】
或
所以或
16. 已知集合．
（1）若，求;
（2）若，求实数的取值范围；
（3）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】 利用交集运算即可；
利用子集关系，再分两类空集和非空集讨论即可；
把充分不必要关系转化为真子集关系，再求参数范围.
【小问1详解】
当时，，
所以；
【小问2详解】
因为，
所以由，得，
当时，，解得，满足题意；
当时，则，解得，
综上，，故实数的取值范围为；
【小问3详解】
由是的充分不必要条件，可得 ，
又，
则，且式等号不同时成立，解得，
故实数的取值范围是．
17. 已知二次函数．
（1）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
（2）解关于的不等式（其中）．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）等价变形给定不等式，分离参数，利用基本不等式求出最小值即可.
（2）分类讨论求解含参数的不等式.
【小问1详解】
不等式，
当时，恒成立，而，
当且仅当时取等号，则，
所以实数a的取值范围是.
【小问2详解】
不等式，
当时，不等式为，解得；
当时，不等式为，解得或；
所以当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为.
18. 为发展空间互联网，抢占6G技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入a（）万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加4x%，技术人员的年人均投入为万元.
（1）要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？
（2）是否存在实数m，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）75人 （2）存在，7
【解析】
【分析】（1）由题意列不等式，求解即可；
（2）由技术人员的年人均投入始终不减少得，调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入得，综合得，根据的范围由不等式恒成立求得值.
【小问1详解】
依题意可得调整后研发人员人数为，年人均投入为万元，
则，
解得，
又， 所以调整后的技术人员的人数最多75人;
【小问2详解】
假设存在实数满足条件.
由技术人员年人均投入不减少得, 解得.
由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有
,
两边同除以得,
整理得,
故有,
因为, 当且仅当时等号成立, 所以,
又因为, 所以当时,取得最大值7, 所以,
，即存在这样的m满足条件，其值为7.
19. 若集合具有以下性质：①，；②若，，则，且时，.则称集合A是“好集”.
（1）分别判断集合，有理数集不是“好集”，并说明理由；
（2）设集合是“好集”，求证:若，，则；
（3）对任意的一个“好集”，分别判断下面命题的真假，并说明理由.
命题：若，，则必有；
命题：若，，且，则必有.
【答案】（1）集合不是“好集”， 有理数集是“好集”，理由见解析
（2）证明见解析 （3）命题、均为真命题，理由见解析
【解析】
【分析】（1）按照新定义，判断、是否符合条件即可；
（2）根据条件进行推导，先判断，进而可证；
（3）类似（2）根据“好集”的性质进行推导即可.
【小问1详解】
（1）集合不是“好集”.
理由：假设集合是“好集”.
因为，，所以，这与矛盾，所以集合B不是“好集”.
有理数集是“好集”.
理由：
因为，，
对任意的，，有，且时，，
所以有理数集是“好集”.
【小问2详解】
证明:因为集合是“好集”，
所以，
若，，则，即.
所以，即.
【小问3详解】
命题、均为真命题，理由如下：
对任意一个“好集”，任取，，
若，中有0或1时，显然.
若，均不为0，1，由定义可知，，，
所以，即，所以.
由（2）可得，即
同理可得.
若或，则.
若且，则.
所以，所以.
由（2）可得，所以.
综上可知，，即命题为真命题.
若，，且，则，所以，即命题q为真命题.