2025~2026学年度山东省淄博市张店区第九中学（五四制）上学期（9月）月考八年级数学试卷【附答案】

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初三上数学月考试卷-张店九中
一．选择题（共 10 小题）
1 ．下列各式中，分式的个数为( )
, , , , , ,
A ．2 个 B ．3 个 C ．4 个 D ．5 个
2 ．若分式 有意义，则 x 满足的条件是( )
A ．x ≠ 3 B ．x > 3 C ．x ≠ 0 D ．x < 3
3 ．下列式子变形是因式分解的是( )
B ．x2 - 4x - 3 = (x - 2)2 - 7
C ．(x +1)(x - 3) = x2 - 2x - 3
D ．x2 - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3)
4 ．若分式 可以进行约分化简，则该分式中的 A 不可以是( )
A ．1 B．x C ．-x D ．4
5 ．若把分式 中x 和y 的值都扩大 2 倍，那么分式的值( )
A ．扩大 2 倍 B ．缩小 2 倍 C ．不变 D ．缩小 4 倍
6 ． 与 的最简公分母是 ( )
A ．a(a + b) B ．a(a - b) C ．a(a + b)(a - b) D ．a2 (a + b)(a - b)
7 ．关于 x 的方程 有增根，则 k 的值为( )
A ．±3 B ．3 C ． -3 D ．2
8 ．某中学为了创建“最美校园图书屋”新购买了一批图书，其中科普类图书平均每本书的价 格是文学类书平均每本书价格的 1.2 倍，已知学校用 1200 元购买文学类图书的本数比用这 些钱购买科普类图书的本数多 10 本，设文学类图书平均每本书的价格是 x 元，则下列方程
正确的是( )
9 ．定义：如果两个分式的积等于这两个分式的差乘以一个常数，那么这两个分式叫做和谐 分式．如 则 与 是和谐分式．下列每组两个分式是 和谐分式的是( )
10 ．如果关于 x 的不等式组 有且仅有四个整数解，且关于y 的分式方程
有非负数解，则符合条件的所有整数 m 的和是( )
A ．13 B ．15 C ．20 D ．22
二．填空题（共 5 小题）
11 ．分解因式：3a2 -12= ．
12 ．当a = 时，分式 的值为零．
13 ．已知：a2 + a - 1 = 0 ，则代数式 a3 + 2a2 - 5的值为 ．
14 ．若分式方程 无解，则a 的值为 ．
15 ．已知关于 x 的分式方程 2 的解是非负数，则 m 的取值范围是 ．
三．解答题（共 8 小题）
16 ．（1）因式分解：x2 (x - 3) + y2 (3 - x)
（2）已知x + y = 3 ，xy = 2 ，求 2x3y + 4x2y2 + 2xy3 的值．
17 ．解分式方程：
（1）
18 ．先化简，再求值 其中 x 是方程 x2+x=0 解．
19 ．先化简 然后再从-3 ，-2 ，0 ，2 ，3 中选一个合适的数作为 x 的值代入求值．
20 ．已知 △ABC 的三条边分别是a、b、c ．
(1)判断(a - c )2 - b2 的值的正负．
(2)若a、b、c 满足a2 + c2 + 2b(b - a - c) = 0 ，判断 △ABC 的形状．
21．倡导健康生活推进全民健身，德州某社区去年购进 A，B 两种健身器材若干件，经了解， B 种健身器材的单价是 A 种健身器材的 1.5 倍，用6000 元购买 A 种健身器材比用3600 元购 买 B 种健身器材多 15 件．
（1）A ，B 两种健身器材的单价分别是多少元？
（2）若今年两种健身器材的单价和去年保持不变，该社区计划再购进 A ，B 两种健身器材 共 60 件，且费用不超过 17600 元，请问：A 种健身器材至少要购买多少件？
22 ．将a 克糖放入水中，得到b 克糖水，此时糖水的含糖量我们可以记为 ．
（1）再往杯中加入m (m > 0) 克糖，生活中的经验告诉我们糖水变甜了，用数学关系式可以 表示为______；
A ． B ． C ．
（2）请证明你的选择．
23 ．阅读理解
材料 1：为了研究分式与其分母 x 的数量变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据：
从表格数据观察，当x > 0 时，随着 x 的增大， 的值随之减小，若 x 无限增大，则无限 接近于 0；
当x < 0 时，随着 x 的增大， 的值也随之减小．
材料 2：在分子、分母都是整式的情况下， 如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式 为真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．
任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．
例如：
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
1
x
…
-0.25
.
-0.3
-0.5
-1
无意义
1
0.5
.
0.3
0.25 .
…
根据上述材料完成下列问题：
(1)当x > 0 时，随着 x 的增大， 的值_______（增大或减小）； 当x < 0 时，随着 x 的增大， 的值_______（增大或减小）；
(2)当x > 1 时，随着 x 的增大， 的值无限接近一个数，请求出这个数；
(3)当0 < x < 2 时，请直．接．写出代数式 值的范围_______．
1 ．B
【分析】根据如果 A ，B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 叫做分式进行分 析即可．
、 、 分母中含字母，因此是分式；
一共有 3 个；
故选 B.
【点睛】本题考查分式的定义，解题关键是熟练掌握分式的定义.
2 ．A
【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于 0 即可得出答案． 【详解】解：Qx - 3 ≠ 0 ，
:x ≠ 3 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件， 解题的关键是掌握分式有意义的条件：分母不等于
0．
3 ．D
【分析】根据分因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【详解】解：A.是分式的变形，不是因式分解且变形错误，故错误；
B.结果不是积的形式，不是因式分解，故错误；
C.结果不是积的形式，不是因式分解，故错误；
D. x2 - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3) ，是因式分解，故正确.
故选 D.
【点睛】本题主要考查了因式分解的意义， 因式分解是整式的变形，变形前后都是整式，并 且结果是积的形式．
4 ．C
【分析】本题主要考查了分式的约分．分别令A = 1 ，A = x ，A = -x ，A = 4 ，逐项判断， 即可求解．
解：A 、若A = 1 ，则 能约分，故本选项 不符合题意；
B 、若A = x ，则 能约分，故本选项不符合题意；
C 、若A = -x ，则 不能约分，故本选项符合题意；
D 、若A = 4 ，则 能约分，故本选项不符合题意； 故选：C．
5 ．C
【分析】本题主要考查了分式的基本性质， 把原分式中的x、y 分别用2x、2y 替换，再约分化 简即可得到答案．
【详解】解：把分式 中x 和y 的值都扩大 2 倍后变形为
:分式的值不变， 故选：C．
6 ．C
【分析】由最简公分母的定义，即可得到答案．
解 :最简公分母是a(a + b)(a - b) ；
故选：C．
【点睛】本题考查了最简公分母的定义，解题的关键是熟记定义．
7 ．D
【分析】根据增根的定义可求出 x 的值，把方程去分母后，再把求得的 x 的值代入计算即可. 【详解】解：∵原方程有增根，
:最简公分母 x -3 ＝0， 解得 x ＝3，
方程两边都乘（x -3），
得：x -1 ＝2（x -3）+k，
当 x ＝3 时，k＝2，符合题意， 故选 D．
【点睛】本题考查的是分式方程的增根， 在分式方程变形的过程中，产生的不适合原方程的 根叫做分式方程的增根.增根使最简公分母等于 0，不适合原分式方程，但是适合去分母后的 整式方程．
8 ．B
【分析】文学类图书平均每本书的价格是 x 元，则科普类图书的价格为 1.2x 元，则 1200 元 能购买文学类书的数量为：，购买科普类书籍的数量为 ，据此列出分式方程即可． 【详解】文学类图书平均每本书的价格是 x 元，则科普类图书的价格为 1.2x 元，则 1200 元 能购买文学类书的数量为： ，购买科普类书籍的数量为 ，
则依据题意有
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，明确题意列出分式方程是解答本题的关键．
9 ．C
【分析】分别算出各分式的差与积，再由和谐分式的定义即可得出结论． 解
与 不是和谐分式，故 A 不符合题意；
与 不是和谐分式，故 B 不符合题意；
故 C 符合题意；
与 不是和谐分式，故 D 不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式的加减运算和乘法运算，解题的关键是熟练掌握分式加减运算 法则和乘法运算法则．
10 ．B
【分析】根据不等式组的整数解的个数确定 m 的取值范围，再根据分式方程的非负数解确 定 m 的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论．
【详解】解：解不等式组得 ， 因为不等式组有且仅有四个整数解，
所以 ， 解得 2≤m＜7，
分式方程去分母得：2 -my + 8 = 2 -y ，
解得： ，
因为分式方程有非负数解，
所以 ，解得 m＞1，且 m≠5，因为 m ＝5 时 y ＝2 是原分式方程的增根， 所以符合条件的所有整数 m 的和是 2+3+4+6 ＝15，
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式组的整数解、分式方程的解， 解决本题的关键是根据不等式组的 整数解的个数及分式方程的解确定 m 的取值范围．
11 ．3（a+2）（a -2）
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则 把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因 式．
【详解】3a2 -12
=3（a2 -4）
=3（a+2）（a -2）．
12 ．3
【分析】首先求出使分子为 0 的字母的值，再检验求得的这个字母的值是否使分母的值不为 0 ．当该值能使分母的值不为 0 时，就是所要求的字母的值．
【详解】解：由分式 的值为零，得3- | a |= 0 ， 且6 + 2a ≠ 0 ，解得 a = 3 ．
所以当a =3 时，分式 的值为零．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查分式的值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于 零．
13 ．-4 ．
【分析】先表示出 a2 ，a2 + a 的值，然后代入代数式降幂计算即可． 【详解】解：Qa2 + a -1 = 0 ，
:a2 = 1- a ，a2 + a = 1，
:a3 + 2a2 - 5 = a(1- a) + 2a2 - 5
= 1 - 5
= -4
故答案为：-4 ．
【点睛】本题主要考查了整体思想，利用整体思想降幂是解题的关键．
14 ．6
【分析】本题考查解分式方程和分式方程的解， 理解分式方程无解的意义是解答的关键．先 将分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根为x =2 求解 a 值即可．
【详解】解：去分母，得：3x = 4 (x - 2) + a ，则 x = 8 - a ，
∵分式方程 无解， : x = 2 是分式方程的增根，
: 8 - a = 2 ，则 a = 6 ， 故答案为：6．
15 ．m≥-6 且 m≠ -4
【分析】根据分式方程 的解是非负数可得 解出 m 的取值范围且分子 不能为 0．
解 解得： ，
∵关于 x 的分式方程 的解是非负数，
: ≥ 0 ， 解得：m ≥ -6 ， 又∵x ≠ 1,
: ≠ 1， : m ≠ -4 ，
故答案为：m≥-6 且 m≠ -4．
【点睛】本题主要考查根据不等式的解求参，解题的关键是根据不等式的解得情况列出关于 参数的不等式，注意容易丢掉分子为 0 时等式不成立的情况．
16 ．（1）(x - 3)(x - y)(x + y) ；（2）36
【分析】（1）根据提公因式法及平方差公式进行因式分解即可；
（2）先根据提公因式法及完全平方公式进行因式分解化简原式，再带入求值即可． 【详解】解：（1）原式=x2 (x - 3) -y2 (x - 3)
=(x - 3)(x2 - y2 )
=(x - 3)(x - y)(x + y)
（2）2x3y + 4x2y2 + 2xy3 = 2xy (x2 + 2xy + y2 ) = 2xy (x + y)2 ， ∵ x + y = 3 ，xy = 2 ，
:原式=2 × 2 × 32 = 36
【点睛】本题考查了提公因式法和公式法分解因式，熟练掌握相关因式分解的方法是解题的 关键．
17 ．（1）x ＝1；（2）无解
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可 得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分 式方程无解；
【详解】解：（1）去分母得：1＋2(x﹣3) ＝x﹣4， 解得：x ＝1，
经检验 x ＝1 是分式方程的解；
（2）去分母，得 3x-(x+2)=0，
解得：x=1，
经检验 x=1 是分式方程的增根， :原分式方程无解．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分 母，化为整式方程求解，求出 x 的值后不要忘记检验．
18 ．-1
【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算， 再约分得到原式 接着解方程和 根据分式有意义的条件得到 x=0，然后把 x=0 代入计算即可．
原式
解方程 x2+x=0 得 x1=0 ，x2=﹣1，
:x+1≠0，
:x=0，
当 x=0 时，原式
【点睛】本题考查了分式的化简求值： 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简 的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
19 ． ，- 或
【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的 x 的值代入 计算即可．
解
∵分式的分母不等于 0
:x≠-3，x≠-2，x≠2 :x=0 或 x ＝3
当x = 0 时，将x = 0 代入得，原式 （或当 x = 3 时，将x = 3 代入得，原式
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算的顺序和运算法则， 分式有意义的条件．
20 ．(1) (a - c )2 - b2 的值为负
(2)△ABC 等边三角形
【分析】（1）运用因式分解法将(a - c )2 - b2 转化为(a - c + b)(a - c - b) ，借助三角形的三边 关系问题即可解决；
（2）运用配方法，将所给等式的左边变形、配方，利用非负数的性质问题即可解决． 【详解】（1）解：(a - c)2 - b2 = (a - c + b)(a - c - b) ，
Q△ABC 的三条边分别是a、b、c ， :a + b - c > 0，a - c - b < 0 ，
(a - c )2 - b2 的值的为负；
（2）解：a2 + c2 + 2b(b - a - c) = 0 ，
:a2 + c2 + 2b2 - 2ab - 2bc = 0 ，
即(a - b)2 + (b - c )2 = 0 ，
又Q(a - b)2 ≥ 0 ，(b - c)2 ≥ 0 ，
:a - b = 0，b - c = 0 ，
:a = b = c，△ABC 为等边三角形．
【点睛】本题主要考查了因式分解、配方法在代数式的化简求值、几何图形形状的判断等方 面的应用问题，解题的关键是灵活运用，正确变形，准确判断．
21 ．（1）A ，B 两种健身器材的单价分别是 240 元，360 元；（2）A 种型号健身器材至少购 买 34 件．
【分析】（1）设 A 种型号健身器材的单价为 x 元/件，则 B 种型号健身器材的单价为1.5x 元/ 件，根据题意列出分式方程，故可求解；
（2）设购买 A 种型号健身器材 m 件，则购买 B 种型号的健身器材(60 - m) 件，根据题意列 出不等式，故可求解．
【详解】解：（1）设 A 种型号健身器材的单价为 x 元/件， B 种型号健身器材的单价为1.5x 元/件，
根据题意得 解得x = 240 ， 经检验x = 240 是原方程的解，且符合题意， 则1.5 × 240 = 360 （元）．
答：A ，B 两种健身器材的单价分别是 240 元，360 元．
（2）设购买 A 种型号健身器材 m 件，则购买 B 种型号的健身器材(60 - m) 件，
根据题意得240m + 360(60 - m) ≤ 17600 ，解得 ．
答：A 种型号健身器材至少购买 34 件．
【点睛】此题主要考查分式方程与不等式的实际应用，解题的关键是根据题意找到数量关系 列式求解．
22 ．（1）A；（2）见解析
【分析】（1）根据题意，可以写出相应的不等式，从而可以解答本题；
（2）根据作差比较法，可以证明（1）中的结论成立． 【详解】（1）由题意可得，
故选 A
（2）利用作差法比较大小：
Qm > 0 ，b > a > 0 ，
:b - a > 0 ，b + m > 0 即 > 0 ，
【点睛】本题考查分式的混合运算， 解答本题的关键是写出相应的式子，会用作差比较法比 较两个式子的大小．
23 ．(1)减小，减小 (2) 3
【分析】（1）根据表格得出 的变化情况，进而判断1+ ， 的变化情况；
（2）根据题意得出 根据 的结论即可求解；
根据 再结合x 的取值范围即可求解． 【详解】（1）解：∵当x > 0 时， 随着 x 的增大而减小， :随着 x 的增大，1 + 的值减小，
当x < 0 时， 随着 x 的增大而减小， :随着 x 的增大 的值减小，
故答案为：减小，减小；
4
x - 1
∵当x > 1 时， 的值无限接近 0，
的值无限接近 3，
又 0 < x < 2 ，
2x -1 1
故答案为：-3 < < ．
x - 3 3
【点睛】本题考查了分式的性质，不等式的性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．