2025-2026学年广东省中山市纪雅学校九年级（上）开学数学试卷-自定义类型

这是一份2025-2026学年广东省中山市纪雅学校九年级（上）开学数学试卷-自定义类型，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A. B. ax2+bx+c=0C. x2+1=0D. x2+x=x2
2.已知函数y=（m+3）x2+1是二次函数，则m的取值范围为（ ）
A. m＞-3B. m＜-3C. m≠-3D. 任意实数
3.若x=-2是关于x的一元二次方程x2-kx+k+2=0的一个根，则k的值为（ ）
A. -2B. 2C. D. 6
4.将抛物线y=x2先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到新的物解析式为（ ）
A. y=（x+2)​​​​​​​2+4B. y=（x+2)​​​​​​​2-4
C. y=（x-2)​​​​​​​2+4D. y=（x-2)​​​​​​​2-4
5.新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具，据某品牌新能源汽车经销商1月至3月份统计，该品牌新能源汽车1月份销售1000辆，3月份销售1210辆.设月平均增长率为x,根据题意，下列方程正确的是（ ）
A. 1210（1-x）2=1000B. 1000（1+x）2=1210
C. 1000（1+2x）=1210D. 1210（1-2x）=1000
6.若方程x2-2x-4=0的两个实数根为x1、x2，则（x1-1）（x2-1）值为（ ）
A. -5B. 3C. 7D. 9
7.已知A（-3，y1），B（2，y2），C（-1，y3）是二次函数y=x2-4x+2k的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A. y1＞y3＞y2B. y2＞y1＞y3C. y2＞y3＞y1D. y1＞y2＞y3
8.函数y=ax+1与y=ax2+bx+1（a≠0）的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
9.已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中．下列说法：①若a+b+c=0，则b2-4ac≥0；②若方程两根为-1和2，则2a+c=0；③若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；④若b=2a+3c，则方程有两个不相等的实根．其中结论正确的有（ ）个．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
10.如图，在直角坐标系中，点A（0，a2+a）和点B（0，-a-2）在y轴上，点M在x轴负半轴上，S△ABM=2，当线段OM最长时，点M的坐标为（ ）
A. （-2，0）
B. （-3，0）
C. （-4，0）
D. （-5，0）
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.将一元二次方程3x2-6x=4化成一般式为 .
12.若关于x的一元二次方程x2+（b+1）x+4=0有两个相等的实数根，则常数b的值______．
13.已知二次函数y=x2+bx+3的对称轴为x=2，则b=______．
14.二次函数y=x2-x-2的图象如图所示，则函数值y＜0时，x的取值范围是______．
15.如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为直线x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（-1，0），则以下结论：①abc＞0；②二次函数的最大值为a+b+c；③a-b+c＜0；④b2-4ac＜0；⑤2a+b=0；⑥a+b≥m（am+b）（m为实数）；其中正确有 （填序号）.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题7分)
解方程：
（1）x2-7x+12=0；
（2）（x-1）2-（x-1）=0.
17.(本小题7分)
已知二次函数图象的顶点坐标为（1，4），且经过点（4，-5）.
（1）求该二次函数表达式；
（2）直接写出y随x的增大而减小时，x的取值范围.
18.(本小题7分)
在2025年跳水世界杯女子十米台单人赛中，中国队包揽冠亚军，某商场为宣传体育精神，计划在如图所示的长36dm,宽12dm的矩形海报上分别展示全红婵和陈芋汐两位运动健儿的照片，每幅小矩形照片（铺灰部分）的面积均为165dm2，若海报外沿与照片之间及相邻照片之间的空白区域的宽度均相等，求空白区域的宽度.
19.(本小题9分)
已知关于x的一元二次方程ax2+（2+2a）x+a+2=0（a≠0）.
（1）求证：此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的两个根都为整数，求整数a的值.
20.(本小题9分)
浩然文具店新到一种计算器，进价为25元，营销时发现：当销售单价定为30元时，每天的销售量为150件，若销售单价每上涨1元，每天的销售量就会减少10件.
（1）写出商店销售这种计算器，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大值是多少？
21.(本小题9分)
如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm,BC=8cm,点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.如果P，Q分别从A，B同时出发.
（1）经过几s,使△PBQ的面积等于8cm2？
（2）线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由.
22.(本小题13分)
【综合与实践】数学来源于生活，同时数学也可以服务于生活.
【知识背景】如图，校园中有两面直角围墙，墙角内的P处有一古棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m,在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=x m.
【方案设计】设计一个矩形花园，使之面积最大，且要将古棵树P围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）.
【解决问题】思路：把矩形ABCD的面积S与边长x（即AB的长）的函数解析式求出，并利用函数的性质来求面积的最大值即可.
（1）请用含有x的代数式表示BC的长；
（2）花园的面积能否为192m2？若能，求出x的值，若不能，请说明理由；
（3）求面积S与x的函数解析式，写出x的取值范围；并求当x为何值时，花园面积S最大？
23.(本小题14分)
综合与实践：根据以下素材，分析问题，探索解决问题.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】D
10.【答案】C
11.【答案】3x2-6x-4=0
12.【答案】b=3或-5
13.【答案】-4
14.【答案】-1＜x＜2
15.【答案】②⑤⑥
16.【答案】解：（1）x2-7x+12=0，
（x-3）（x-4）=0，
则x-3=0或x-4=0，
所以x1=3，x2=4．
（2）（x-1）2-（x-1）=0，
（x-1）（x-1-1）=0，
（x-1）（x-2）=0，
则x-1=0或x-2=0，
所以x1=1，x2=2．
17.【答案】y=-（x-1）2+4；
x＞1
18.【答案】空白区域的宽度为1dm．
19.【答案】证明：（1）Δ=（2+2a）2-4a（a+2）=4+8a+4a2-4a2-8a=4．
∵Δ=4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）∵ax2+（2+2a）x+a+2=（x+1）（ax+a+2）=0，
∴x1=-1，x2=-=-1-．
∵方程的根均为整数，
∴a=±1或a=±2．
20.【答案】w=-10x2+700x-11250；
单价为35元时，每天的利润最大，最大利润是1000元
21.【答案】解：（1）设运动时间为t s（0≤t≤4），则BP=（6-t）cm,BQ=2t cm,
依题意得：×2t（6-t）=8，
整理得：t2-6t+8=0，
解得：t1=2，t2=4．
答：经过2s或4s,使△PBQ的面积等于8cm2．
（2）线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分，理由如下：
设运动时间为x s（0≤x≤4），则BP=（6-x）cm,BQ=2x cm,
依题意得：×2x（6-x）=××6×8，
整理得：x2-6x+12=0．
∵Δ=（-6）2-4×1×12=-12＜0，
∴该方程无实数根，
即线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分．
22.【答案】解：（1）由题意，AB=x m,
∴BC=（28-x）m.
（2）∵AB=x,则 BC=（28-x），
∴x（28-x）=192，
解得：x=12或x=16 （由于树与墙CD为15m,从而x=16不合题意，舍去），
∴花园的面积可等于192m2，此时x的值为12 m.
（3）①S=x（28-x）=-x2+28x=-（x-14）2+196．
∵在点P与CD，AD的距离分别是15m和6m,
∴28-15=13．
∴6≤x≤13．
∴面积S与x的函数解析式为：S=（x-14）2+196（6≤x≤13）．
②∵-1＜0，抛物线的开口向下，对称轴为直线x=14，
∴当6≤x≤13时，S随x的增大而增大．
∴当x=13时，S取到最大值=-（13-14）2+196=195，
即当x=13m时，花园面积S最大，最大值为195m2．
23.【答案】解：（1）设CF的长度为x m,
由题意得：，
解得：x1=20，x2=45，
由题意可得CF的长度应小于AB的长度，
即x＜25，
则x=45应舍去，只取x=20，
即方案一中在墙AB上借用的CF的长度为20m；
（2）设BF的长度为y m,
那么，
由题意得：，
整理得：y2+5y-50=0，
解得：y1=5，y2=-10（舍去），
即求方案二中BF的长为5m；
（3）由（1）可得CF=20m,，
则；
∵AF=5+25=30（m），，
则；
那么0.5更接近0.6
故该酒店应选择方案二． 如何设计建造花园？
提出问题
某高端酒店准备打造一个面积为450m2的长方形花园，现有墙AB长25m,篱笆长65m的（全部用于建造花园），设计公司为酒店提供了两种方案，请通过计算帮助酒店作出合理决策.
决策依据
长方形的宽与长的长度之比越接近黄金比越美观，黄金比约为0.6.
方案一
如图，选取境AB的一部分作为长方形的一边，其他三边用篱笆围成.
方案二
如图，将墙AB全部借用，并在墙AB的延长线上拓展BF，构成长方形ADEF，其中BF，FE，ED和DA都由篱笆构成.
问题解决
（1）求方某一中在墙AB上借用的CF的长度.
（2）求方案二中BF的长.
（3）根据计算结果，请为该酒店作出合理的决策