2026玉溪一中高三上学期适应性测试（五）数学含解析

这是一份2026玉溪一中高三上学期适应性测试（五）数学含解析，共19页。
1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】a＝3时，A＝{1，3}，A⊆B，即充分性成立；
当A⊆B时，a＝2或3，即必要性不成立；
故选：A.
2. 若复数，则（ ）
A. 1B. 5C. D.
【答案】A
【详解】，.
故选：A.
3. 已知向量.若向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】B
【详解】因为向量，所以.
所以向量在向量上的投影向量为：
.
所以，解得.
故选：B.
4. 已知等比数列满足，，记为其前项和，则（ ）
A. B. C. D. 7
【答案】A
【详解】设等比数列的公比为，，
依题意，，，
即，∴，，
解得或，
∴，，或，，，
∴.
故选：A
5. 已知函数（，），，，且在区间上单调，则的最大值为( ).
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】由题意知，，则，
因为，所以，又因为在区间上单调，
所以，解得，则的最大值为.
故选：B.
6. 若，则（ ）
A. 40B. 41C. D.
【答案】B
【详解】令，则，
令，则，
故，
故选：B.
7. 在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，点，在的右支上，且，点关于原点的对称点为.若，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】设双曲线的左焦点为，连接、、、，如图所示，
根据双曲线的对称性可知四边形为平行四边形，
又因为，所以四边形为矩形，
设，因为，则，
由双曲线的定义可得：，，
又因为为直角三角形，
所以，即，解得，
所以，，
又因为为直角三角形，，
所以，即，
所以，即.
故选：D
8. 已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】不等式为(*)，
当时，(*)式即为，，
又（时取等号），
（时取等号），
所以，
当时，(*)式为，，
又（当时取等号），
（当时取等号），
所以，
综上．故选A．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 甲乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，记事件为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，事件为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，事件为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，则（ ）
A. 事件、是相互独立事件B. 事件、是互斥事件
C. D.
【答案】AC
【详解】解：甲、乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，
基本事件总数，
记事件为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，
则事件包含的基本事件有18个，分别为：
，，，，，，，，，
，，，，，，，，，
，
事件为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，
则事件包含的基本事件有18个，分别为：
，，，，，，，，，
，，，，，，，，，
，
事件为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，
则事件包含的基本事件有18个，分别为：
，，，，，，，，，
，，，，，，，，，
，
事件包含的基本事件有9个，分别为：
，，，，，，，，，
，
，事件、是相互独立事件，故正确；
事件与能同时发生，故事件与不是互斥事件，故错误；
，故正确；
包包含的基本事件有9个，分别为：
，，，，，，，，，
．故错误．
故选：．
10. 如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列判断中正确的是（ ）
A. 平面平面
B. 平面
C. 异面直线与所成角的取值范围是
D. 三棱锥的体积不变
【答案】ABD
【详解】正方体中由平面，平面，可得，
又，是平面内两相交直线，从而得平面，
平面，因此有，
同理，，
∴平面，又平面，∴平面平面，A正确；
正方体中与平行且相等，则是平行四边形，，平面，平面，
∴平面，同理平面，，都在平面内，
∴平面平面，平面，∴平面，B正确；
与A选项同理可证平面，当是与交点时，平面，
，异面直线与所成角为，C错误；
由 B选项，知平面，∴到平面的距离不变，因此三棱锥体积不变，D正确．
故选：ABD．
11. 如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（ ）
A. 点在曲线上
B. 点在上，则
C. 点在椭圆上，若，则
D. 过作轴的垂线交于两点，则
【答案】ACD
【详解】对于A，，由定义知，A正确；
对于B，由点在上，得，
化简得，解得，，B错误；
对于C，椭圆的焦点坐标恰好为与，
则，由，得，
则，，C正确；
对于D，设，则，而，则，
又，
则，化简得，解得，，
因此1，，D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的单调递增区间是_____________.
【答案】
【详解】由对数函数的定义域可得，解得或，
由于是单调递增函数，所以要求的递增区间，
只需求二次函数的递增区间即可，
由二次函数的性质可得的递增区间为，
结合函数定义域可得的递增区间为，
故答案为：.
13. 一个被染满颜料的蚂蚱从数轴上的原点开始跳动，每次跳跃有等可能的概率向左或向右跳动1个单位长度，蚂蚱所在的点会留下颜色，则蚂蚱跳动4次后染上颜色的点数个数X的期望________.
【答案】
【详解】蚂蚱跳动4次后染上颜色的点数个数X的可能取值为，
表示蚂蚱在或者之间来回跳动，
则；
表示蚂蚱由向右最远跳到，
可以为“右右左左”，“右左右右”，“右右左右”共种，
由对称性知由向左最远跳到，也有种，
由向左最远跳到，最右跳到，可能为“左右右左”，“右左左右”有种，
故一共有种，
则；
表示蚂蚱跳动为“右右右左”，“左左左右”，“左右右右”，“右左左左”，共种，
则；
表示蚂蚱跳动为“右右右右”，“左左左左”，共种，
则；
则，
故答案为：.
14. 在斜中，为锐角，且满足，则的最小值为______.
【答案】
【详解】，
∴
∴，
∴，
∴，
又∵，∴，
∴，
∵为锐角，∴
∴
,
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
（1）求；
（2）若，，求.
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
，由正弦定理得，
得，所以，
由，得.
【小问2详解】
如图，因为，，所以，，
在中，由余弦定理得，
即；
在中，由余弦定理得，
即，①
所以，得，
由解得，代入①得，由解得.
在中，由余弦定理得.
16. 已知数列的前n项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，且，若对于恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
∵，
∴，
两式作差得，∴，
当时，，∴，
所以是首项为，公比为的等比数列，
故．
【小问2详解】
∵，∴，
∴，①
，②
两式作差得，
化简得，
∵恒成立，∴，，
当时，；
当时，；
当时，，，所以，
综上所述，．
17. 如图1，在中，，、两点分别在、上，使.现将沿折起得到四棱锥，在图2中.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【小问1详解】
在图1的中，，
所以，，且，，
因为，所以，，则，，
在中，，，，则，
在图2的中，，，，
满足，所以，
因为，，，、平面，
所以平面.
【小问2详解】
因为平面，，
以点为原点，、、的方向分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、，，，
设平面一个的法向量，则，
取，可得，
设平面的一个法向量为，，，
则，取，则，
设平面与平面所成角为，
则，
因此，平面与平面所成角的余弦值为.
18. 已知函数为自然常数.
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）若函数在区间上有最小值，求实数的值；
（3）在（1）的条件下，若不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【小问1详解】
由题设，则，故，，
所以函数在处的切线方程为，
整理得；
【小问2详解】
由题设且，
当时，，即在上单调递减，
此时，在区间上有最小值，可得；
当时，时，时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
若，即时，区间上有最小值，可得，不符合；
若，即时，在区间上有最小值，可得，不符合；
若，即时，区间上有最小值，不符合；
综上，；
【小问3详解】
由题设且，
对于，有，则时，时，
所以在上单调递减，在上单调递增，则，
所以恒成立，则在上恒成立，
令，则，
令，则，
令，则，
所以时，时，则在上单调递减，在上单调递增，
故，易知在上单调递增，且，
所以时，即，时，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，故，
综上，.
19. 已知动圆与动圆，满足，记与公共点的轨迹为曲线T，曲线T与x轴的交点记为A，点A在点B的左侧
（1）求曲线T的方程；
（2）若直线l与圆相切，且与曲线T交于，两点点在y轴左侧，点在y轴右侧
（ⅰ）若直线l与直线和分别交于，两点，证明：；
（ⅱ）记直线，的斜率分别为，，证明：是定值.
【答案】（1）
（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析
【小问1详解】
设圆，的交点为M，则，，
因为，所以，
故点M的轨迹曲线是以，为焦点的双曲线，
从而，，即，，
故曲线T的方程为
【小问2详解】
（ⅰ）要证，
只要证线段的中点与线段的中点重合.
设，，其中，
由条件，直线l的斜率存在，设l的方程为
因直线l与圆相切，
所以，即
联立，消去y并整理得，
所以，
从而线段的中点横坐标为
又直线与直线和交点横坐标分别为和，
则线段中点的横坐标为，
所以
（ⅰⅰ）由条件，，即，
所以，
由题意知，，
所以
，
即为定值