2025~2026学年度八年级上学期期中数学模拟B卷【附答案】

这是一份2025~2026学年度八年级上学期期中数学模拟B卷【附答案】，共40页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1 ．下列标志中，可以看作是轴对称图形的是( )
A ． B ． C ． D．
2．如图，P 是△ABC 的重心，连接AP 并延长，交BC 于点 D，若S△ABC = 8 ，则S△ABD 的值为( )
A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
3 ．唐朝李白的《行路难》有句诗“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．”如图是 小明作的一个帆船模型抽象的几何图形，已知BC∥EF， Ð A = 30° . 若上ADE = 70° , 则 Ð C 的度数为( )
A ．40° B ．30° C ．45° D ．57°
4 ．在 △ABC 中，上A = 76° , 上C = 24° ,作图痕迹如图所示，则 上1 = ( )
A ．26° B ．30° C ．36° D ．40°
5．如图，AB = DB ，上1 = 上2 ，添加下列条件，不能判定 △ABC ≥△DBE 的是( )
A ．BC = BE B ．AC = DE
C ．上A = 上D D ．上ACB = 上DEB
6 ．如图，在 △ABC 中，点 D 在边BC 上，DB = DC ，DE ^ AB ，DF ^ AC ，垂足分 别为 E，F，DE = DF ．
求证：Rt△DEB≌Rt△DFC ．
以下是排乱的证明过程：
证明过程正确的顺序是( )
A ． ④ → ② → ③ → ① B ． ④ → ③ → ① → ②
C ． ③ → ② → ① → ④ D ． ③ → ① → ④ → ②
7 ．如图，在 △ABC 中，AB = AC, 上BAC = 120° ,点 D 在BC 上，AC 丄 AD, AD = 3 ， 则BC 的长为( )
①∵在Rt △DEB 和Rt△DFC 中， ②: Rt△DEB≌Rt△DFC(HL)
③: 上BED = 上CFD = 90°
④∵ DE ^ AB ，DF ^ AC ．
A ．3 B ．6 C ．9 D ．12
8．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是60° , 则这个等腰三角形的底角是 ( )
A ．75° 或15° B ．75° C ．30° D ．75° 或30°
9 ．如图：三角形ABC 中，两个外角的平分线交于点 D ，上D = 50 度，则 Ð A 的度 数是（ ）度
A ．50 B ．55 C ．80 D ．65
10 ．如图，在平面直角坐标系中， △ABC 三顶点均在坐标轴上，若要使
△ABC≌△DCB，则满足条件的点 D 的坐标为( )
A ．(-4, -7) B ．(-4, 7)
C ．(-4, -7) 或(4, -7) D ．(4, -7) 或(-4, 7)
11 ．如图，点 A ，C 分别为上EBF 两边上的点， Ð ABC ，上EAC 的平分线BP ，AP 交于点 P，过点 P 分别作PM 丄 BE 于点 M，PN 丄 BF 于点 N，连接PC ，若AC = 12 ， AM = 8 ，则 CN 的长为( )
A ．10 B ．8 C ．6 D ．4
12 ．如图，在 △ABC 中，上BAC = 90° , AB = AC ，E、F 分别为AB 、AC 上的动点， 且CF = AE ，连接 CE ，BF ，当 CE + BF 取得最小值时，则CF : BE 的值为( )
A ．1:1 B ．2 :1 C ．1: 2 D ．1: 3
二、填空题
13 ．如图，在 △ABC 中，AD T BC ，AE 平分7BAC ，若 上1 = 30°, 上2 = 20° ,则
上B = ．
14 ．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB ，CD ．若 CDⅡBE ，上1 = 28° ,则 上2 的度数是 ．
15 ．如图，在 △ABC 中，上C = 90°, 上B = 15° ,边AB 的垂直平分线交BC 于点 D， 交AB 于点 E，连接AD ．若AC = 5 ，则 AD = ．
16 ．如图，在 △ABC 中，AB = AC ，D 为BC 上的一点，上BAD = 25° , 在AD 的右侧 作 △ADE ，使得AE = AD ，上DAE = 上BAC ，连接 CE 、DE ，DE 交AC 于点O ，若 CE Ⅱ AB ，则 上DOC 的度数为 ．
三、解答题
17 ．如图，在 △ABC 中，AD 是高，AE ，BF 是角平分线，它们相交于点 O， 上BAC = 50° , 上C = 62° . 求 ÐDAC 和上BOA 的度数．
18 ．如图，CD, CE 分别是 △ABC 的高和中线．
(1)若△ABC 的面积为84cm2 ，AB = 25cm ，求 CD 的长；
(2)若AC = 7cm ，BC = 24cm ，求 △BCE 与△ACE 的周长差．
19 ．如图，AB = AE ，BC = ED ，上B = 上E ，点 F 是边CD 的中点． 求证：
(1) △ABC≌△AED ；
(2) AF 丄 CD ．
20 ． △ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B、C 三点在格点上．
(1)作出△ABC 关于x 轴对称的△A1B1C1 ；
(2)直接写出点A1 、B1 、C1 关于x 轴对称的点的坐标．
21 ．已知：如图，AE 丄 AB ，AF 丄 AC ，AE = AB ，AF = AC ．EC 与AB 、BF 分别相 交于点D 、M ．
(1)求证：BF = CE ；
(2) BF 与CE 有怎样的位置关系？证明你的结论．
22 ．要求用尺规作图，画图必须用铅笔，不要求写作法，但要保留作图痕迹．
(1)如图。，已知点 M 在直线l 上，A，B 是直线l 外的两点，按照下面要求完成 作图：
①过点 M 作直线 l 的垂线；
@在已作出的垂线上确定一点 P，使得点 P 到A ，B 两点的距离相等．
(2)如图@，已知点 A 是锐角MON 内的一点，试分别在OM ，ON 上确定点 B、 点 C，使 △ABC 的周长最小．
23 ．已知 △ABC ，如果过 △ABC 任意一个顶点的直线能将 △ABC 分割成两个等腰三 角形，那么称该直线为 △ABC 的一条“等腰分割线”．
(1)如图 1 ，上C = 35°, 上A = 75° , 过点 A 的“等腰分割线”与BC 交于点 D，画出线段 AD ，并在图 1 中标出 Ð ADC 的度数；
(2)如图 2 ，上B = 20° , 若过点 C 能画出△ABC 的一条“等腰分割线”，则 Ð A 的度数 是 ；（提示：可利用图 2 试着画一画，算一算）
(3)若△ABC 是等腰三角形，且 △ABC 存在“等腰分割线”，请画出满足条件的任意 一种三角形，并标出该三角形三个角的度数．
24 ．【综合与实践】
【情境背景】小明是一位热爱数学和几何的探险家，有一天，他来到一个神秘的 岛屿，岛上有一个古老的遗迹，遗迹中有三个神秘的点 A 、B 、C，它们构成了 一个等腰直角三角形ABC ，其中 上ACB = 90°, AC = BC ．小明发现，这个三角形隐 藏着某种秘密，可能与岛上的宝藏有关．
【任务一】
（1）如图 1，小明在遗迹中发现了一条直线DE ，这条直线恰好经过点 C ．他测 量发现，AD 丄 DE, BE 丄 DE ．为了解开遗迹的第一个谜题，小明需要证明：AD = CE ， 且CD = BE ．则可通过求 △ACD≌△CBE 即可证明．请你尝试帮助小明写出证明过程；
【任务二】（2）如图 2，小明使用他的GPS 设备，确定了点 A 和点 C 的坐标．点 A 的坐标为(0, 2) ，点 C 的坐标为(1, 0) ．为了找到点 B 的坐标，可以借鉴任务一 的全等模型，构造全等三角形．请你帮小明计算出点 B 的坐标；
【任务三】（3）如图 3，在遗迹的另一个部分，小明又发现了另一个等腰直角三 角形，这次点 A 的坐标为(2,1) ，点 C 的坐标为(4, 2) ．小明猜测，这个三角形的 另一个顶点 B 的坐标可能与宝藏的位置有关．请你再次帮助小明，直接给出点 B 的坐标．
25 ．如图， △ABC 是等边三角形， AB = 10 ，AD 是边BC 上的高，点E 在边AD 上， 连接BE ，在其下方作 BF ，使BE = BF ，上BEF = 60° ,连接DF ，CF ，EF ．
(1)当△BDE 是等腰三角形时，上ABF = ° ;
(2)求证： △ABE≌△CBF ；
(3)求DF 的最小值；
(4)当△CDF 是等腰三角形时，直接写出上BDF 的度数．
1 ．C
【分析】本题考查了轴对称图形的概念， 解题的关键是掌握轴对称图形的定义（沿一条直线 折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形）．
根据轴对称图形的定义，逐一判断各选项图形是否能沿某条直线对折后完全重合．
【详解】A、无论沿哪条直线对折，直线两旁的部分都无法完全重合，不是轴对称图形．
B、无论沿哪条直线对折，直线两旁的部分都无法完全重合，不是轴对称图形．
C、存在一条竖直直线，沿该直线对折后，图形两部分能完全重合，是轴对称图形．
D、无论沿哪条直线对折，直线两旁的部分都无法完全重合，不是轴对称图形． 故选：C．
2 ．A
【分析】本题主要考查了三角形的重心，掌握三角形的重心是三角形三边中线的交点是解答 本题的关键．
依据 P 是△ABC 的重心，即可得到AD 是△ABC 的中线，进而得出△ABD 的面积等于△ABC 面积的一半．
【详解】解：∵P 是△ABC 的重心， : AD 是△ABC 的中线，
故选：A．
3 ．A
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质可得
上CBD = 上ADE = 70° ,进而根据三角形的外角的性质可得 上C = 上CBD - 上A ，即可求解．
【详解】解：∵ BC Ⅱ EF ， : 上CBD = 上ADE = 70° , ∵ 上A = 30° ,
: 上C = 上CBD - 上A = 70° - 30° = 40° , 故选：A．
4 ．A
【分析】本题考查了尺规作图， 角平分线，垂直平分线，三角形内角和定理，三角形外角的 性质，对顶角相等，根据三角形内角和定理求出上ABC = 80° , 由作图痕迹可得EF 垂直平分
AC ，BG 平分上ABC ，进而求出上GBC = 40° , 上CFH = 90° , 再利用三角形内角和定理求 出上CHG = 66° ,最后利用三角形外角的性质求出 上BGH = 26° ,利用对顶角相等即可得出 结果．
【详解】解：如图，
∵在△ABC 中，上A = 76° , 上C = 24° , : 上ABC = 180° - 上A - 上C = 80° ,
由作图痕迹可得EF 垂直平分AC ，BG 平分上ABC ， : 上上ABC = 40° , 上CFH = 90° ,
: 上CHG = 180° - 上C - 上CFH = 66° , : 上BGH = 上CHG - 上GBC = 26° ,
: 上1= 上BGH = 26° .
故选：A．
5 ．B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理（ SAS 、
ASA 、AAS ）是解题的关键．根据已知条件 AB = DB ， Ð 1 = Ð 2 ，得出 ÐDBE = Ð ABC ， 然后分别结合每个选项给出的条件，依据全等三角形的判定定理（SAS 、ASA 、AAS ）来 判断能否判定 △ABC≌△DBE ．
【详解】解：∵ Ð 1 = Ð 2
: Ð 1+ Ð ABE = Ð 2 + Ð ABE ，即 ÐDBE = Ð ABC 又∵ AB = DB
选项 A：∵ BC = BE ， Ð ABC = ÐDBE ，AB = DB : △ABC≌△DBE (SAS)，故 A 项不符合题意．
选项 B：虽然 AC = DE ，AB = DB ， Ð ABC = ÐDBE ，但这是“边边角”的情况，不能判定 两个三角形全等，故 B 项符合题意．
选项 C：∵ 7A = 7D ，AB = DB ， 7ABC = 7DBE : △ABC≌△DBE (ASA ) ，故 C 项不符合题意．
选项 D：∵ 7ACB = 7DEB ，AB = DB ， 7ABC = 7DBE : △ABC≌△DBE (AAS) ，故 D 项不符合题意．
故选：B．
6 ．B
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质 ．利用“HL ”证明Rt△DEB≌Rt△DFC 即可． 【详解】解：证明：QD 是BC 边的中点，
:DB = DC ，
又∵DE TAB ，DF TAC ， : 上BED = 上CFD = 90° ,
在Rt△DEB 和Rt△DFC 中，
= DC
= DF
í
lDE
ìDB
,
: Rt△DEB≌Rt△DFC(HL) ．
综上，顺序是 ④ → ③ → ① → ② .
故故选：B．
7 ．C
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，30 度角的性质．
根据等边对等角得到上B = 上C = 30° , 根据 30 度角的性质得到CD = 6 ，根据等角对等边得到 BD = AD = 3 ，进而可求 BC 的长．
【详解】∵ AB = AC, 上BAC = 120° ,
Q AC 丄 AD,
:上DAC = 90°
: CD = 2AD = 2 × 3 = 6 ，
∵ 上BAD = 上BAC - 上DAC = 120° - 90° = 30° , : 上B = 上BAD，
: BD = AD = 3 ，
: BC = CD + BD = 6 + 3 = 9 ．
故选：C．
8 ．A
【分析】本题考查了等腰三角形的性质（两腰相等、两底角相等） 及直角三角形的内角和性 质，解题的关键是分情况讨论等腰三角形是锐角三角形还是钝角三角形，避免因忽略高的位 置（在三角形内或外）导致漏解．
先明确等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60° , 需分两种情况：①等腰三角形为锐角 三角形时，高在三角形内部，此时可先求顶角，再结合内角和求底角；②等腰三角形为钝 角三角形时，高在三角形外部，此时先求顶角的补角，再确定顶角，最后求底角；再根据两 种情况的结果匹配选项．
【详解】解：分两种情况讨论：
情况 1：等腰三角形为锐角三角形（高在三角形内部）
设等腰三角形顶角为 Ð A ，底角为 上B = 上ACB ∵一腰上的高与另一腰夹角为60° ,
:顶角上A = 90° - 60° = 30°
∵三角形内角和为180° ,
:底角上B = 上ACB = (180° - 30° )÷ 2 = 75°
情况 2：等腰三角形为钝角三角形（高在三角形外部）
设等腰三角形顶角为 Ð A （钝角），底角为 上B = 上ACB ∵高在外部，高与另一腰夹角为60° ,
:顶角的补角= 90° - 60° = 30° ,即∠A = 180° - 30° = 150° :三角形内角和为180° ,
:底角上B = 上ACB = (180° -150° )÷ 2 = 15° 综上，底角为75° 或15° .
故选：A．
9 ．C
【分析】根据角平分线定义得出 上上EBC ，上上FCB ，根据三角形内角和 定理得出上A + 上ABC + 上ACB = 180° ,根据三角形外角性质得出
上DBC + 上DCB = 180° - 上D = 130° , 则 = 130° , 即可求解．
【详解】
解：Q BD 平分上EBC ，CD 平分上FCB ，
Q 上A + 上ABC + 上ACB = 180° ,
: 上DBC + 上DCB = 上EBC + 上FCB) = 上A + 上ACB + 上A + 上ABC) = 180° + 上A) ， : 上D = 50° ,
: 上DBC + 上DCB = 180° - 上D = 130° ,
: 上A = 80° .
故选：C．
10 ．C
【分析】本题考查了全等三角形．熟练掌握全等三角形性质，平面直角坐标系中两点之间的 水平距离和竖直距离，是解题的关键．
根据全等三角形性质，得AB = DC，BC = CB，AC = DB ，设D(x, y)，由
A (4, 0)，B (0, -2)，C (0, -5) ，得点 A 与 B 、C 的水平距离为 4，点 D 与点 C、B 的水平距离
为 x ，得
x = 4 ，解得x = 4 ，x = -4 ，A 与 B 的竖直距离为 2 ，C 与 D 的竖直距离为
y + 5 ，
令 y + 5 = 2 ，解方程，即得点 D 坐标． 【详解】解：∵△ABC≌△DCB ，
: AB = DC，BC = CB，AC = DB ， 设D(x, y)，
∵ A (4, 0)，B (0, -2)，C (0, -5) ，
:点A 与 B 、C 的水平距离为4 - 0 = 4 ，点 D 与 C、B 的水平距离为 x - 0 = x ， : x = 4 ，
: x = ±4 ，
: x = 4 ，x = -4 ，
∵A 与 B 的竖直距离为0 - (-2) = 2 ，C 与 D 的竖直距离为 -5 - y = y + 5 ， : y + 5 = 2 ，
: y + 5 = ±2 ，
: y= - 3 ，或 y = -7 ，
∵ y= - 3 在 B 、C 的纵坐标之间， :不合，舍去，
:满足条件的点D 坐标是(-4, -7) 或(4, -7) ．
故选：C．
11 ．D
【分析】此题重点考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识， 正确地作出辅助 线构造全等三角形是解题的关键．作PF 丄 AC 于点 F，由BP 平分7ABC 、AP 平分上EAC ，
且PM 丄 BE 于点 M，PN 丄 BF 于点 N，得PM = PN ，PM = PF ，所以 PN = PF ，则 CP 平 分 上ACF ，再证明 △ AMP ≥ △ AFP ，同理 △ CNP ≥ △ CFP ，所以 AM = AF ， CN = CF ， 由AM + CN = AF + CF = AC 可算出CN 的长度．
【详解】解：作 PF 丄 AC 于点 F，
: Ð ABC 、上EAC 的角平分线BP 、AP 交于点 P ，PM 丄 BE 于点 M，PN 丄 BF 于点 N， : PM = PN ，PM = PF ，上AMP = 上AFP = 上CNP = 上CFP = 90° ,
: PN = PF ，
:点 P 在上ACF 的平分线上， : CP 平分上ACF ，
在 △AMP 和 △AFP 中，
: △AMP≌△AFP (AAS ) ， 同理 △CNP≌△CFP (AAS )， : AM = AF ，CN = CF ， : AM + CN = AF + CF ，
: AF + CF = AC ，AC = 12 ，AM = 8 ， : CN = AC - AM = 12 - 8 = 4 ．
故选：D．
12 ．A
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，过点 C 作 CN 丄 AC ，使得 CN = AC ， 连接FN ，BN ，BN 交AC 于点 M，证明 △CAE≌△NCF ，得CE + BF = NF + BF ，当B、F、N 三点共线时 BF + CE 的值最小，再证明 △ABM≌△CNF ，得 CM = AM ，进而可得 CF = BE ，
即可求解．
【详解】解： 如图，过点 C 作CN 丄 AC ，使得CN = AC ，连接FN ，BN ，BN 交AC 于点
M，
在 △CAE 和△NCF 中，
: △CAE≌△NCF (SAS ) ， : NF = CE ，
: CE + BF = NF + BF ， : NF + BF ≥ BN ，
:当B、F、N 三点共线时，NF + BF 有最小值，最小值为线段BN 的长，且此时点 F 与点 M 重合，
: 上ACN = 上A = 90° , : AB ⅡCN ，
: 上ABM = 上CNM ，
又: AB = AC ，AC = CN ， : AB = CN ，
在 △ABM 和 △CNM 中，
: △ABM≌△CNM (ASA)，
即此时 : AB = AC，BE = AB - AE
:此时CF : BE = 1:1．
故选：A．
13 ．50°
【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，根据角平分线，求出 ÐBAC 的 度数，根据三角形的内角和定理求出 Ð C 的度数，再根据三角形的内角和定理求出ÐB 的度 数即可．
【详解】解: ∵ AE 平分 ÐBAC ，
: 上BAC = 2上1 = 60° , ∵ AD 丄 BC ，
: 上ADC = 90° ,
: 上C = 90° - 上2 = 70° ,
: 上B = 180° - 上BAC - 上C = 50° ;
故答案为：50° .
14 ．56°
【分析】由折叠的性质和平行线的性质求得上4 = 56° , 进而求得上EBD = 124° , 再根据平行 线的性质求解即可．
【详解】解：如图，由折叠的性质，可得 上3= 上1 = 28° ,
: 上4 = 上1+ 上3 = 56° , ∵ ACⅡBD ，
: 上EBD = 180° - 上4 = 124° , 又∵CDⅡBE ，
: 上2 = 180° - 上EBD = 180° -124° = 56° . 故答案为：56° .
15 ．10
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、三角形外角的性质、含30° 角的直角三角 形、等边对等角等知识点， 掌握垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等是解题的关 键．
由线段垂直平分线的性质可得AD = BD ，由等边对等角和三角形外角的性质求得上ADC = 30° , 再根据含30° 角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵边AB 的垂直平分线交BC 于点 D， : AD = BD ，
:上BAD = 上B = 15° ,
:上ADC = 上BAD + 上B = 30° ,
又∵在△ABC 中，上C = 90° , AC = 5 ，
: AD = 2AC = 10 ．
故答案为：10． 16 ．95° ##95 度
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质， 等边三角形的判定和性质，理解等边三 角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
先证明上CAE = 上BAD ，进而可依据“SAS ”判定△ACE 和△ABD 全等，则上ACE = 上B ，再 根据CE Ⅱ AB 得上ACE = 上BAC ，则上B = 上BAC ，进而得BC = AC ，由此可判定△ABC 是 等边三角形，则上DAE = 上BAC = 60° , 从而得△ADE 是等边三角形，则上ADE = 60° , 再求 出上DAC = 35° 即可得出上DOC 的度数．
【详解】解：Q 上DAE = 上BAC ，
:上DAC + 上CAE = 上BAD + 上DAC ，
:上CAE = 上BAD ，
在△ACE 和△ABD 中，
: △ACE≌△ABD(SAS) ，
:上ACE = 上B ，
Q CE Ⅱ AB ，
:上ACE = 上BAC ，
:上B = 上BAC ，
:BC = AC ，
: AB = AC = BC ，
: △ABC 是等边三角形， :上DAE = 上BAC = 60° ,
Q AE = AD ，
: △ADE 是等边三角形，
:上ADE = 60° ,
Q 上BAD = 25° ,
:上DAC = 上BAC - 上BAD = 35° ,
:上DOC = 上DAC + 上ADE = 95° .
故答案为：95° .
17 ．上DAC = 28° ；上BOA = 121°
【分析】本题考查了三角形的内角和定理， 外角的性质，高线、角平分线的定义， 熟记定义 并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．根据三角形的内角和定理，高线、 角平分线的定义，进行解答即可．
【详解】解：∵在△ABC 中，AD 是高， : 上ADC = 90° ,
∵在 △ACD 中，上C = 62° , : 上DAC = 90° - 62° = 28° ,
∵在△ABC 中，上BAC = 50° , 上C = 62° , : 上ABC = 180° - 50° - 62° = 68° ,
∵在△ABC 中， AE ，BF 是角平分线，
:上EAB = 上BAC = 25° , 上FBA = 上ABC = 34° , : 上BOA = 180° - 上EAB - 上FBA = 121° .
18 ．(1) 6.72cm
(2)17cm
【分析】本题主要考查三角形高、中线的计算，掌握高的定义，中线的定义是关键．
（1）根据三角形的面积公式计算即可；
（2）根据中线得到 AE = BE ，分别表示出 △ACE 的周长， △BCE 的周长，列式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，CD 丄 AB ，AB = 25cm ，S△
（2）解：: CE 是 △ABC 的中线， : AE = BE ，
: △ACE 的周长= AC + AE + CE ， △BCE 的周长= BC + BE + CE ，
: △BCE 的周长减去 △ACE 的周长表示为= (BC + BE + CE ) - (AC + AE + CE )
= BC - AC
= 24 - 7
= 17 (cm)，
: △BCE 与△ACE 的周长差为17cm ．
19 ．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰三角形三线合一的性质；
（1）根据SAS 证明 △ABC≌△AED 即可；
（2）根据全等三角形的性质得出 AC = AD ，进而利用等腰三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：在 △ABC 与 △AED 中，
:△ABC≌△AED (SAS) ；
（2）由（1）可知， △ABC≌△AED ， : AC = AD ，
Q 点F 是边CD 的中点，
: AF 丄 CD ．
20 ．(1)作图见解析；
(2)A(2, 4) 、B (1,1) 、C (3, 2)．
【分析】本题考查了利用轴对称变换作图， 解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质，并
据此得出变换后的对应点．
（1）先作出 △ABC 中各点关于x 轴的对称点，再顺次连接即可；
（2 ）由点A1 、B1 、C1 关于x 轴对称的点即为A ，B ，C ，然后通过平面直角坐标系直接写 出坐标即可．
【详解】（1）解：如图， △A1B1C1 即为所求；
（2）解：由点 A1 、B1 、C1 关于x 轴对称的点即为A ，B ，C ，根据图可知，A (2, 4) 、 B (1,1) 、C (3, 2)．
21 ．(1)证明见解析
(2) EC 丄 BF ，证明见解析
【分析】（1）先由条件可以得出上EAC = 上BAF ，再证明 △EAC≌△BAF (SAS) ，即可得出结 论；
（2）由全等三角形的性质得到 上AEC = 上ABF ，再证明∠EAB = 上EMB = 90°,即可求出； 本题考查全等三角形的判定与性质，垂线的定义，三角形内角和定理．
【详解】（1）证明：∵ AE 丄 AB ，AF 丄 AC ， :∠CAF = 上EAB = 90° ,
:∠CAF + ∠ BAC = 上EAB + ∠ BAC，
: 上EAC = 上BAF ，
在 △EAC 和△BAF 中，
: △EAC≌△BAF (SAS)， : BF = CE ；
（2）解：BF 与CE 的位置关系为EC 丄 BF ，
证明:: △EAC≌△BAF (SAS)， : 上AEC = 上ABF ，
又:上ADE = 上BDM ，
: 上AEC + 上ADE = 上ABF + 上BDM ， :∠EAB = 上EMB = 90° ,
: EC 丄 BF ．
22 ．(1)。见解析；②见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了复杂作图，掌握相关作图方法是解题的关键．
（1）。根据过直线上一点作已知直线的垂线的作法作图；
②作线段AB 的垂直平分线即可；
（2）分别过 A 作OM ，ON 的对称点，再连接两个对称点与OM ，ON 的交点即可． 【详解】（1）解：如图示；
（2）解：分别作点 A 关于OM ，ON 的对称点A¢, A'' ；连接A¢, A'' ，分别交OM ，ON 于点
B、点 C，则点 B、点 C 即为所求．
如图所示；此时 △ABC 的周长= AB + AC + BC = A¢B + A¢¢C + BC = A¢A¢¢ 最小．
23 ．(1)见解析；
(2) 40°
(3)见解析．
【分析】本题考查等腰三角形．
（1）以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，交BC 于点D ，连接AD 即可，根据三角形的内角 和，结合等腰三角形的两个底角相等，计算可得上ADC 的度数；
（2）根据“等腰分割线”的定义画图，由三角形的内角和，结合等腰三角形的两个底角相等， 计算可得上A 的度数；
（3）根据等腰三角形的定义，结合“等腰分割线”画图即可．
【详解】（1）解：如图，以点 A 为圆心，AB 长为半径画弧，交BC 于点D ，连接 AD ．
∵ 上C = 35° , 上BAC = 75° ,
: 上ABC = 180° - 35° - 75° = 70° , ∵ AD = AB ，
: 上ADB = 上B = 70° ,
: 上ADC = 180° - 70° = 110° ,
: 上DAC = 180° - 上C - 上ADC = 35° , : 上DAC = 上C ,
: AD = CD ，
: △ABD ， △ACD 都是等腰三角形．
（2）解： ① 以点C 为圆心，CA 长为半径画弧，交AB 于点E ，连接 CE ，则 CE 为△ABC
的一条“等腰分割线” ， : EC = EB ，CE = CA ，
: 上ECB = 上B = 20° , 上CEA = 上A ， : 上BEC = 180° - 20° - 20° = 140° , : 上AEC = 180° -140° = 40° ,
: 上A = 40° ,
② 以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交AB 于点F ，连接CF ，则CF 为△ABC 的一条“等 腰分割线”，
: BF = BC ，FA = FC ，
: 上BFC = 上BCF ，上FAC = 上FCA ， : 上B = 20° ,
: 上AFC = 180° - 80° = 100° ,
故答案为：40° .
（3）解：如图，等腰直角三角形 ABC ，存在“等腰分割线”．
取AC 的中点记为K ，连接BK ，则 △KAB 和 △KBC 都是等腰三角形，所以BK 是△ABC 的“等 腰分割线”．
24 ．（1）见解析（2）B (3, 1) （3）B (3, 4)
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，坐标与图形，熟练掌握一线三直角全等模型，
是解题的关键：
（1）AAS 证明 △ACD≌△CBE 即可；
（2）作 BD 丄 x 轴，证明 △AOC≌△CDB，即可得出结果；
（3）过点C 作直线l 丄 x 轴，交x 轴于点F ，作 AD 丄 l, BE 丄 l ，证明△ADC ≌△CEB ，进 而求出点B 的坐标即可．
【详解】解：（1）∵ AD 丄 DE, BE 丄 DE ，
: 上D = 上E = 90° ,
: 上ACD + 上DAC = 90° , ∵ 上ACB = 90° ,
: 上ACD + 上BCE = 90° , : 上CAD = 上BCE ，
又∵ AC = BC ，
: △ACD≌△CBE ，
: AD = CE ，CD = BE ；
（2）作 BD 丄 x 轴，则上BDC = 上AOC = 90° , ∵点 A 的坐标为(0, 2) ，点 C 的坐标为(1, 0) ， : OA = 2, OC = 1，
同（1）理可证： △AOC≌△CDB ，
: CD = OA = 2, BD = OC = 1 ， : OD = OC + CD = 3 ，
: B (3,1) ；
（3）过点C 作直线l 丄 x 轴，交x 轴于点F ，作 AD 丄 l, BE 丄 l ，
∵点 A 的坐标为(2,1) ，点 C 的坐标为(4, 2)， : AD = 4 - 2 = 2, CD = 2 -1 = 1，
同（1）理可证： △ADC ≌ △CEB ， : BE = CD = 1, CE = AD = 2 ，
: B (4 -1, 2 + 2) ，即：B (3, 4) ．
25 ．(1) 75 ；
(2)见解析
(4) 上BDF 的大小为150° 或105° 或60°
【分析】（1）根据等边三角形性质得到上ABC = 上EBF = 60° , 根据上BDE = 90° , △BDE 是 等腰三角形，得上EBD = 45° ,得 上ABF = 上ABC + 上EBF - 上EBD = 75° .
（2）根据等边三角形性质得 AB = BC ，BE = BF ，上ABE = 上CBF ，得△ABE≌△CBF ．
（3）根据等边三角形性质得到BC = 10 ，上BAC = 60° , 根据AD 丄 BC ，得CD = 5 ，上BAD = 30° , 根据全等三角形性质得上BCF = 30° ,得当 DF 丄 CF 时，DF 最小，值为 ．
（4）根据△CDF 是等腰三角形，其中上BCF = 30° , 若FD = FC ，则上CDF = 上DCF = 30° , 得上BDF = 150° ；若 CD = CF ，则 上CDF = 75° ,得 上BDF = 105° ；若 DC = DF ，则
上CFD = 上DCF = 30° ,得 上BDF = 60° .
【详解】（1）解：由题意可知 BE = BF ，上BEF = 60° , :△BEF 为等边三角形，
又Q△ABC 是等边三角形， :上ABC = 上EBF = 60° .
Q AD 是边BC 上的高，
: AD 丄 BC ，
:上BDE = 90° .
Q△BDE 是等腰三角形，
:DB = DE ．
:上ABF = 上ABC + 上EBF - 上EBD = 60° + 60° - 45° = 75° . 故答案为：75 ；
（2）证明：Q BE = BF ，上BEF = 60 ， :△BEF 是等边三角形，
Q△ABC 是等边三角形，
:AB = BC ，上ABE + 上EBC = 60° , BE = BF ，上CBF + 上EBC = 60° , :上ABE = 上CBF ．
在 △ABE 和△CBF 中 上CBF ， :△ABE≌△CBF (SAS ) ；
（3）解：Q△ABC 是等边三角形，
: AB = BC = 10 ，上BAC = 60° .
Q AD 丄 BC ，
由（2）知△ABE≌△CBF ，
:上BCF = 上BAE = 30° .
: 当DF 丄 CF 时，DF 最小， 最小值为
（4）解：上BDF 的大小为150° 或105° 或60° ; 理由如下：
当 △CDF 是等腰三角形时， 分三种情况讨论：
FD = FC 时，
Q 上BCF = 30° ,
:上CDF = 上DCF = 30° ,
:上BDF = 180° - 上CDF = 150° , CD = CF 时，
则上 = 75° , :上BDF = 180° - 上CDF = 105° ,
DC = DF 时，
则上CFD = 上DCF = 30° .
:上BDF = 上DCF + 上CFD = 60° .
综上，上BDF 的大小为150° 或105° 或60° .
【点睛】本题主要考查了等边三角形和全等三角形．熟练掌握等边三角形性质，等腰三角形 性质，全等三角形判定和性质，含30 度直角三角形的判定和性质，分类讨论，是解决问题 的关键．