2024-2025学年上海市九年级下学期中考模拟数学试题

这是一份2024-2025学年上海市九年级下学期中考模拟数学试题，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列实数中，是无理数的是（ ）
A．B．C．D．3.3030030003
2．下列单项式中，与是同类项的是（ ）
A．B．C．D．
3．若关于的不等式组无解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应关系的可能是（ ）
A．B．
C．D．
5．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C． D．

6．下面关于公理和定理的说法正确的是（ ）
A．公理是真命题，但定理不是B．公理就是定理，定理也是公理
C．公理和定理都可以作为推理论证的依据D．公理和定理都应经过证明后才能使用
二、填空题
7．若，则 ．
8．若，则 ．
9．在函数中, 自变量的取值范围是 .
10．如果的值与-x的值相等，那么x= ．
11．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 ．
12．在中，若，则
13．布袋中有大小、质地完全相同的5个小球，每个小球上分别标有数字1，2，3，4，5，如果从布袋中随机抽一个小球，那么这个小球上的数字是合数的概率是 ．
14．正比例函数，当时，，则k的值为 ．
15．如图，正八边形的对角线、交于点，那么的值为 ．
16．如图，已知点D、E分别在△ABC的边CA、BA的延长线上，DE∥BC．DE：BC＝2：3，设，试用向量表示向量，＝ ．
17．如图，利用四边形的不稳定性，将矩形变形为平行四边形，则称的值为这个平行四边形的“变化系数”，若矩形的面积为10，将其变形后的平行四边形的面积为8，则这个平行四边形的“变化系数”为 ．
18．如图，在中，，，，以点为圆心，以的长为半径作圆，则与直线的位置关系是 ．（填“相交”“相切”或“相离”）
三、解答题
19．计算：．
20．解分式方程：．
21．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，与y轴交于点C（0，2），已知的面积为6．
(1)求这两个函数的解析式；
(2)根据图象直接写出，当时，的取值范围．
22．中国共产党建党100周年之际，某校开展了全校学生学习党史活动，并进行了党史知识竞赛，从七、八年级中各随机抽取了20名学生，统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）．相关数据统计、整理如下：
抽取七年级学生的竞赛成绩（单位：分）
6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10，10，10，10，10．
七、八年级学生竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空： ；
(2)估计该校七年级200名学生中竞赛成绩达到8分及以上的人数；
(3)根据以上数据分析，评价两个年级学生学习党史的竞赛成绩谁更优异．
23．在综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动．
(1)操作判断：
在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部的点处，把纸片展平，过作交、、于点、、，连接并延长交于点，连接，如图①，当为中点时，求证是等边三角形．
(2)迁移探究：
①如图②，若，且，求正方形的边长．
②如图③，若，直接写出的值为 ．
24．抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点P是抛物线上一点，其横坐标为a．
(1)已知点，求抛物线的解析式．
(2)若，
①如图，当点P位于第一象限时，过点P分别作于点E，轴于点N，当取得最大值时，求a的值；
②在①的条件下，连接，，判断此时的面积是否为最大，并说明理由．
25．如图1，等腰是的内接三角形，，连接并延长交于点D，连接、．
(1)求证：D是中点；
(2)如图2，延长交于E、交于F，其中，．
①求线段的长；
②求的正弦值．
x
1
2
4
y
4
2
1
年级
七年级
八年级
平均数
8.5
8.5
中位数
8
a
众数
8
9
优秀率
b
55%
《2025年上海市中考数学模拟预测练习卷》参考答案
1．A
【分析】本题考查了无理数的概念，特殊角的三角函数值，分数指数幂，无限不循环小数是无理数，初中范围内涉及到的无理数有三种：开方开不尽的数，如；特定意义的数，如；特定结构的数，如．根据无理数的概念逐一判断，即可得到答案．
【详解】解：A、，是无理数，符合题意；
B、是分数，不是无理数，不符合题意；
C、，是分数，不是无理数，不符合题意；
D、3.3030030003是小数，不是无理数，不符合题意；
故选：A．
2．B
【分析】本题主要考查的是同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键．
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，据此依次判断即可．
【详解】解：A、字母的次数都不相同，不是同类项，故本选项不符合题意；
B、有相同的字母，相同字母的指数也相同，是同类项，故本选项符合题意；
C、字母的次数不相同，不是同类项，故本选项不符合题意；
D、字母的次数不相同，不是同类项，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．C
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．根据“大大小小找不到”得出，解之可得．
【详解】解：关于的不等式组无解，
，
解得：，
故选：C．
4．C
【分析】根据反比例函数的坐标特征，一次函数的性质，二次函数的坐标特征即可判断．
【详解】解：A、若直线过点，
则，解得，
所以，
当时，，故不在直线上，故A不合题意；
B、由表格可知，y与x的每一组对应值的积是定值为4，所以y是x的反比例函数，，不合题意；
C、把表格中的函数y与自变量x的对应值代入得
，解得，符合题意；
D、由C可知，不合题意．
故选：C．
【点睛】主要考查反比例函数、一次函数以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
5．B
【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形的概念，根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；
故选：B．
6．C
【分析】本题考查的是定理和公理的定义，通过对定义的理解可找到答案．
【详解】解：公理，也就是经过人们长期实践检验、不需要证明同时也无法去证明的客观规律．定理：是用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题．
根据公理和定理的定义，可知C是正确的，A、B、D是错误的．
故选：C．
7．
【分析】本题考查同底数幂的乘法，负整数指数幂，根据同底数幂的乘法法则，求出的值，再根据负整数指数幂的法则，计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
故答案为：．
8．
【分析】本题主要考查因式分解——运用公式法．先对等式的左边进行因式分解，进而得出答案．
【详解】解：∵，
又，
∴．
故答案为：．
9．
【详解】根据题意得：x+40；
解之得： x-4.
10．-5
【分析】两边平方得到，求出方程的解，把此方程的解代入原方程检验即可得出答案．
【详解】解：根据题意得：，
两边平方得：，
即，
，
或，
解得 ，
检验：当时，，
当时，，
所以x=-5，
故答案为：-5．
【点睛】本题考查无理方程，解一元二次方程．能将无理方程转化成一元二次方程是解决此题的关键．需注意：因为一个数的算术平方根是非负的，所以一元二次方程的解中可能有不符合无理方程的解，结果一定要检验．
11．/
【分析】根据△=≥0时，一元二次方程有实数根求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴△==，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．
12．/35度
【分析】本题考查了平行四边形的性质，由平行四边形的对角相等即可得出结果．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴；
故答案为：．
13．
【分析】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．求出事件全部结果数及摸出的小球所标数字是合数的全部结果数，由概率计算公式即可求得答案．
【详解】解：∵共五个数，合数为4，共1个，
∴从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是合数的概率为，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
根据题意将，代入解析式，待定系数法求解析式即可求解．
【详解】解：正比例函数，当时，．
，
解得：．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了正多边形的内角和，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先算出，得出，运用勾股定理表示，因为，证明△△，则，即可作答．
【详解】解：如图，设正八边形的中心为点，连接、、，
则，
，
、、三点在同一条直线上，
点在上，
连接、，
则，
，
，
，
则，
，
，
∴，
△△，
，
故答案为：．
16．；
【分析】首先根据题意画出图形，然后由DE∥BC，可得△ADE∽△ACB，又由DE：BC=2：3，根据相似三角形的对应边成比例，可求得DA=CD，即可表示，继而求得答案．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴DA：CA=DE：BC=2：3，
∵CD=DA+CA，
∴DA=CD，
∵=，
∴=，
∴=；
故答案为：．
【点睛】本题考查向量的运算，熟练掌握相似三角形的性质和向量的运算是解决本题的关键．
17．/
【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，锐角三角函数定义等知识，正确的理解“变形系数”的定义是解题的关键．过平行四边形的顶点A作于点E，由平行四边形和矩形的面积公式得，再由锐角三角函数定义即可得到结论．
【详解】解：如图，过平行四边形的顶点A作于点E，
∵，
∴，
∴，
即这个平行四边形的“变化系数”为，
故答案为：．
18．相切
【分析】作于点D，根据含30度角的直角三角形的性质求出的长，即可得到圆与直线的位置关系．
【详解】解：作于点，
，，
，
∵的半径是，
与相切，
故答案为：相切．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，直线与圆的位置关系的判定．通常根据圆的半径R与圆心到直线的距离d的大小判断：当时，直线与圆相交；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相离．
19．
【分析】本题考查了二次根数的混合运算，零指数幂，掌握二次根式的性质是解题的关键．
首先根据二次根式的性质化简，计算零指数幂，然后计算加减即可．
【详解】
．
20．x
【分析】本题考查解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】解：，
方程两边都乘，得，
解得：x，
检验：当x时，，
所以x是原方程的解，
即原方程的解是x．
21．(1)；
(2)或
【分析】本题主要考查了利用待定系数法确定函数的解析式，一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
（1）过点作轴于点，过点作轴于点，利用待定系数法解答即可；
（2）观察图象，利用数形结合法解答即可得出结论．
【详解】（1）过点作轴于点，过点作轴于点，如图，
点，
，
，,
，，
，的面积为6，
，
∴，
，
，
反比例函数的解析式为：，
一次函数的图象经过点，，
，
解得：，
一次函数的解析式为．
（2）点在反比例函数上，
∴，
∴．
∴，
由图象可知：第二象限中点的左侧部分，满足，第四象限中点的左侧部分，满足，对应的的取值范围分别为：或．
∴当时，的取值范围为：或．
22．(1)9，
(2)该校七年级200名学生中竞赛成绩达到8分及以上的人数约为160人
(3)八年级的学生学习党史的竞赛成绩更优异
【分析】本题考查中位数，众数，用样本估计总体等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据扇形统计图可知第10、11个数均为9，可求得中位数，根据七年级竞赛成绩，查出9分以上的可算出优秀率
（2）用样本估计总体，计算出20人中8分以上占比多少，再用200乘以这个百分比即可
（3）平均数一样，用中位数、众数，优秀率比较．
【详解】（1）解：∵八年级教师竞赛成绩中9分以下的占：，
故从小到大排列第10、11个数均为9，
∴，
；
故答案为：9；；
（2）解：先数出七年级抽取的20名学生中竞赛成绩达到8分及以上的有16人，
那么这部分学生在样本中的占比为，
用这个比例去估计七年级200名学生中竞赛成绩达到8分及以上的人数，即（人）；
（3）解：根据表中可得，七八年级的平均数一样，但八年级的中位数、众数，优秀均高于七年级，因此八年级的教师学习党史的竞赛成绩更优异．
23．(1)证明见解析
(2)①；②
【分析】（1）由折叠的性质可得，，利用平行线的性质得，进而得，，再利用直角三角形中线的性质可得，即可证明为等边三角形；
（2）证明，可得，证明，可得，从而求得，，再利用勾股定理求得的长，再算出的长，即可求出正方形的边长；
②设，根据题意可得，，，设，则，根据，可得，再代入计算解出即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，，
根据折叠的性质可得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点为的中点，，
∴，
∴，
∴点为的中点，，
∴，
∴，
∴为等边三角形；
（2）解：①由折叠的性质可知，，
在和中，
，
∴（），
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，即正方形的边长为；
②设，
∵，
∴，
∴，，
设，则，
∵，
∴，
∴，
整理得：，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、折叠的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、面积转化法，灵活运用正方形的性质、折叠的性质、等边三角形的判定是解题的关键．
24．(1)
(2)①；②在①的条件下，的面积不是最大，理由见解析
【分析】本题主要考查了二次函数的综合问题，待定系数法求一次函数解析式，根据二次函数求最值，二次函数面积问题等知识．
（1）直接把点代入抛物线解析式即可得出m的值，则可得出抛物线解析式．
（2）①若，则，求出，B，C点的坐标，设点，然后用待定系数法求出的解析式，过点P作y轴的平行线交直线BC于点H，可得，可得出，再证明是等腰直角三角形，进一步得出，则，再利用二次函数的性质即可得出当，取得最大值．②在①的条件下，，可得出当时，的面积最大，即可得出结论．
【详解】（1）解：把点代入得，
∴，
∴抛物线的解析式为，
（2）①若，则，
∴抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，
设点
设直线BC的解析式为，
∴解得：，
∴直线的解析式为，
如图，过点P作y轴的平行线交直线BC于点H，可得，
∴，
由，可知
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴当时，取得最大值
∵，符合题意，取得最大值时，．
②在①的条件下，的面积不是最大，理由如下：
由①可知．
∵，
∴当时，的面积最大．
25．(1)证明见解析
(2)①；②
【分析】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，线段垂直平分线的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，熟练掌握相关知识点并作出适当的辅助线是解题的关键；
（1）利用线段垂直平分线的定义与性质解答即可；
（2）①连接，利用圆周角定理，相似三角形的判定与性质求得，再利用勾股定理解答即可；
②过点C作于点H，利用①的结论和相似三角形的判定与性质求得的长度，然后在中求的正弦值．
【详解】（1），，
是线段的垂直平分线，
连接并延长交于点D，
D是中点．
（2）①如图1，连接．
为的直径，
，
．
由（1）知：是线段的垂直平分线，
，
，
，
，即，
，，
，，
，，
．
②如图2，过点C作于点H，则．
，，
，
，即，
，，
．
的正弦值为．
题号
1
2
3
4
5
6




答案
A
B
C
C
B
C