2025~2026学年度山东省淄博市临淄一中（五四制）上学期（9月）月考八年级数学试卷【附答案】

这是一份2025~2026学年度山东省淄博市临淄一中（五四制）上学期（9月）月考八年级数学试卷【附答案】，共27页。试卷主要包含了x2 -2x+1等内容，欢迎下载使用。
初三上月考数学试卷-临淄一中一．选择题（共 10 小题）
1 ．下列各式： ， ， + x ， 其中分式共有（ ）个．
A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
2 ．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为( )
A ．a(x + y) = ax + ay B ．x2 - 4x + 4 = x(x - 4)+ 4
C ．10x2 - 5x = 5x(2x -1) D ．x2 -16 + 3x = (x - 4)(x + 4) + 3x
3 ．已知多项式2x2 + bx + c 分解因式为2(x - 3)(x +1) ，则 b 、c 的值为( )
A ．b = 3 ，c = -1 B ．b = -6 ，c = 2 C ．b = -6 ，c = -4 D ．b = -4 ，c = -6
4 ．把多项式m (n - 2) - m2 (2 - n) 分解因式得( )
A ．m (n - 2)(m +1) B ．(n - 2)(m - m)2
C ．(n - 2)(m + m2 ) D ．m (n - 2)(m -1)
5 ．下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有( )
（1）4x2 -1 （2）9a2b2 - 3ab +1 （3） （4）-x2 - y2
A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个
6 ．若把分式 中的 x 和y 都扩大到原来的 3 倍，那么分式的值( )
A ．扩大 3 倍 B ．不变 C ．缩小到原数的 D ．变为原来的
7 ．式子 其中正确的 是( )
A ．0 个 B ．1 个 C ．2 个 D ．3 个
8 ．若方程 那么 A 、B 的值
A ．2,1 B ．1,2 C ．1,1 D ．－1,－1
9．一件工作，甲单独做 a 小时完成，乙单独做 b 小时完成，则甲、乙两人合作 1 小时能完成多少工作( )
1 1 1 1 ab
A ． + B ． C ． D ．
a b ab a + b a + b
10 ．已知 则分式 的值为 ( )
B ．9 C ．1 D ．不能确定
二．填空题（共 5 小题）
11 ．当 x 时，分式 有意义．当 时，分式 的值为 0．
12 ．小丽在化简分式 时，*部分不小心滴上了墨水，请你推测，*部分 的代数式应该是 ．
13 ．不改变分式的值，把它的分子和分母中的各项系数化为整数：
14 ．化简 的结果是 ．计算 的结果是 ．
15 ．若y2 + 4y + 2 = 0 ，则 的值是 ．
三．解答题（共 12 小题）
16 ．因式分解：
(1)a2 (a - b) + 4b2 (b - a ) ；；
(2)64a3 - 4a(a2 + 4)2 ．
17 ．计算：
18 ．计算
19 ．计算与证明
(1)证明：257 - 512 能被 12 整除．
(2)简便计算：1242 × 25 - 25 × 762 ．
已知 ，若 A ÷ B = C × D ，求D ．
（2）先化简，再求值 且x 为满足-3 < x < 2 的整数．
21 ．（1）已知 m2 = n + 2 ，n2 = m + 2（m ≠ n），求m3 - 2mn + n3 的值．
（2）求证：不论 x 取何实数，多项式-2x4 +12x3 -18x2 的值都不会是正数．
22 ．阅读材料，并解答问题．
例题：求多项式m2 + 2mn + 2n2 - 6n +13 的最小值．
解：m2 + 2mn + 2n2 - 6n +13 = (m2 + 2mn + n2 ) + (n2 - 6n + 9) + 4 = (m + n)2 + (n - 3)2 + 4 ， Q (m + n)2 ≥ 0 ，(n - 3)2 ≥ 0 ，
: 多项式m2 + 2mn + 2n2 - 6n +13 的最小值是4 ．
(1)请写出例题解答过程中因式分解运用的公式是________；
当m2 + 2mn + 2n2 - 6n +13取最小值4 时，m = ______ ，n = ______．
(2)求多项式-2x2 + 4xy- 3y2 - 6y + 7 的最大值．
23 ．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式， 则称这个分式为“和谐分式” ．例如
则 和 都是“和谐分式”．
(1)下列式子中，属于“和谐分式”的是______ ；（填序号）
.
(2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；
(3)先化简 若该式的值为整数，求 x 的整数值．
1 ．B
【分析】本题考查分式的定义，对题中出现的各式逐一分析，统计出分式的个数即可．
解：对于 分母是 a ，a 是字母，所以是分式；
对于 ，分母是 π - 3 ， π 是一个常数， π - 3 也是常数，不含有字母，所以不是分 式；
对于 ，分母是 2 ，2 是常数，不含字母，所以不是分式；
对于 的分母是 x，x 是字母，所以是分式；
对于 ，分母是 x +1，x 是字母，所以是分式．
综上所述，其中分式有： ， + x ， 共 3 个．
故选：B．
2 ．C
【分析】本题考查了因式分解的含义， 根据分解因式的概念求解即可．解答本题的关键是掌 握因式分解的定义：把一个多项式转化为整式乘积的形式．
【详解】解 A 、a (x + y ) = ax + ay 是整式的乘法，故 A 不符合题意；
B 、x2 - 4x + 4 = x(x - 4)+ 4 的右边不是整式的积的形式，故 B 不符合题意； C 、10x2 - 5x = 5x(2x -1) ，符合因式分解的定义，故 C 符合题意；
D 、x2 -16 + 3x = (x - 4)(x +4) + 3x 的右边不是整式的积的形式，故 D 不符合题意； 故选 C．
3 ．D
【分析】本题考查了因式分解的意义，利用了因式分解的意义． 根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得答案．
【详解】解：由多项式2x2 + bx + c 分解因式为2(x - 3)(x +1) ，得 2x2 + bx + c = 2(x - 3)(x + 1) = 2x2 - 4x - 6 ．
b = -4 ，c = -6 ， 故选：D．
4 ．A
【分析】本题考查了利用提公因式法进行多项式因式分解，先通过变形将多项式中互为相反
数的因式化为相同形式，再提取公因式，最后对剩余部分继续分解因式，再分析各选项的正 误即可．
【详解】解：m (n - 2) - m2 (2 - n)
= m (n - 2) + m2 (n - 2)
= (m + m2 )(n - 2)
= m (n - 2)(m + 1) ． 故选：A．
5 ．B
【分析】本题考查了因式分解中的公式法， 具体包括平方差公式和完全平方公式．依次对每 个多项式进行判断是否符合公式特征，从而确定能分解的个数．
【详解】解：（1）4x2 -1 = (2x +1)(2x -1) ，符合题意；
（2）9a2b2 - 3ab +1不能运用公式法分解因式，不符合题意；
（3） 符合题意；
（4）-x2 - y2 不能运用公式法分解因式，不符合题意．
∴能运用公式法分解因式的有 2 个．
故选：B．
6 ．C
【分析】本题考查了分式的基本性质，先将式子中的x 和y 都扩大为原来的3 倍，得 再将新式子化简后与原分式比较，判断分式值的变化情况即可得到结果．
【详解】解：由题意知，变化后的分式

∴把分式中的 x 和y 都扩大 3 倍，那么分式的值变为原来的 ．
故选：C．
7 ．B
【分析】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的分子和分母同时乘以（或除以） 同一个不为0 的整式，分式的值不变是解题的关键．分别对三个式子进行分式变形的分析， 判断其正确性．
解 故 错误；
（2） 故 错误；
（3）分子、分母同时乘以 - 1 ，分式的值不变，即 故 正确．
-x - y x + y
综上所述，正确的变形有 1 个．
故选：B．
8 ．C
【分析】由分式的加减运算法则可得
解
: í ,解得： í
ìA + B＝2 ìA＝1
l4A - 3B＝1 lB＝1 故选 C．
【点睛】此题考查分式的加减运算法则．此题难度适中，解题关键是注意多项式相等，即对 应系数相等．
9 ．A
【分析】本题考查列代数式表示数量关系，将整个工作量看作单位“1”，由此可得甲 1 小时 完成的工作量为 ，乙 1 小时完成的工作量为 ，甲乙合作 1 小时的工作量即为 即 可得到答案．
【详解】解：根据题意，甲、乙两人合作 1 小时能完成的工作量为 故选：A．
10 ．A
【分析】根据条件可得x + y = 3xy ，将其代入所求分式，根据分式的性质化简即可求解． 解
: x + y = 3xy ，
故选 A．
【点睛】本题考查了分式的加减计算，求分式的性质，求得x + y = 3xy 是解题的关键．
11．
5
≠ x = -5 2
【分析】本题考查分式有意义的条件以及分式值为零的条件．对于第一个空，根据分式有意 义的条件，令分母不为零，求解 x 的取值范围；对于第二个空，根据分式值为零的条件，先 令分子为零，再检验分母是否不为零，从而确定 x 的值．
【详解】解：（1）依题意得：2x - 5 ≠ 0 ，
解得x ≠ .
（2）依题意得：
x - 5 = 0 ，且 x2 + 4x - 5 ≠ 0 ，
: x = ±5 ，且x2 + 4x - 5 = (x - 5)(x +1) ≠ 0 ， 解得x = -5 ．
故答案为
12．x2 -2x+1．
【分析】利用分式的基本性质， 将等号右边分子、分母同时乘以(x－1)，再与左边比照即可 得到结果．
解 :*部分为：(x－1)2＝x2－2x+1．
故答案为：x2－2x+1．
【点睛】本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
【详解】分子和分母同时乘 10 ，得
14．
m
m + 3
【分析】本题考查了分式的基本性质、分式的化简以及分式的混合运算．第一空先对分子分 母分别因式分解得 ，再约去公因式即可得结果；第二空先对括号内的式子进 行通分计算，再将除法转化为乘法进行约分计算即可得结果．
解
故答案为：- ， - ．
15 ． 1
10
【分析】本题考查了一元二次方程的变形，整体代入思想及分式的化简．先将原式进行变形 得到 ，再由y2 + 4y + 2 = 0 可得y2 = -4y - 2 ，将y2 = -4y - 2 代入原式计算并进行 化简后可得到最终结果．
解：原式 ∵ y2 + 4y + 2 = 0 ，
: y2 = -4y - 2 ,
故答案为： ．
16 ．(1) (a - b)(a + 2b)(a - 2b)
(2) -4a(a + 2)2 (a - 2)2
【分析】本题主要考查了因式分解， 熟练掌握提取公因式法、平方差公式和完全平方公式是 解题的关键．
（1）先通过变形将式子化为有公因式的形式，提取公因式后，再利用平方差公式继续分解；
（2）先提取公因式，然后利用平方差公式、完全平方公式进行分解． 【详解】（1）解：原式 = a2 (a - b) - 4b2 (a - b)
= (a - b)(a2 - 4b2 )
= (a - b)(a + 2b)(a - 2b)；
（2）解：原式 = 4a[16a2 - (a2 + 4)2 ù」
= 4a (a2 + 4a + 4)(4a - a2 - 4)
= -4a(a + 2)2 (a - 2)2 ．
(2) -y ．
【分析】本题主要考查了分式的乘除运算，熟练掌握因式分解和分式乘除运算法则是解题的 关键．
（1）先对分子分母进行因式分解，再将除法转化为乘法，通过约分计算．
（2）先利用平方差公式对 x2 - 4y2 因式分解，再将除法转化为乘法，通过约分计算．
解
解
= -y ．
(2)
【分析】本题考查分式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
（1）先将整体部分转化为与分式同分母的形式，再进行分式减法运算，最后化简分子得出 结果；
（2）先分别化简括号内的两个分式表达式，再将化简后的结果进行除法运算即可． 【详解】（1）解： - - x +1

=
x
. 2
19 ．(1)证明见详解
(2)240000
【分析】本题考查因式分解的应用和平方差公式，熟练掌握因式分解的方法和平方差公式是 解题的关键．
（1）利用提公因式法对原式进行变形，即 257 - 512 = 512 × 12 × 2 ，即可得出结果；
（2）先提取公因数 25，将式子简化为25× (1242 - 762 ) ，再利用平方差公式对括号内的部分
应用平方差公式，最终再将所有的数相乘得到结果．
【详解】（1）证明：257 - 512 = (52 )7 - 512 = 514 - 512 = 512 (52 -1) = 512 × 24 = 512 × 12 × 2 ， : 257 - 512 能被 12 整除．
（2）解：原式 = 25 × (1242 - 762 )
= 25 × (124 + 76) × (124 - 76)
= 25 × 200 × 48
= 240000 ．
20 ．（1）D = -y （2）2x - 3 ； - 5 ；
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则和因式分解是解题的关 键．
（1）先对 A 、B 、C 进行因式分解，再根据A ÷ B = C × D ，通过分式的乘除运算求出 D ．
（2）先对括号内的分式进行因式分解，再通分计算，然后将除法转化为乘法进行化简，最
后根据分式有意义的条件确定x 的值，代入求值．
解
D = -y ；

= 2x - 3 ；
∵ x ≠ 0 且x ≠ 1且x ≠ -2 ，-3 < x < 2 且x 为整数， : x = -1 ，
原式= 2 × (-1) - 3 = -5 ．
21 ．（1）-2 （2）见解析
【分析】本题主要考查了因式分解的应用以及平方数的非负性，熟练掌握因式分解的方法和 平方数的非负性是解题的关键．
（1）先对所求式子进行变形，利用已知条件将高次幂转化为低次幂，再通过平方差公式求 出m + n 的值，进而得出结果．
（2）对多项式进行因式分解，然后根据平方数的非负性以及系数的正负来判断多项式的值
的范围．
【详解】（1）解：∵ m2 = n + 2 ，n2 = m + 2 ， : m3 - 2mn + n3
= m . m2 - 2mn + n . n2
= m (n + 2) - 2mn + n (m + 2)
= mn + 2m - 2mn + mn + 2n
= 2m + 2n
= 2 (m + n)，
Qm2 = n + 2 ，n2 = m + 2 ，
:m2 - n2 = (m + n)(m - n) = n - m ， Qm ≠ n ，
:m - n ≠ 0 ，
:m + n = -1 ，
:m3 - 2mn + n3 = 2 × (-1) = -2 ；
（2）证明：-2x4 +12x3 -18x2 = -2x2 (x2 - 6x + 9) = -2x2 (x - 3)2 ， Q -2x2 ≤ 0 ，(x - 3)2 ≥ 0 ，
:-2x2 (x - 3)2 ≤ 0 ．
:不论 x 取何实数，多项式-2x4 +12x3 -18x2 的值都不会是正数．
22 ．(1)完全平方公式，-3 ，3
(2)16
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式以及完全平方数的非 负性是解题的关键．
（1）观察例题分解过程，确定用到的公式，再根据完全平方数的非负性求出 m 、n 的值；
（2）通过配方法将多项式转化为含有完全平方的形式，再根据完全平方数的非负性求最大 值．
【详解】（1）解：过程中使用了完全平方公式． 故答案为：完全平方公式．
原式= (m + n)2 + (n - 3)2 + 4 ，
当(m + n)2 = 0 ，(n - 3)2 = 0 时，式子取到最小值，
此时，m = -n ，n = 3 ，m = -3 ；
（2）解：原式 = -2x2 + 4xy- 2y2 - y2 - 6y + 7
= -2(x2 - 2xy + y2 )- (y2 + 6y + 9) +16
= -2(x - y)2 - (y + 3)2 +16 ，
Q-(x - y)2 ≤ 0 ，-(y + 3)2 ≤ 0 ，
:-2(x - y)2 - (y + 3)2 +16 ≤ 16 ，
即所求最大值为16 ，当且仅当x = y = -3 时取到最大值．
23 ．(1)@③
(3) x = -3
【分析】本题考查了分式的混合运算， 分式有意义的条件，理解“和谐分式”的定义是解此题 的关键．
（1）根据“和谐分式”的定义逐个分析即可得解；
（2）根据题意结合“和谐分式”的定义计算即可得解；
（3）先化简，再结合分式有意义的条件即可得解．
解 = 1+ ， 故属于“和谐分式”的是@③;
解 3x + 6 x -1 x2 -1
（3）解： - ÷ x +1 x x2 + 2x
:当x +1 = ±1 或x +1 = ±2 时，分式的值为整数， 此时x = 0 或-2 或 1 或-3 ，
又:分式有意义时x ≠ 0 、1 、-1 、-2 ， : x = -3 ．