江苏省如东县第一高级中学、宿迁市第一高级中学、徐州高级中学2025-2026学年高二上学期10月阶段性联考数学试卷（月考）

这是一份江苏省如东县第一高级中学、宿迁市第一高级中学、徐州高级中学2025-2026学年高二上学期10月阶段性联考数学试卷（月考），文件包含高二数学试卷docx、高二数学答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共16页， 欢迎下载使用。
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷满分 150 分，考试时间为 150 分钟。考试结束后，请将答题卡交回。
2.答题前，请将自己的姓名、考试号（智学号）用 0.5 毫米黑色签字笔填涂在答题卡指定的位置。
3.选择题答案用 2B 铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑，非选择题用 0.5mm 的黑色签字笔在
每题对应的答题区域内做答，在其他位置作答一律无效。
4.如需左图，必须用 2B 铅笔绘、写清楚。线条、符号等须加黑、加粗。
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.每小题的四个选项中，只有一个选项
符合题目要求）
1. 已知直线过点 ，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】直线过点 ，则直线的斜率为 ，
设直线的倾斜角为 ，所以 ，
所以直线的倾斜角为 .
故选：B.
2. 已知直线 与 平行，则实数 的值为（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】因为直线 与 平行，所以 ，得 .
故选：D
3. 已知三角形的三个顶点 ， ， ，则 边上中线的长为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】设 的中点为 ，由中点坐标公式得 ，所以 ，
所以 ．
故选：A.
4. 若圆 上到直线 的距离为 1 的点有且仅有 2 个，则 r 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由圆 ，圆心为 ，半径为 ，
则圆心 到直线 的距离为 ，
因为圆上的点到直线的距离为 1 的点有且仅有 2 个，
所以 ，则 ，解得 ，
即 r 的取值范围是 .
故选：B.
5．方程 的化简结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】方程的几何意义为动点 到定点 和 的距离和为 10，并且 ，
所以动点的轨迹为以两个定点为焦点，定值为 的椭圆，所以 ， ，
根据 ，所以椭圆方程为 .
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故选：C.
6. 若方程 表示圆，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为方程 可变形为 ，
由题知 ，得到 ，
故选：C.
7. 已知实数 满足 ，则 的最大值是（ ）
A． B．4 C．7 D．
【答案】D
【详解】法一：令 ，则 ，
代入原式化简得 ，
因为存在实数 ，则 ，即 ，
化简得 ，解得 ，
故 的最大值是 ，
法二： ，整理得 ，
令 ， ，其中 ，
则 ，
，所以 ，则 ，即 时， 取得最大值 ，
法三：由 可得 ，
设 ，则圆心到直线 的距离 ，
解得
故选：D
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8. ．已知直线 和直线 ，点 M，N 分别是直线 和 上的点，
点 ，则 周长的最小值是（ ）
A．4 B．6 C．9 D．12
【答案】B
【详解】设 关于直线 的对称点 ，
则 ，解得 ，即 ,
设 关于直线 的对称点 ，
则 ，解得 ，即 ,
所以 ，当且仅当
共线时取等号．
故选：B．
二､多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题的四个选项中，有多个选项符
合题目要求.全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的或不选不得分）
9. ．已知直线 ，直线 ，则下列命题正确的有（ ）
A．直线 恒过点 B．存在 m 使得直线 的倾斜角为 90°
C．若 ，则 或 D．存在实数 m 使得
【答案】ABD
【详解】A：将点 代入直线 中，等号成立，所以直线 恒过点 ，
故 A 正确；
B：当 时，直线 的斜率不存在，即倾斜角为 90°，故 B 正确；
C：当 时， 解得 ，故 C 错误；
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D：当 时， ， ，此时 ，故 D 正确．
故选：ABD．
10. 已知圆 和圆 相交于 两点，则下列结论正确
的是（ ）
A．两圆相交 B．直线 的方程为
C．两圆有两条公切线 D．线段 的长为
【答案】ACD
【详解】对于 AC，圆 的圆心是 ，半径为 2；圆 的圆心是 ，半径为 1，
圆心距为 ，所以两圆相交，公切线有两条．故 AC 正确；
对于 B，将两圆方程相减，整理得 ．故 B 不正确；
对于 D，点 到直线 的距离为 ，
所以 ．故 D 正确.
故选：ACD
11. 已知直线 ： ，若 ， ， 能围成正三角形，则该正
三角形的面积的值可能为( )
【答案】AD
【详解】根据题意原点到直线 的距离 ，
∴直线 为圆 的切线，如图，
设正三角形边长为 ，如图 时,
∴ ，解得 ，
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即 ；
如图 时， .
故答案为： 或 . 所以选 AD
三､填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 两条平行直线 ＝ 与 ＝ 的距离是 .
【答案】
【解析】将直线 ＝ 化为 ，再根据平行线间距离公式即可求解.
【详解】可将直线 ＝ 化为 ，
所以两条平行直线间的距离为 .
故答案为： .
13. 已知椭圆 的一个焦点坐标为 ，则 的值为
A. 1 B. 3 C. 9 D. 81
【答案】1
【解析】
【详解】由椭圆 的一个焦点坐标为 ，则半焦距 c=2，
于是得 ，解得 ，
所以 的值为 1.
14. 已知直线 和圆 .若 是直线 上的动点，过 作圆
的一条切线，切点为 ，则 的最小值为 .
【答案】
【详解】由圆 ，得 ，
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故圆心 ，半径 ，
又已知直线 ，点 在直线 上，设点 ，
则 ，
由圆的切线性质可得，
，
当且仅当 时， 取得最小值，最小值为 .
故答案为：
四､解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答题应写出文字说明和证明过程）
15. 已知 ， 分别是椭圆 C： （ ）的左、右焦点，P 为 C 上一点.
(1)若 ，点 P 的坐标为 ，求椭圆 C 的标准方程；
(2)若 ， 的面积为 4，求 b 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）已知 可求出 ，点 坐标可代入椭圆方程求出 ，进而求出 ；
（2）得到椭圆标准方程根据 ，利用三角形面积公式 和椭圆定
义 以及勾股定理 来求解 的值.
【详解】（1）已知 ，因为 ，所以 .点 在椭圆上，将其代入椭
圆方程 ，可得 ，即 ，解得 .
又因为 ， ， ，所以 .
所以椭圆 的标准方程为 .
（2）因为 ，所以 的面积 ，则 .根据椭
圆定义， .
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由勾股定理可得 .
又 ，即 .
在椭圆中有 ，将 变形为 ，即 ，解得 .
16. 已知直线 .
(1)求经过点 且与直线 垂直的直线方程；
(2)求经过直线 与 的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程.
【答案】(1)
(2) 或
【详解】（1）由直线 可得斜率为 ，
所以根据垂直关系可设所求直线方程为 ，
则依题意有 ，解得 ，
所以所求直线方程为 ，整理得 ；
（2）联立 ，解得 ，即直线 与 的交点为 ，
当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为 ，
代入 得 ，此时 ；
当直线的截距都不为 0 时，设直线方程为 ，
依题意 ，解得 ，此时直线方程为 ，
综上所述：所求直线方程为 或 .
17. 已知圆 C 过 ， ，且圆心 C 在 x 轴上.
(1)求圆 C 的周长；
(2)若直线 过点 ，且被圆 C 截得的弦长为 ，求直线 的方程；
【答案】(1)
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(2) 或
【详解】（1）由圆心 C 在 x 轴上，设圆的方程为 ，
又圆 C 过 ， 得 ，
解得 ， ，所以圆的方程为 ，
其周长为 ；
（2）因为直线与圆 C 截得的弦长为 ，
所以圆心 C 到直线 的距离为 ，
①若直线 的斜率不存在时，直线 与圆 C 交点为 ，
直线与圆 C 截得的弦长为 ，故直线 符合题意；
②若直线 斜率存在时，设 ，整理得 ，
所以圆心 C 到直线 的距离为 ，解得 ，
则直线 ，即直线 ，
综上所述，直线 的方程为 或 ；
18. VEX 亚洲机器人比赛是全球两大机器人赛事之一.如图所示，在某次比赛中，主办方设
计了一个矩形坐标场地（包含边界和内部， 为坐标原点）， 长 12 米， 长 5 米.在
处有一只电子狗，在 边上距离 点 米的 点处放置机器人，电子狗的运动速度是机器
人运动速度的两倍.若电子狗和机器人从起始位置同时出发，在场地内沿直线方向同时达到
某点 ，那么电子狗被机器人捕获，称点 为成功点.
(1)求成功点 的轨迹方程；
(2)为了记录比赛情况，摄影机从 边上某点 处沿直线方向
往 点运动，要求直线 与点 的轨迹没有公共点，求点 纵
坐标 的取值范围.
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【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：设 ， ，机器人运动速度为 ，
由题意可得 ，化简得 .
由于点 在矩形场地内，则 .
所以成功点 的轨迹方程为 .
（2）解：由题意可知直线 的斜率存在，不妨设直线 ： ，
直线 与点 的轨迹没有公共点，
由直线与圆的位置关系可得 ，解得 .
则点 纵坐标 ，
又因为 ，所以 .
19. 定义：M 是圆 C 上一动点，N 是圆 C 外一点，记 的最大值为 m， 的最小值为
n，若 ，则称 N 为圆 C 的“黄金点”；若 G 同时是圆 E 和圆 F 的“黄金点”，则称 G 为圆
“ ”的“钻石点”.已知圆 A： ，P 为圆 A 的“黄金点”
(1)求点 P 所在曲线的方程.
(2)已知圆 B： ，P，Q 均为圆“ ”的“钻石点”.
（ⅰ）求直线 的方程.
（ⅱ）若圆 H 是以线段 为直径的圆，直线 l： 与圆 H 交于 两点，对于任意
的实数 k，在 y 轴上是否存在一点 W，使得 y 轴平分 ？若存在，求出点 W 的坐标；若
不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)（ⅰ） （ⅱ）存在，
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【详解】（1）因为点 P 为圆 A 的“黄金点”，
所以 ，即 ，
所以点 P 的轨迹是以 A 为圆心， 为半径的圆，
故点 P 所在曲线的方程为
（2）（ⅰ）因为 P 为圆 B 的“黄金点”，则
所以 ，即点 P 在圆 上，
则 P 是圆 和 的交点.
因为 P，Q 均为圆“ ”的“钻石点”，
所以直线 即为圆 和 的公共弦所在直线，两圆方程
相减可得 ，
故直线 的方程为 .
( ii )设 的圆心为 ，半径为 ，
的圆心为 ，半径为 .
直线 的方程为 ，得 的中点坐标为 ，
点 S 到直线 的距离为 ，
则 ，所以圆 H 的方程为 .
假设 轴上存在点 满足题意，设 ，
.
若 轴平分 ，则 ，即 ，
整理得
又 ，所以代入上式可得 ，
整理得 ①，
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由 可得 ，
所以 ，代入①并整理得 ，
此式对任意的 都成立，所以 .
故 轴上存在点 ，使得 轴平分 .
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