2025~2026学年度八年级上学期期中数学模拟A卷【附答案】

这是一份2025~2026学年度八年级上学期期中数学模拟A卷【附答案】，共43页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
八年级上册 期中模拟 A 卷一、单选题
1 ．下列图中为轴对称图形的是( )
A ． B．
C ． D．
2 ．下列各图中，作 △ABC 边AC 上的高，正确的是( )
A．
B．
C．
D．
3 ．从长为3, 6,8,9 的四条线段中任选三条线段，不能组成一个三角形为( )
..
A ．3, 6,8 B ．3, 6, 9 C ．3,8, 9 D ．6,8, 9
4 ．按图中所给的条件，上1+ 上2 的度数是( )
A ．195° B ．205° C ．225° D ．235°
5 ．如图，已知上1 = 上2 ，则下列条件中，不能使△ABC≌△DCB成立的是( )
A ．AB = CD B ．AC = BD C ．上A = 上D D ．上ABC = 上DCB
6 ．如图，已知平行线a 、b ，一个含有45° 角的直角三角板的直角顶点在直线a 上，另一个顶点在直线b 上，若 上2 = 10° ,则 上1 的大小为( )
A ．20° B ．25° C ．30° D ．35°
7 ．如图， △ABC 的面积是 12，点 D ，E，F，G 分别是BC, AD,BE, CE 的中点，则 四边形 AFDG 的面积是( )
A ．6 B ．5 C ．4.5 D ．4
8 ．如图，在 △ABC 中，D 是AB 的垂直平分线与BC 边的交点，E 是BC 边上一点， 连接AD ，AE ，AE 将 △ABC 的面积平分．若AD = 3 ，BC = 8 ，则 DE 的长为( )
A ．2 B ． C ．1 D ．
9 ．如图，OG 平分上MON ，点 A ，B 是射线OM ，ON 上的点，连接AB ．按以下 步骤作图：①以点 B 为圆心，任意长为半径作弧，交AB 于点 C，交BN 于点 D； ②分别以点 C 和点 D 为圆心，大于CD 长为半径作弧，两弧相交于点 E；③作 射线BE ，交 OG 于点 P ．若上OAB = 50° ,则 上OPB 的度数为( )
A ．35° B ．55° C ．45° D ．25°
10 ．如图，在 △ABC 中，上BAC = 120° , AD T BC 于点D ，且AB + BD = DC ，则 7C 等于( )
A ．20° B ．25° C ．30° D ．40°
11 ．在三角形纸片ABC 中， 7A = 90 ，7C = 25，点 D 为AC 边上靠近点C 处一定 点，点E 为BC 边上一动点，沿DE 折叠三角形纸片，点C 落在点C¢ 处．
①如图 1，当点 C¢ 落在BC 边上时， 7ADC ¢ = 50 ；
②如图 2，当点 C¢ 落在 △ABC 内部时， 7ADC ¢ + 7BEC¢ = 50 ；
③如图 3，当点 C¢ 落在 △ABC 上方时， 7BEC ¢ - 7ADC¢ = 50 ；
④当C¢EⅡAB 时， 7CDE = 32.5或 7CDE = 123.5，以上结论正确的个数是( )
A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4
12 ．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形ABC 的顶点B ，C 的坐标分别为 (2, 0) ，(6, 0) ，点N 从A 点出发沿AC 向C 点运动，连接ON 交AB 于点M. 当M 恰好 为ON 中点时，则AM 长为( )
A ．1.5 B ．2 C ．2.5 D ．3
二、填空题
13 ．已知点P1 (a, 3) 与P2 (-2, -3) 关于 x 轴对称，则a = ．
14 ．如图， △ABE 和△CDB都是直角三角形，A ，B ，C 三点在同一条直线上，
BD 丄 BE ，BD = BE ，若 AE = 5 ，CD = 2 ，则线段AC 的长为 ．
15 ．如图，在 △ABC 中， 上A = 30° , 上B = 62° , CE 平分 Ð ACB ． CD 丄 AB 于点D ， 上CDF = 74° ,则 上CFD 的度数为 ．
16 ．如图，在 △ABC 中，CD 是 Ð ACB 的平分线，BE 丄 CD ，垂足为点 E ．若
上CBE - 上DBE = 40° ,则 ÐBAC 的度数为 ．
三、解答题
17．在 △ABC 中，上B = 76°, 上C = 46° , AE 丄 BC 交BC 于点 E，AD 平分 ÐBAC ．求上EAD 的度数．
18 ．如图，AB = CD ，AC ，BD 的垂直平分线EM ，EN 相交于点E ，连接BE ， DE ，BC ．求证：上ABE = 上CDE ．
19 ．如图，在Rt△ABC 中，上C = 90° , BD 平分 Ð ABC 交AC 于点D ，DE 丄 AB 于点 E ，F 是线段BC 上一点，连接DF ，DF = AD ，若 AB + BF = 12 ，求BE 的长．
20 ．如图，在四边形ABCD 中，AB∥CD ，E 为BC 的中点，且AE 丄 DE ，延长DE 交AB 的延长线于点F ．
(1)求证： △FBE≌△DCE
(2)若AD = 12 ，CD = 5 ，求 AB 的长．
21 ．如图1，在 △ABC 中，上BAC = 45° , AD 丄 BC ，垂足为D ，BE 丄 AC ，垂足为 E ，AD 与BE 相交于点F ．
(1)试判断线段AF 与BC 的数量关系，并说明理由；
(2)若上ABC = 67.5° ,试猜想线段AF 与BD 有何数量关系，并说明理由．
22 ．如图， △ABC 在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为A (-2, 4)，
B (-3, 2) ，C (-1,1) ，直线 l 经过点(1,0) 且与y 轴平行．
(1)请在坐标系中画出△ABC 关于x 轴对称的图形△A1B1C1 ，并写出A1 ，B1 ，C1 点的 坐标．
(2)请在坐标系中画出△ABC 关于直线l 对称的图形△A2B2 C2 ，并写出点 A2 ，B2 ，C2 的坐标．
(3)若点P (a, b) 是△ABC 上一点，则点P 关于直线l 对称的坐标是__________．
23 ．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第 94 页的部分内容．
2 ．线段垂直平分线
我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图，直 线MN 是线段AB 的垂直平分线，P 是MN 上任一点，连结PA 、PB ．将线段AB 沿 直线MN 对折，我们发现PA 与PB 完全重合．由此即有：绕段垂直平分线的性质 定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
已知：如图，MN 丄 AB ，垂足点为 C，AC = BC ，点 P 是直线MN 的任意一点，
求证：PA = PB ．
AI
分析：图中有两个直角三角形APC 和BPC ，只要证明这两个三角形全等，便可证 明PA = PB ．
（1）请根据所给教材内容，结合图①,写出“线段垂直平分线的性质定理”完整
的证明过程． 定理应用：
（2）如图@，在 △ABC 中，AB、AC 的垂直平分线分别交 BC 于点 D 、E，垂足 分别为 M，N，BC = 24 ，则 △ADE 的周长为________．
（3）如图③,在 △ABC 中，AB = AC ，AD 丄 BC ，E、P 分别是 AB、AD 上任意 一点，若AB = 8 ， △ABC 的面积为 30，则 BP + EP 的最小值是________．
24 ．△ ABC 是等腰直角三角形，上BAC = 90° , BC = 6cm ，过点A 作AD 丄 BC 交BC 于 点D ，点 P 从点A 出发，以1cm / s 的速度沿着射线CA 方向运动，连接PD 交AB 于 点E ，过点 D 作PD 的垂线交直线AC 于点F ，交直线 AB 于点G ．设运动时间为 t s ．
(1)当t = 3 时，求BG 的长；
(2)在点P 的运动过程中，试探究线段GE 与PF 的数量关系，并说明理由；
(3)如图2 ，连接EF ，EF 上是否存在点H ，使得△ DCF与△ FAH全等？若存在， 求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．
25 ．（1）如图（1）， 已知：在 △ABC 中，上BAC = 90° , AB = AC ，直线l 经过点A ， BD 丄直线l ，CE 丄直线l ，垂足分别为点 D、E ．易证：DE = BD + CE ．
（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在 △ABC 中，AB = AC , D 、A 、E 三点都
在直线l 上，且 ÐBDA = ÐAEC = ÐBAC ，请问结论DE = BD + CE 是否成立？如成立； 请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：①如图（3）， D 、A 、E 三点都在直线l 上，
ÐBDA = ÐAEC = ÐBAC ，且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接DF、EF ，试判断
△DEF 的形状，并给予证明．
@如图（3）①的条件不变，当AE : EC = 1: 2 时，已知 △BDF 的面积为 6，四边形 AECF 的面积是_____．
1 ．B
【分析】本题主要考查了轴对称图形， 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够 互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，不符合题意，
B、该图形是轴对称图形，符合题意；
C、该图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、该图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B．
2 ．D
【分析】本题考查了三角形的高， 熟练掌握三角形高的定义是解答本题的关键．三角形的一 个顶点到它的对边所在直线的垂线段叫做这个三角形的高．根据三角形高线的定义逐一判断 即可．
【详解】
解：A ． ，所作 BD 不是高线，错误；
B ． ，所作 AD 不是△ABC 的高线，错误；
C ． ，所作 BD 是边BC 上的高线，错误；
D ． ，所作 BD 是边AC 上的高线，正确；
故选：D．
3 ．B
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，
根据三角形两边之和大于第三边逐项判断即可.
【详解】解：因为 3 + 6 > 8 ，根据三角形两边之和大于第三边，可知能组成三角形，所以 A 不符合题意；
因为3 + 6 = 9 ，根据三角形两边之和大于第三边，可知不能组成三角形，所以 B 符合题意；
因为3 + 8 > 9 ，根据三角形两边之和大于第三边，可知能组成三角形，所以 C 不符合题意；
因为6 + 8 > 9 ，根据三角形两边之和大于第三边，可知能组成三角形，所以 D 不符合题意. 故选：B.
4 ．C
【分析】本题考查了三角形的内角和定理及其外角的性质．
根据三角形外角的性质得到上1= 上4 + 45°, 上2 = 上3 + 45° ,根据三角形内角和得到
上4 + 45° + 上3 = 180° ,进而计算即可． 【详解】如图，
可知上1= 上4 + 45°, 上2 = 上3 + 45° , : 上1+ 上2 = 上4 + 45° + 上3 + 45° ,
∵ 上4 + 45° + 上3 = 180° ,
: 上1+ 上2 = 180° + 45° = 225° , 故选：C．
5 ．A
【分析】本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定定理是解答本题的 关键．根据条件和图形可得上1= 上2 ，BC = BC ，再结合每个选项所给条件利用三角形判定 定理逐一进行判断即可．
【详解】解：根据条件和图形可得 上1= 上2 ，BC = BC ，
A、添加 AB = CD 不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；
B、添加 AC = BD 可利用SAS 定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
C、添加 上A = 上D 可利用AAS 定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
D、添加 上ABC = 上DCB 可利用ASA 定理判定△ABC≌△DCB ，故此选项不合题意． 故选：A．
6 ．D
【分析】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理， 根据直角三角形中含有45° 角，可 知该直角三角形是等腰直角三角形，它的两个锐角都是45° , 根据两直线平行，同位角相等 可知上CDA = 55° ,再利用三角形内角和为180° ,即可求出 上1 的度数．
【详解】解：如下图所示， Q△ABC 中，上C = 90° ,
:上CAB = 上CBA = 45° , 又Q 上2 = 10° ,
:上CBE = 上CBA + 上2 = 45° + 10° = 55° , Qa Ⅱ b ，
:上CDA = 上CBE = 55° ,
在 △ACD 中，上C + 上1+ 上CDA = 180° ,
:90° + 上1+ 55° = 180° ,
:上1 = 180° - 90° - 55° = 35° .
故选：D．
7 ．A
【分析】本题考查了三角形中线的定义，三角形的中线将三角形分为两个面积相等的小三角 形，据此即可求出S△ABD = S△△ABC = 6 ，同理可以求出S△AEF = 1.5 ，S△FDE = 1.5 ，
S△AEG = 1.5 ，S△DEG = 1.5 ，即可求出 S四边形AFDG = 6 ．
【详解】解：∵点 D 为BC 中点， : BD = CD ，
:△ABD 与 △ADC 等底同高，
同理可得S△ABE = S△DBE = S△ABD = 3 ，S△ACE = S△DCE = S△ACD = 3，
S△AEF = S△ABE = 1.5 ，S△FDE = S△BDE = 1.5 ，S△AEG = S△AEC = 1.5 ，S△△ECD = 1.5 ， : S四边形AFDG = S△AEF + S△DEF + S△AEG + S△DEG = 6 ．
故选：A
8 ．C
【分析】本题考查了三角形中线等分面积， 线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握知识点是 解题的关键．
根据线段垂直平分线的性质得到BD = DA = 3 ，再由三角形中线等分面积得到
最后根据DE = BE - BD 即可求解．
【详解】解：: D 是AB 的垂直平分线与BC 边的交点， : BD = DA = 3 ，
: AE 将△ABC 的面积平分，
: DE = BE - BD = 1， 故选：C．
9 ．D
【分析】本题考查作图—基本作图、角平分线的定义．由作图过程可知，BE 为上ABN 的平 分线，可得上上ABN ．根据上ABN = 上AOB + 上OAB = 上AOB + 50° ,可得
上上AOB + 25° . 由题意得上BOP = 上AOB ，则
【详解】解：由作图过程可知，BE 为上ABN 的平分线，
: 上ABN = 上AOB + 上OAB = 上AOB + 50° ,
: OG 平分上MON ，
: 上BOP = 上AOB ．
∵ 上OPB = 上PBN - 上BOP ，
故选：D．
10 ．A
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，外角性质，等边对等角， 正确掌握相关性质内容是解题的关键．在DC 上取DE = DB ．连接AE ，在 Rt△ABD 和
Rt△AED 中，BD = ED ，AD = AD ．证明 △ABD≌△AED 即可求解
【详解】解：如图，在 DC 上取DE = DB ．连接AE ，
在Rt△ABD 和Rt△AED 中，
: △ABD≌△AED ，
: AB = AE ，上B = 上AED ， 又∵ AB + BD = CD
:EC = CD - DE = CD - BD = (AB + BD ) - BD = AB = AE ， 即EC = AE ，
: 上C = 上CAE ，
∵ 上AED = 上C + 上CAE ， : 上B = 上AED = 2上C ，
∵ 上B + 上C + 上BAC = 180° ,且 上BAC = 120° , : 上B + 上C = 180° - 上BAC = 60° ,
: 2上C + 上C = 60° : 上C = 20° ,
故选：A．
11 ．C
【分析】该题主要考查了折叠的性质， 平行线的性质，三角形内角和定理，综合运用相关知
识是解题的关键．
①如图 1，当点C¢ 落在BC 边上时，根据折叠性质和三角形外角的性质求解即可；@如图
2，当点C¢ 落在 △ABC 内部时，根据折叠性质以及平角的定义即可求解；③如图3，当点C¢ 落在 △ABC 上方时，根据折叠性质可得上C = 上DC¢E, 上CDE = 上C¢DE, 上DEC = 上DEC¢ ,根 据上BEC¢ - 上ADC¢
= 180° - 2上CED - (2上CDE -180° )即可求解； ④当C¢E Ⅱ AB 时，分别画出图形根据折叠性 质和平行线性质求解即可；
【详解】解：①如图 1，当点C¢ 落在BC 边上时，
根据折叠性质可得上C = 上DC¢C, 上CDE = 上C¢DE, 上DEC = 上DEC¢ , : 上ADC¢ = 2上C = 50° ,故①正确；
@如图 2，当点C¢ 落在 △ABC 内部时，
根据折叠性质可得上C = 上DC¢E, 上CDE = 上C¢DE, 上DEC = 上DEC¢ : 上ADC¢ + 上BEC¢
= 180°× 2 - (上CDC¢ + 上CEC¢ )
= 360° - 2(上CDE + 上CED)
= 360° - 2(180° - 上C)
= 2上C
= 50° ,故@正确；
③如图3，当点C¢ 落在 △ABC 上方时，；
根据折叠性质可得上C = 上DC¢E, 上CDE = 上C¢DE, 上DEC = 上DEC¢ : 上BEC¢ - 上ADC¢
= 180° - 上CEC¢ - (上CDE + 上C¢DE -180° )
= 180° - 2上CED - (2上CDE -180° )
= 360° - 2(上CDE + 上CED)
= 360° - 2(180° - 上C)
= 2上C
= 50° ,故③正确；
④当C¢E Ⅱ AB 时，
: 上A = 90°, 上C = 25° ,
: 上B = 180° - 上A - 上C = 65° , : C¢E ⅡAB ，
: 上CEC¢ = 上B = 65° ,
根据折叠性质可得上CED = 上C ¢ED ，
: 上CDE = 180° - 上C - 上CED = 180° - 25° - 32.5° = 122.5° ; 当C¢E Ⅱ AB 时，
: 上A = 90°, 上C = 25° ,
: 上B = 180° - 上A - 上C = 65° : C¢E ⅡAB ，
: 上BEC¢ = 上B = 65° ,
根据折叠性质可得上CED = 上C ¢ED ，上C = 上C¢ = 25° , : 上DFC = 上BEC¢ + 上C¢ = 65° + 25° = 90° ,
: 上CDF = 90° - 上C = 65° ,
综上上CDE = 32.5° 或上CDE = 122.5° ；故④错误；
故选：C．
12 ．D
【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形，过点 N 作ND Ⅱ x 轴，交AB 于点D ，可证 △ADN 是等边三角形，利用ASA 可证 △DNM≌△BOM ，
根据全等三角形的性质可知DN = OB = 2 ，BM = DM ，从而可求 DM == 1，根据线段之间 的关系可以求出AM = 3 ．
【详解】解：如下图所示，过点 N 作ND Ⅱ x 轴，交AB 于点D ，
QB ，C 的坐标分别为(2, 0) ，(6, 0) ，
: OB = 2 ，OC = 6 ，
:BC = OC - OB = 4 ，
Q△ABC 是等边三角形，
:上ABC = 上ACB = 上BAC = 60° , AB = AC = BC = 4 ，
: 上ADN = 上ABC = 60° , 上AND = 上ACB = 60° , :△ADN 是等边三角形，
Q 点M是ON的中点，
: OM = NM ，
在 △DNM 和 △BOM 中 :△DNM≌△BOM ，
:DN = OB = 2 ，BM = DM ，
: AN = AD = DN = 2 ，
:BD = AB - AD = 4 - 2 = 2 ，
: AM = AD + DM = 2 +1 = 3 ．
故选：D．
13 ．-2
【分析】本题主要考查了关于x 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标 规律：关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．据此即可求解．
【详解】解：:点P1 (a, 3) 与P2 (-2, -3) 关于x 轴对称，
: a = -2 ，
故答案为：-2 ．
14 ．7
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．
利用BD 丄 BE 推导出上AEB = 上CBD ，进而通过角角边证明全等即可． 【详解】解：Q 上EAB = 90 ，
: Ð AEB + Ð ABE = 90
Q BD 丄 BE ，
: Ð EBD = 90 ，
:上EBA + 上DBC = 90 ，
: Ð AEB = Ð CBD ，
Q 上EAB = 上BCD = 90 ，BD = BE ，
:VEAB≌VBCD ，
: AB = CD = 2 ，BC = EA = 5 ，
: AC = AB + BC = 7 ．
故答案为：7．
15 ．90°
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的性质，熟练掌握三角形内角和为 180° 以及角平分线将角分成相等的两部分是解题的关键．
先根据三角形内角和求出 Ð ACB ，再由角平分线得ÐECB ，结合垂直求出 Ð BCD ，进而得
Ð ECD ，最后在 VCDF 中用三角形内角和求 Ð CFD ． 【详解】解：在 VABC 中， Ð A = 30° , Ð B = 62° ,
: Ð ACB = 180° - Ð A - Ð B = 180° - 30° - 62° = 88° . Q CE 平分 Ð ACB ，
QCD 丄 AB ， Ð B = 62° ,
: Ð BCD = 90° - Ð B = 90° - 62° = 28° .
: Ð ECD = Ð ECB - Ð BCD = 44° - 28° = 16° .
: Ð CFD = 180° - Ð ECD - Ð CDF = 180° -16° - 74° = 90° .
故答案为：90° .
16 ．40°
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质， 解决本题的关键是掌握全 等三角形的判定；
根据角平分线的性质可得上BEC = 上FEC, 上BCE = 上FCE ，再根据ASA 证明 △BCE≌△FCE ， 根据其性质进而即可求解．
【详解】解：延长 BE 交AC 于点 F，
∵ CD 是Ð ACB 的平分线，BE 丄 CD ，垂足为点 E， :上BEC = 上FEC = 90°, 上BCE = 上FCE ，
在 △BCE 和△FCE 中，
: △BCE≌△FCE (ASA )， : 上CBE = 上CFE ，
∵ 上CBE - 上DBE = 40° ,
: 上CFE - 上DBE = 40° ,
∵ 上CFE = 上BAC + 上EBD ， : 上BAC = 上CFE - 上DBE ， : 上BAC=40° ,
: 上BAC 的度数是40° .
故答案为：40° .
17 ．上EAD = 15°
【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的内角和定理求出 ÐBAC 的度数， ÐBAE 的度数，角平分线求出ÐBAD 的度数，再根据角的和差关系进行求解即可．
【详解】解：∵上B = 76°, 上C = 46° , : 上BAC = 180° - 76° - 46° = 58° ,
∵ AE 丄 BC 交BC 于点 E，AD 平分 ÐBAC ， : 上AEB = 90 ° , 上上BAC = 29° , : 上BAE = 90° - 76° = 14° ,
: 上EAD = 上BAD - 上BAE = 29° -14° = 15° .
18 ．见解析
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质和判定，
先连接AE 、CE ，根据垂直平分线的性质得出 AE = CE ，BE = DE ，根据“边边边”证明
△ABE ≥△CDE 即可得出答案． 【详解】证明：连接 AE 、CE ，
: AE = CE ，BE = DE ， 在 △ABE 和 △CDE 中，
:△ABE ≥△CDE ，
:上ABE = 上CDE ．
19 ．6
Q AC 、BD 的垂直平分线相交于E ，
【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定， 角平分线的性质定理，根据上C = 90° , BD 平分 Ð ABC ，DE 丄 AB ，得出DE = CD, 上BED = 90° , 证明 △BDE≌△BDC ，得出BE = BC ， 证明 △ADE≌△FDC ，得出 AE = FC ，即可得
AB + BF = AE + BE + BC - CF = BE + BC = 2BE = 12 ，从而求出 BE = 6 ．
【详解】解：∵ 上C = 90° , BD 平分 Ð ABC ，DE 丄 AB ，
: DE = CD, 上BED = 90° ,
∵ BD = BD, DE = CD, 上BED = 上C = 90° , : Rt△BDE≌Rt△BDC(HL) ，
: BE = BC ，
∵ AD = DF, DE = CD, 上AED = 上C = 90° , : Rt△ADE≌Rt△FDC(HL) ，
: AE = FC ，
: AB + BF = AE + BE + BC - CF = BE + BC = 2BE = 12 ， : BE = 6 ．
20 ．(1)见解析 (2)7
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质， 以及垂直平分线的判定与性质，准确推导出全 等三角形并理解线段垂直平分线的性质是解题关键．
（1）由“AAS ”可证 △FBE≌△DCE ；
（2）由全等三角形性质可得 EF = DE ，BF = CD = 5 ，由线段垂直平分线的性质可得 AD = AF = 12 ，进一步求解即可．
【详解】（1）解：Q E 为BC 的中点， : BE = EC ，
Q AB P DC ，
: 上F = 上CDE ，上FBE = 上DCE ， 在 △FBE 与 △DCE 中，
ï
ì上F = 上CDE
í上FBE = 上DCE ， ïlBE = CE
: △FBE≌△DCE (AAS)，
（2）解：∵ △FBE≌△DCE
: EF = DE ，BF = CD = 5 ， ∵ AE 丄 DE ，
: AD = AF = 12 ，
: AF = AB + BF = AB + 5 = 12 ，
: AB = 7 ，
21 ．(1) AF = BC ，理由见解析；
(2) AF = 2BD ，理由见解析．
【分析】此题考查了三角形内角和定理， 全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性 质，掌握知识点的应用方法是解题的关键．
（1）先利用等角对等边得出 EA = EB ，再证出 上CAD = 上CBE ，进而判断出
△AEF≌△BEC ，即可得出结论；
（2 ）先根据三角形的内角和求出 上C = 67.5° = 上CBA ，得出 AC = AB ，进而判断出 BD = BC ，即可得出结论．
【详解】（1）解：AF = BC ，理由如下， ∵ BE 丄 AC ，
: 上AEB = 上BEC = 90° , ∵ 上BAC = 45° ,
: 上EBA = 90° - 上BAC = 45° = 上EAB ， : EA = EB ，
∵ AD 丄 BC ，
: 上ADB = 90° = 上AEB ， ∵ 上EFA = 上DFB ，
: 上CAD = 上CBE ，
在△AEF 和△BEC 中，
ï
ì上CAD = 上CBE
í上AEB = 上BEC = 90° , ïlAE = BE
: △AEF≌△BEC (ASA ) ， : AF = BC ；
（2）解：AF = 2BD ，理由：
∵ 上CAB = 45° , 上CBA = 67.5° ,
: 上C = 67.5° ,
: 上C = 上CBA ，
: AC = AB ，
: AD 丄 BC ，
由（1）知， AF = BC ， : AF = 2BD
22 ．(1)见解析，A1 (-2, -4) ，B1 (-3, -2) ，C1 (-1, -1)．
(2)见解析，A2 (4, 4) ，B2 (5, 2) ，C2 (3,1)．
(3) (2 - a, b)
【分析】本题考查了轴对称作图，在平面直角坐标系中找到一个点关于特定直线的对称点， 数形结合是解答本题的关键．
（1）先确定出点 A(-2，4) ，B (-3，2) ，C (-1，1) 关于 x 轴的对称点，然后连线即可得出
△A1B1C1 ；
（2）先确定出点A(-2，4)，B (-3，2) ，C (-1，1) 关于直线l 的对称点，然后连线即可得出△A2B2 C2 ；
（3）根据轴对称的性质，可得点 P 与点 P 的对称点纵坐标相同，再由轴对称的性质可得点 P 的对称点横坐标．
【详解】（1）如图， △A1B1C1 即为所求．
A1 (-2, -4) ，B1 (-3, -2) ，C1 (-1, -1)．
（2）如图， △A2B2 C2 即为所求．
A2 (4, 4) ，B2 (5, 2) ，C2 (3,1)．
（3）点P(a, b) 关于直线 l 对称点的纵坐标为 b，横坐标为 2× 1- a = 2 - a ， :点 P 关于直线 l 对称的坐标是(2 - a, b) ．
故答案为：(2 - a, b) ．
23 ．（1）见解析；（2）24；（3）
【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、最短路径等知识， 熟练掌握线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质是关键．
（1）证明 △PAC≌△PBC 即可得证；
（2）利用线段垂直平分线的性质得出AD = BD ，AE = CE ，然后根据三角形的周长和线段 的和差关系即可求解；
（3）在 AC 上取点 F，使 AF = AE ，过点 B 作BH丄 AC 于 H，证明 Rt△ABD≌Rt△ACD 得 出上BAD = 上CAD ，证明△APE≌△APF 得出PE = PF ，则BP + PE = BP + PF ≥ BH ，故当 B、 P、F 三点共线，且BH丄 AC 时，BP + EP 最小，最小值为BH ，然后根据三角形面积求出BH 即可．
【详解】（1）证明：在 △PAC 和△PBC 中
: △PAC≌△PBC ， : PA = PB ；
（2）解：: AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于点D 、E ， : AD = BD ，AE = CE
: AD + DE + AE = BD + DE + CE = BC ， : BC = 24 ，
: AD + DE + AE = 24 ，即 △ADE 的周长为 24．
故答案为：24；
（3）解：在 AC 上取点 F，使 AF = AE ，过点 B 作BH丄 AC 于 H，
在Rt△ABD 和Rt△ACD 中
: Rt △ABD≌Rt△ACD ，
: BD = CD ，上BAD = 上CAD ， 在 △APE 和 △APF 中
:△APE≌△APF ， : PE = PF ，
: BP + PE = BP + PF ≥ BH ，
当 B 、P、F 三点共线，且BH丄 AC 时，BP + EP 最小，最小值为BH ， : AB = AC = 8 ， △ABC 的面积为 30，
,
: BP + EP 的最小值为 ．
故答案为： ．
24 ．(1) 3cm
(2) PF = EG ，见解析
(3)存在，t = 3
【分析】（1）证明 △ADP≌△BDG (AAS) ，可得 AP = BG = 3 ；
（2）证明 △CDF≌△ADE (ASA ) 即可求解；
（3）连接EF ，由 Ð AED 是钝角，则当 △DCF 与 △FAH 全等时，在 △FAH 中必有一个钝角， 只能是上FHA 是钝角，此时AF = AD = 3cm ，再根据 AP = AD ，即可求 t 的值．
【详解】（1）解：∵ △ABC 是等腰直角三角形，上BAC = 90° , AD 丄 BC ，BC = 6cm ， : D 是BC 的中点，
: AD = CD = BD = 3cm ，
∵ AC = AB ，
: 上CBA = 45° , : 上DBG = 135° , ∵ AD = BD ，
: 上DAB = 45° , : 上DAP = 135° , ∵ DF 丄 PD ，
: 上APD = 90° - 上AFD = 上BGD ， : △ADP≌△BDG (AAS) ，
: AP = BG ，
∵ AP = tcm ，t = 3 ， : AP = BG = 3cm ；
（2）解：PF = EG ，理由如下：
∵ 上CDF + 上ADF = 90° , 上ADF + 上ADE = 90° , : 上CDF = 上ADE，
∵ CD = AD ，上C = 上DAE = 45° , : △CDF≌△ADE (ASA ) ，
: CF = AE ， ∵ AB = AC ，
: AF = BE ， ∵ BG = AP ，
: FP = EG ；
（3）解：存在点 H 使得 △DCF 与 △FAH 全等，理由如下： 连接EF ，
∵ △CDF≌△ADE ， : 上CFD = 上AED ， ∵ Ð AED 是钝角，
:当 △DCF 与 △FAH 全等时，在 △FAH 中必有一个钝角， ∵ H 点在线段EF 上，
:只能是上FHA 是钝角，
: AF = CD = AD = 3cm ，
在△ADF 中，上FAD = 45° ,
: 上FDA = 67.5° , : 上ADP = 22.5° , ∵ 上DAP = 135° , : 上APD = 22.5° , : AP = AD ，
: t = 3 ．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质， 熟练掌握等腰直 角三角形的边和角的特征，以及全等三角形的判定方法（如角角边等）是解题的关键．
25．（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）① △DEF 为等边三角形，理由见解析；②18 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质， 等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关性 质定理，由条件证明三角形全等是解题的关键．
（1）由条件可证明 △ABD ≌△CAE ，可得DA = CE，AE = BD ，可得DE = BD + CE ；
（2） 由条件可知 上BAD + 上CAE = 180° - a ，且 上DBA + 上BAD = 180° - a ，可得 上DBA = 上CAE ，
结合条件可证明 △ABD ≌△CAE ，同（1）可得出结论．
（3）①由（2）知， △ABD ≌△CAE ，得到 BD = EA，上DBA = 上CAE ，再
△DBF≌△EAF (SAS)，得到 DF = EF，上BFD = 上AFE ，求出
上DFE = 上DFA + 上AFE = 上DFA + 上BFD = 60° ,所以 △DEF 为等边三角形；
@由全等可得S△EAF = S△BDF = 6 ，再证明 △CEF≌△ADF ，可得S△CEF = S△ADF，CE = AD ，结 合题意得到S△CEF = S△ADF = 2S△AEF = 12 ，最后根据
S四边形AECF = S△AEF + S△CEF 求出结果即可．
【详解】（1）证明：Q BD 丄 直线 l ，CE 丄 直线 l，
:上BDA = 上AEC = 90° , 又Q 上BAC = 90° ,
:上BAD + 上CAE = 90° , 上BAD + 上ABD = 90° ,
:上CAE = 上ABD ，
又Q AB = AC ，
:△ABD≌△CAE (AAS) ，
:BD = AE，AD = CE ，
Q DE = AD + AE ，
:DE = BD + CE ；
（2）成立.
理由如下：
设上BDA = 上AEC = 上BAC = a ，
:上DBA + 上BAD = 上BAD + 上CAE = 180° - a ，
:上CAE = 上ABD ，
又Q AB = AC ，
:△ADB≌△CEA (AAS) ，
: AE = BD ，AD = CE ，
:BD + CE = AE + AD = DE ；
（3）① △DEF 是等边三角形.
证明：由(2)知： △ADB≌△CEA ，
:BD = EA，上DBA = 上CAE ，
Q△ABF 和△ACF 均为等边三角形， :上ABF = 上CAF = 60° ,
:上DBA + 上ABF = 上CAE + 上CAF
:上DBF = 上FAE ，
:BF = AF ，
:△DBF ≌△EAF ，
:DF = EF，上BFD = 上AFE ，
:上DFE = 上DFA + 上AFE = 上DFA + 上BFD = 60° , :△DEF 为等边三角形；
@ Q△DBF≌△EAF ，
:S△EAF = S△BDF = 6 ，
Q EF = DF，上CFE = 上AFD = 60° - 上AFE ，CF = AF ， :△CEF≌△ADF ，
:S△CEF = S△ADF，CE = AD ，
QAE : EC = 1: 2
: AE : AD = 1: 2
:S△CEF = S△ADF = 2S△AEF = 2 × 6 = 12 ，
:S四边形AECF = S△AEF + S△CEF = 6 +12 = 18
故答案为：18．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质， 等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关性 质定理，由条件证明三角形全等是解题的关键．