玉溪一中2025—2026学年上学期高三适应性测试（六）数学含答案解析

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）
解：（1）法1:在△ABC中，
∵BC=3 2，∠BAC=π3，AC=2 3，
∴(3 2)2=c2+(2 3)2−2⋅2 3⋅c⋅csπ3，
∴c2−2 3c−6=0，
∴c= 3±3，又c>0，
∴c= 3+3，
∵csinC=3 2sinπ3，
∴sinC= 2+ 64．
法2:在△ABC中，
∵BC=3 2，∠BAC=π3，AC=2 3，
∴ACsinB=3 2sinπ3，sinB= 22，
∵AC0.5，
故新养殖法产量的中位数的估计值为：50+0.5−≈52.35(kg)，
新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35(kg)．
17．（15分）
解：（1）证明：取AD的中点G，连接OG，FG，
∵O是菱形ABCD的对角线AC，BD的交点，
∴OG//DC，且OG=12DC，
又∵EF//DC，且DC=2EF，
∴OG//EF，且OG=EF，
从而四边形OGEF为平行四边形，
∴OE//FG，
又FG⊂平面ADF，OE⊄平面ADF，
∴OE//平面ADF．
（2）证明：连接OF，
∵四边形ABCD为菱形，∴OC⊥BD，
∵FD=FB，O是BD的中点，∴OF⊥BD，
又OF∩OC=O，OF,OC⊂平面AFC，
∴BD⊥平面AFC，又BD⊂平面ABCD，
∴平面AFC⊥平面ABCD．
18．（17分）
（1）解：当b=0时，f(x)=lnx2−x+ax，x∈(0,2)，
由题意知∀x∈(0,2)，f′(x)=2x(2−x)+a≥0恒成立，
所以−a≤[2x(2−x)]min，
因为x∈(0,2)，所以x>0,2−x>0,
所以2x(2−x)≥2x+2−x22=2，当且仅当x=1时，取等号．
所以−a≤2，则amin=−2．
（2）证明：因为f(2−x)=ln2−xx+a(2−x)+b(1−x)3
=−[lnx2−x+ax+b(x−1)3]+2a=−f(x)+2a，
所以曲线y=f(x)关于点(1,a)成中心对称图形．
（3）解：因为f(1)=a⩽−2，否则解集中含有x=1:又由(1)知a≥−2，否则f′(1)−2，且f(1)=−2，
f′(x)=2x(2−x)−2+3b(x−1)2=(x−1)2[3b+2x(2−x)]，f′(1)=0，
令g(x)=f′(x)=(x−1)2[3b+2x(2−x)]，
又g′(x)=−1x2+1(2−x)2+6b(x−1)，g′(1)=0，
令h(x)=g′(x)=−1x2+1(2−x)2+6b(x−1)，
又h′(x)=2x3+2(2−x)3+6b，h′(1)=4+6b，
令h′(1)=4+6b≥0，得b≥−23，
此时f′(x)=(x−1)2[2x(2−x)+3b]≥(x−1)2[2x(2−x)−2]=2(x−1)4x(2−x)≥0，
故f(x)在(1,2)上单调递增，所以对∀x∈(1,2)，f(x)>−2恒成立，
综上所述，b的取值范围为[−23,+∞).
19．（17分）
解：（1）由已知得ba=1( 2)2=a2+b2,
解得a=1，b=1，
故双曲线C的标准方程为：x2−y2=1；
（2）证明：设Mx1,y1，Nx2,y2，Qx1+x22,y1+y22，
因为M，N为双曲线C上的两点，
所以x12−y12=1x22−y22=1,
两式相减得：(x1−x2)(x1+x2)=(y1−y2)(y1+y2)，
整理得，x1+x2y1+y2=y1−y2x1−x2，
则k1k2=y1−y2x1−x2⋅y1+y22x1+x22=y1−y2x1−x2⋅y1+y2x1+x2=1，得证；
（3）设斜率为2且与双曲线右支相交于An，Bn两点的直线方程为
y=2x+mn(mn0，
解得：mn 3(舍)，
设AxAn,yAn，BxBn,yBn，
所以xAn+xBn=−4mn3，xAnxBn=mn2+13，
直线AnPn的方程为：y−yAn=−(x−xAn)，
因为yAn=2xAn+mn，所以y=−x+3xAn+mn，①
直线BnPn的方程为y−yBn=x−xBn，
因为yBn=2xBn+mn，所以y=x+xBn+mn，②
联立①②得yn=yPn=32xAn+12xBn+mn，
xn=xPn=3xAn−xBn2，
所以Pn(3xAn−xBn2,32xAn+12xBn+mn)，
因为xAn+xBn=−4mn3，
所以yn=32xAn+12xBn+mn=32xAn−12xAn−2mn3+mn=xAn+mn3，
xn=3xAn−xBn2=3xAn−(−xAn−4mn3)2
=2xAn+2mn3=2(xAn+mn3)，
所以yn=12xn，
则P1,P2,⋅⋅⋅,Pn都在直线y=12x上，
故P1,P2,⋅⋅⋅,Pn共线．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
A
C
D
B
A
C
题号
9
10
11
答案
BCD
ABD
AD
题号
12
13
14
答案
16
45
1e；[12e−1,+∞)
箱产量