2025~2026学年度天津市宝坻区上学期九年级数学第一次(月考）检测题【附答案】

这是一份2025~2026学年度天津市宝坻区上学期九年级数学第一次(月考）检测题【附答案】，共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2025-2026 学年度九年级第一次质量检测
数学试卷一、单选题（每题 3 分，共 36 分）
1 ．下列函数中，y 一定是 x 的二次函数的是( )
A ．y = ax2 + bx + c B ．y = x(x2 + 1) C ．y = x + 1 D ．y = -3x2
2 ．关于 x 的一元二次方程(a -1)x2 + x + a2 -1 = 0 的一个根是 0，则 a 的值为( )
A ．1 B ．-1 C ．1 或-1 D ．
3 ．抛物线y = (x + 2)2 - 3 的顶点坐标为( )
A ．(0, -3) B ．(2, -3) C ．(0, -1) D ．(-2, -3)
4 ．抛物线y = ax2 + bx + c 与x 轴的公共点是(-1, 0) ，(3, 0)，则这条抛物线的对称轴是直线 ( )
A ．直线x = -1 B ．直线x = 0 C ．直线x = 1 D ．直线x = 3
5 ．小李的微信朋友圈共有x 个好友，每个好友分别向圈里其他好友发了一条消息，这样共 有182 条消息，则根据题意列出的方程是( )
A ．x(x-1)=182 B ．x(x+1)=182
C ． D ．
6 ．若抛物线y = x2 + mx - 6 （m 为常数）经过点(1, -4)，则该抛物线与 x 轴的两个 交点的坐标分别为( )
A ．(-3, 0) ，(-2, 0) B ．(-3, 0) ，(2, 0)
C ．(-2, 0) ，(3, 0) D ．(2, 0) ，(3, 0)
7 ．如图，在宽为20m 、长为32m 的矩形地面上修同样宽的小路（阴影部分），余 下的部分种上草，要使草坪的面积为540m2 ，求小路的宽 ．若设小路的宽为xm ， 则根据题意所列方程正确的是( )
A ．(20 - x)(32 - x) = 540 B ．(20 - x)(32 + x) = 540
C ．(20 + x)(32+ x) = 540 D ．(20 + x)(32 - x) = 540
8 ．把方程 x2 - 6x - 7 = 0 化成 (x + m)2 = n 的形式，则m，n 的值是( )
A ．3，9 B ．-3，7 C ．-3，16 D ．3，16
9 ．一抛物线的形状、开口方向与抛物线 相同，顶点为(-2,1) ，则此 抛物线的解析式为( )
A ． B ． C ． D ．
10 ．关于x 的方程x2 - 2mx - m -1 = 0的根的情况是( )
A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根
C ．有两个实数根 D ．没有实数根
11．若二次函数y = (x - m)2 + 2 ，在x < 1时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围 ( )
A ．m = 1 B ．m > 1 C ．m ≥ 1 D ．m ≤ 1
12 ．已知抛物线y = x2 - 4x + 3 与x 轴相交于点A ，B （点 A 在点B 左侧），顶点为
M ，平移该抛物线，使点 M 平移后的对应点M ¢ 落在x 轴上，点A 平移后的对应
点A¢ 落在y 轴上，则平移后的抛物线解析式为( )
A ．y = x2 +2x+1 B ．y = x2 -2x+1
C ．y = x2 +2x-1 D ．y = x2 -2x-1
二、填空题（每题 3 分，共 18 分）
13 ．若关于 x 的方程(m+2)x|m|＋2x-3 ＝0 是一元二次方程，则 m = .
14 ．已知 2 是关于 x 的方程 x2 -2mx+3m ＝0 的一个根，且这个方程的两个根恰 好是等腰△ABC 的两条边长，则△ABC 的周长为 ．
15 ．已知点A (-2, y1 ) ，B (3, y2 ) ，C (5, y3 ) 都是抛物线y = -x2 + 2x + 4 上的点，则将 y1 ，y2 ，y3 用“0⇔方程有两个不相等的实数根；（2） △=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△ 0 ，
:抛物线开口向上，
: 当x < m时， y 的值随x 值的增大而减小， 而x < 1时， y 的值随x 值的增大而减小，
: m ≥ 1 ，
故选：C ．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的增减性是解答此题的关键．
12 ．B
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移；
首先求出点 A、B、M 的坐标，然后根据平移后点M ¢ 落在x 轴上，点A¢ 落在y 轴上得出平移 方式，再根据二次函数图象的平移规律得出答案．
【详解】解：令 y = x2 - 4x + 3 = 0 ， 解得：x1 = 1 ，x2 = 3 ，
: A(1, 0) ，B (3, 0) ，
∵ y = x2 - 4x + 3 = (x - 2)2 -1， : M (2, -1)，
∵点M平移后的对应点M ¢ 落在x 轴上，点A 平移后的对应点A¢ 落在y 轴上，
:抛物线y = x2 - 4x + 3 向上平移 1 个单位长度，向左平移 1 个单位长度， :平移后的抛物线解析式为y = (x - 2 +1)2 -1+1 = (x -1)2 = x2 - 2x +1，
故选：B．
13 ．2
【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程是一元二次方程，根据 定义解答．
【详解】解：由题意得
m = 2, m + 2 ≠ 0 ，
解得 m=2，
故答案为：2．
【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟记定义并应用解决问题是解题的关键．
14 ．14
【分析】将 x=2 代入方程找出关于 m 的一元一次方程，解一元一次方程即可得出 m 的值， 将 m 的值代入原方程解方程找出方程的解，再根据等腰三角形的性质结合三角形的三边关 系即可得出三角形的三条边，根据三角形的周长公式即可得出结论．
【详解】解：将 x=2 代入方程，得：4 -4m+3m=0， 解得：m=4．
当 m=4 时，原方程为 x2 -8x+12=（x -2）（x -6）=0， 解得：x1=2，x2=6，
∵2+2=4＜6，
:此等腰三角形的三边为 6 、6 、2 ， :此等腰三角形的周长 C=6+6+2=14．
故答案为：14．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的解；等腰三角形的性质， 熟练掌握等腰三角形的性质是解决问题的关键．
15 ．y3 < y1 < y2
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求出对应的函数值是解题的关键． 直接将点A(-2, y1 ) ，B (3, y2 ) ，C (5, y3 ) 代入函数解析式，求出函数值比较即可．
【详解】解：∵点A(-2, y1 ) ，B (3, y2 ) ，C (5, y3 ) 都是抛物线y = -x2 + 2x + 4 上的点，
: y1 = - (-2)2 + 2× (-2) + 4 = -4 ； y2 = -32 + 2× 3 + 4 = 1；
y3 = -52 + 2× 5 + 4 = -11， : y3 < y1 < y2 ，
故答案为：y3 < y1 < y2 ．
16 ．2014
【分析】本题考查一元二次方程的根及一元二次方程根与系数的关系，先利用一元二次方程 解的定义得到a2 + a = 2015，再根据根与系数的关系得到a + b = -1，然后利用整体代入的方 法计算．解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系：若 x1 ，x2 是一元二次方程
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两根，则
【详解】解：∵a 是方程x2 + x - 2015 = 0 的实数根， : a2 + a - 2015 = 0 ，
: a2 + a = 2015 ，
∵ a ，b 是方程x2 + x - 2015 = 0 的两个实数根， : a + b = -1，
: a2 + 2a + b = a2 + a + a + b = 2015 + (-1) = 2014 ， : a2 + 2a + b 的值为2014 ．
故答案为：2014 ．
17 ．4
2
m【22】≥ ，平的，用(2 2 ，则 m2 + n2 -1 = ±3，然后通过
【详解】解：∵ (m2 + n2 -1)2 = 9 ， : m2 + n2 -1= ±3 ，
: m2 + n2 -1 = 3或m2 + n2 -1 = -3 ，
: m2 + n2 = 4 或m2 + n2 = -2 （舍去）， 故答案为：4 ．
18 ．-10 ≤ y ≤ 6
【分析】本题主要考查的是二次函数的性质．先利用配方法求得抛物线的顶点坐标，从而可 得到y 的最小值，然后再求得最大值即可．
【详解】解：y = x2 - 4x - 6 = x2 - 4x + 4 -10 = (x - 2)2 -10 ． Q1 > 0 ，开口向上，
: 当x =2 时，y 有最小值，最小值为-10 ． Q -1≤ x ≤ 6 ，
: 当x = 6 时，y 有最大值，最大值为y = (6 - 2)2 -10 = 6 ．
: y 的取值范围为-10 ≤ y ≤ 6 ． 故答案为：-10 ≤ y ≤ 6 ．
19 ．(1) x1 = -3 ，x2 = -2
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式 法是解题的关键．
（1）先移项，再由因式分解法求解；
（2）先移项，再由直接开平方法求解；
（3）先化为一般式，再由配方法求解；
（4）利用公式法求解．
【详解】（1）解：x (x + 2) = -3(x + 2) ，
x (x + 2) + 3(x + 2) = 0 (x + 3)(x + 2) = 0 ，
x + 3 = 0 或 x + 2 = 0 ，
解得x = -3 或x = -2
:原方程的根为x1 = -3 ，x2 = -2
（2）解：(2y -1)2 - 5 = 0 (2y -1)2 = 5
2y -1 = 或2y -1 = - ，
解得 或
:原方程的根为y1 = ， ；
（3）解：(x - 3)(x -1) = 5
x2 - 4x - 2 = 0 ， x2 - 4x = 2
x2 - 4x + 4 = 6 (x - 2)2 = 6
x - 2 = 或x - 2 = -
解得x = 2 + 或x = 2 -
:原方程的根为x1 = 2 + ，x2 = 2 - ；
（4）解： x2 - x - 2 = 0 ，
a = , b = -1, c = -2 ，
b2 - 4ac = (-1)2 - 4× × (-2) = 49 ，
解得 或
:原方程的根为x1 = ，x2 = - ．
20 ．(1)不在此抛物线上
(2) (4, -3) 或(0, -3)
【分析】本题考查二次函数的图象性质， 二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是熟练掌 握二次函数的图象性质，函数解析式与图象上的点之间的关系：点在图象上，则点的坐标满 足函数解析式；反之，不在函数图象上则点的坐标不满足函数解析式．
（1）把点(3, -2) 代入解析式，即可判断；
（2）把 y= - 3 代入解析式，即可求解．
【详解】（1）解：把 x =3 代入y = -(x - 2)2 +1，得
y = - (3 - 2)2 +1 = 0 ≠ -2
:点(3, -2) 不在此抛物线上；
（2）解：把 y= - 3 代入y = -(x - 2)2 +1，得
-3 = - (x - 2)2 +1，
解得：x1 = 4 ，x2 = 0 ，
:抛物线上纵坐标为-3 的点的坐标(4, -3) 或(0, -3) ．
21 ．
(2) k = 5
【分析】本题考查了根与系数的关系，根的判别式；
（1）由该方程有两个实数根得到 Δ ≥ 0 ，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1 + x2 = -2k -1, x1x2 = k2 - k +1 ，再根据(x1 +1)(x2 +1) = 11 得
到k2 - k +1- 2k -1+1 = 11，然后解关于 k 的方程，最后利用k 的范围确定k 的值． 【详解】（1）解：:关于x 的方程x2 + (2k +1)x + k2 - k +1 = 0 有两个实数根．
: Δ = (2k +1)2 - 4(k2 - k +1) ≥ 0 ，
解得k ≥ ;
（2）解：根据题意得： x1 + x2 = -2k -1, x1x2 = k2 - k +1， : (x1 +1)(x2 +1) = 11，
:x1x2 + (x1 + x2 ) +1 = 11，
即 k2 - k +1- 2k -1+1 = 11， 整理得 k2 - 3k -10 = 0 ，
解得 k1 = -2, k2 = 5 ，
: k = 5 ．
22 ．每一轮传染中平均每人传染了5 个人
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是得到两轮传染数量关系，从而 可列方程求解．本题要注意的是，患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人数应 该累加，这个问题和细胞分裂是不同的．根据题意可得， 每轮传染中平均一个人传染了x 个人， 经过一轮传染之后有 x+1人感染流感，两轮感染之后的人数为 36 人，依此列出一元 二次方程求解即可．
【详解】解： 设每一轮传染中平均每人传染了 x 个人，依题可得：
1+ x + x (1+ x) = 36 ， x2 + 2x - 35 = 0 ，
解得x1 = 5 ，x2 = -7 （舍），
答：每一轮传染中平均每人传染了5 个人．
23 ．(1)6 米
(2)不能达到，理由见解析
【分析】（1）设生态园垂直于墙的边长为 x 米，则可得生态园平行于墙的边长，从而由面积 关系即可得到方程，解方程即可；
（2）方法与（1）相同，判断所得方程有无解即可．
【详解】（1）设生态园垂直于墙的边长为 x 米，则 x≤7，生态园平行于墙的边长为(42－3x) 米
由题意得：x(42－3x)=144 即x 2 - 14 x + 48 = 0
解得：x1 = 6, x2 = 8 （舍去）
即生态园垂直于墙的边长为 6 米.
（2）不能，理由如下：
设生态园垂直于墙的边长为y 米，则生态园平行于墙的边长为(42－3y)米 由题意得：y(42－3y)=150
即y2 -14y + 50 = 0
由于 Δ = (-14)2 - 4× 1 × 50 = -4 < 0
所以此一元二次方程在实数范围内无解 即生态园的面积不能达到 150 平方米.
【点睛】本题考查了一元二次方程在实际生活中的应用，理解题意并根据等量关系正确列出 方程是解题的关键．
24 ．(1)每次下降的百分率为20%
(2)该商场要保证每天盈利6000 元，那么每千克应涨价 5 元
【分析】本题主要考查了一元二次方程应用，根据题意找准等量关系、列出方程是解答本题 的关键．
（1）设每次下降的百分率为 a ，(1- a )2 为两次降价的百分率，再根据题意列一元二次方程 求解即可；
（2）设每千克应涨价 x 元，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设每次下降的百分率为 a，
根据题意可得：50 (1- a )2 = 32 ，解得：a = 1.8 （舍）或 a = 0.2 ， 答：每次下降的百分率为20% ；
（2）解：设每千克应涨价 x 元，由题意，得 (10 + x)(500 - 20x) = 6000 ，
整理，得 x2 -15x + 50 = 0 ，解得：x1 = 5，x2 = 10 ， 因为要尽快减少库存，所以x =5 符合题意．
答：该商场要保证每天盈利 6000 元，那么每千克应涨价 5 元．
25 ．(1) y = x2 - 4x + 3
(3) m 的值为、或- ·、 或 1 或 2
【分析】本题考查了二次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，轴对称的性质，
等腰三角形的定义等知识点．
（1）根据待定系数法求解即可；
（2）先求顶点D(2, -1) ，则C△BDE = BD + BE + DE = + BE + DE ，则当BE + DE 取得最小 值时， △BDE 的周长最小，过点D 作y 轴的对称点D¢ ,则D¢ (-2, -1) ，连接 BD¢ , BD ，此 时BD¢ 与y 轴交点即为点E 由对称可得ED¢ = ED ，根据两点间线段最短可得
BE + DE = BE + D ¢E = BD ¢ ,再求出直线 BD¢ 的解析式，令x =0 即可求解．
（3）分MN = BM ，BN = MN ，BM = BN 三种情况讨论，利用两点间距离公式建立方程求 解即可．
【详解】（1）解：将A(1, 0) ，B(3, 0) 代入函数解析式，得
解得
这个二次函数的表达式是y = x2 - 4x + 3 ；
（2）解：y = x2 - 4x + 3 = (x - 2)2 -1， :顶点D(2, -1) ，
:当BE + DE 取得最小值时， △BDE 的周长最小，
过点D 作y 轴的对称点D¢ ,则D¢ (-2, -1) ，连接 BD¢ , BD ，此时 BD¢ 与y 轴交点即为点E 由对称可得ED¢ = ED ，根据两点间线段最短可得 BE + DE = BE + D ¢E = BD ¢
设直线BD¢ : y = kx + b ，
则代入B(3, 0) ，D ¢ (-2, -1) ，
∴ í ,
ì3k + b = 0
l-2k + b = -1
解得
当x = 0 时
（3）解：对于 y = x2 - 4x + 3 ，当x = 0, y = 3 ， ∴C (0, 3)，
设直线BC : y = k1x + b1 ， 则 ，
解得
∴直线BC : y = -x + 3 ， 如图：
设M (m, -m + 3) ，N(m, m2 - 4m + 3) ，
则MN = m2 - 3m ，BM = m - 3 ，
当MN = BM 时，① m2 - 3m = (m - 3) ， 解得m = 、 ，m = 3 （舍去），
,
解得
当BN = MN 时，上NBM = 上BMN = 45° ,此时 N 在 x 轴上， m2 - 4m + 3 = 0 ，
解得m = 1或m = 3 （舍去)
当BM = BN 时，上BMN = 上BNM = 45° ,
-(m2 - 4m + 3) = -m + 3 ，
解得m = 2 或m = 3 （舍去) ，
当 △BMN 是等腰三角形时，m 的值为、/2 或- /2 或 1 或 2．