2024-2025学年吉林省长春市九年级上册9月第一次考试数学检测试卷【含答案】

这是一份2024-2025学年吉林省长春市九年级上册9月第一次考试数学检测试卷【含答案】，共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列二次根式中最简二次根式是（ ）
A.12B.12C.7D.9

2.现有四条线段，长度按从长到短的顺序分别为4,3,2，a，若这四条线段是成比例线段，则a的值是（ ）
A.1B.32C.2D.4

3.如图，在△ABC中，DE∥BC,AD=2,BD=3,AC=10，则AE的长为（ ）
A.3B.4C.5D.6

4.为倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点O为跷跷板AB中点，支柱OC垂直于地面，垂足为C，AC=0.7m，跷跷板的一端A落到地面时与地面的夹角∠OAC=α，则点B离地面的距离是（ ）
αmαmαmαm

5.如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形．若OA:AA′=1:3，且△ABC面积是2，则△A′B′C′的面积是（ ）
A.6B.8C.18D.32

6.已知：点Am−2,3与点B2,n−1关于x轴对称，则m+n的值为（ ）
A.0B.1C.−1D.2

7.如图，A，B，C是正方形网格中的格点（小正方形的顶点），则sin∠ACB的值为（ ）
A.55B.255C.12D.33

8.如图，在△ABC中，点D，F在边AB上，点E在边BC上，连接CF，DE，并交于点G．若DE // AC，BD=2AD,BF=2DF，则EGDG的值为（ ）
A.1B.23C.35D.47
二、填空题

9.若3−5x在实数范围内有意义，那么x的取值范围是____________．

10.关于x的一元二次方程x2+m=6x有两个不相等的实数根，则m的值可能是______________．

11.如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB=9，AC=6，则要使△ABC∽△ACD，只要AD=______________．

12.如图，D、E分别是△ABC边AC、AB的中点，连接BD,DE．若∠ADE=∠BDC，DE=3，则BD的长为______________．

13.《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题： “今有井径5尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末 望水岸，入径四寸．问井深几何？”意思是：如图， 井径BE=5尺，立木高AB=5尺，BD=4寸=0.4尺，则井深x为________________尺．

14.如图，正方形ABCD中，E为BC中点，连接AE，DF⊥AE于点F，连接CF，FG⊥CF交AD于点G，下列结论：①CF=CD；②△DCF∽△AGF；③BEEF=23；④△AGF为正三角形，其中正确结论有___________．
三、解答题

15.计算：
（1）3×6−212−312÷23．
（2）tan260∘+4sin30∘cs45∘．

16.解方程：
（1）3x2−5x−2=0．
（2）x2−8x+9=0．

17.某村2020年的人均收入为20000元，2022年的人均收入为24200元，求2020年到2022年该村人均收入的年平均增长率．

18.如图，在△ABC中，已知tanB=12，tanC=43，BC=11cm，求△ABC的面积．

19.如图，在正三角形ABC中，D是边BC上任意一点，且∠ADE=60∘．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）若AB=3，BD=1，求AE的长．

20.某水上乐园有两个相邻的水上滑梯，如图所示，左边滑梯的长度AB为21m，倾斜角为40∘，右边滑梯的高度DF为11m，倾斜角为32∘，支架AC，NF都与地面垂直，AN，MD都与地面平行，两支架之间的距离CF为3m（点B，C，F，E在同一条直线上）
（1）求两滑梯的高度差；
（2）两滑梯的底端分别为B，E，求BE的长．（结果精确到0.01m．参考数据：sin32∘≈0.530，cs32∘≈0.848，tan32∘≈0.625，sin40∘≈0.643，cs40∘≈0.766，tan40∘≈0.839）

21.图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图：
（1）如图①，在AB上画一点E，连结DE，使∠ADE=∠C；
（2）如图②，在AB上画一点F，连结DF，使∠AFD=∠C；
（3）如图③，在AB上画一点M，连结CM，使∠AMD=∠BMC．

22.材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两个根为x1,x2，则x1+x2=−ba,x1x2=ca；
材料2：已知一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根分别为m、n，求m2n+mn2的值．
解：∵一元二次方程．x2−x−1=0的两个实数根分别为m、n，
∴m+n=1,mn=−1，
则m2n+mn2=mnm+n=−1×1=−1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程2x2−3x−1=0的两个根为：x1、x2，则x1+x2=_____；x1x2=____．
（2）类比应用：已知一元二次方程2x2−3x−1=0的两根分别为m、n，求nm+mn的值．
（3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2−3s−1=0,2t2−3t−1=0，且s≠t，求出t−s的值．

23.综合与实践
数学兴趣小组发现：一些含有两条互相垂直的线段的图形中，某些线段之间存在特殊的数量关系．他们进行了如下探究．
（1）猜想证明
如图（1），在正方形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，CD，AD，BC上，且EF⊥GH，请判断EF和GH的数量关系，并加以证明．
（2）迁移探究
如图（2），在Rt△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，点D，E分别在边AC，BC上，且AE⊥BD，求证：ABAD=BEEC．
（3）拓展应用
如图（3），在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，BE平分∠ABC交AD于点E，点F为AE上一点，AG⊥BF交BE于点H，交矩形ABCD的边于点G．当EF=2AF时，请直接写出GH的长．

24.如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=4，BC=3，点P从点A出发，沿折线AC−CB以每秒2个单位长度的速度向终点B匀速运动，点Q为线段CP的中点，点H在PQ下方，∠HPQ=90∘，∠HQP=∠ABC，设点P运动的时间为t（秒）．

（1）当点P在边AC上运动时，
①线段PQ的长为_______．用含t的代数式表示）
②若△PQH与△ABC重叠部分为轴对称图形，求t的值．
（2）当点H落在边AB上时，求HB的长．
（3）取边QH的中点E，边BC的中点F，连结EF，当EF∥AB时，直接写出t的值．
参考答案与试题解析
2024-2025学年吉林省长春市九年级上学期9月第一次考试数学试题
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
最简二次根式的判断
【解析】
本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】
解：A、被开方数含开得尽方的因数，故本选项不符合题意；
B、被开方数含有分母，故本选项不符合题意；
C、被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，故本选项符合题意；
D、被开方数含能开得尽方的因数，故本选项不符合题意；
故选：C．
2.
【答案】
B
【考点】
比例的性质
成比例线段
【解析】
本题考查了比例线段，根据比例线段的定义列出比例式是解题的关键．
根据题意得到4:3=2:a，根据比例的性质得到3×2=4a，计算即可得到答案．
【解答】
解：根据题意得4:3=2:a，
∴3×2=4a，
∴a=32，
故选：B．
3.
【答案】
B
【考点】
由平行截线求相关线段的长或比值
【解析】
本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例进行求解即可．
【解答】
解：∵DE∥BC，
∴ADAB=AEAC，
∵AD=2,BD=3,AC=10，
∴22+3=AE10，
∴AE=4．
故选：B．
4.
【答案】
D
【考点】
相似三角形的性质与判定
解直角三角形的相关计算
与三角形中位线有关的求解问题
【解析】
本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识．求出OC=ACtan∠OAC=0.7tanαm，过点B作BD垂直底面于点D，判断出OC是△ABD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得BD=2OC，即可得到答案．
【解答】
解：由题意可得，OC⊥AC, AC=0.7m，
在Rt△AOC中，OC=ACtan∠OAC=0.7tanαm，
如图，过点B作BD垂直底面于点D，
∵ BD⊥AD,OC⊥AD，
∴BD // OC，
∴△AOC∽△ABD，
∴AOAB=ACAD，
∵点O为跷跷板AB的中点，
∴AC=12AD，
∴ OC是△ABD的中位线，
∴ BD=2OC=1.4tanαm，
故选：D．
5.
【答案】
D
【考点】
利用相似三角形的性质求解
求两个位似图形的相似比
【解析】
本题考查了位似图形的性质：面积的比等于位似比的平方，直接利用位似图形的性质结合相似三角形的性质得出答案．
【解答】
∵OA:AA′=1:3，
∴OA:OA′=1:4，
∵△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，位似比为OA:OA′=1:4
∴S△ABC:S△A′B′C′=1:16，
又S△ABC=2，
∴S△A′B′C′=32，
故选：D
6.
【答案】
D
【考点】
坐标与图形变化-对称
【解析】
利用关于x轴对称点的性质得出m，n的值，进而求出m+n即可．
【解答】
∵点Am−2,3与点B2,n−1关于x轴对称，
∴m−2=2，n−1=−3，
解得：m=4，n=−2，
则m+n=4−2=2
故选：D．
7.
【答案】
A
【考点】
求角的正弦值
勾股定理与网格问题
【解析】
设小正方形的边长为1，过点B作BD⊥AC于D，过点B作BF⊥AE于点F，由勾股定理可求AC，BC的长，由三角形的面积公式可求BD的长，即可求sin∠ACB的值．
【解答】
解：设小正方形的边长为1，过点B作BD⊥AC于D，过点B作BF⊥AE于点F，
∵S△ABC=2×7−12×1×3−12×1×7−12×2×4=5，
由勾股定理可知：AC=12+72=52 ，
∵12AC⋅BD=5，
∴BD=2，
由勾股定理可知：BC=12+32=10 ，
∴sin∠ACB=BDBC =210=55 .
故选A．
8.
【答案】
B
【考点】
相似三角形的性质与判定
平行公理及推论
【解析】
本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．过点B作BP // AC，交CF的延长线于点P，根据平行线的性质得BP // DE // AC，证明△DBE∽△ABC，△GCE∽△PCB，推理得到BP=3EG，再证明△BFP∽△DFG，得到BP=2DG，即可解答．
【解答】
解：如图，过点B作BP // AC，交CF的延长线于点P，
∵DE // AC，
∴BP // DE // AC，
∴△DBE∽△ABC，△GCE∽△PCB，
∴BDAB=BEBC，CEBC=EGBP，
∵BD=2AD，即BDAD=2，
∴BDAB=BEBC=23，
∴CEBC=EGBP=13，
∴BP=3EG，
∵BP // DG，
∴△BFP∽△DFG，
∴BFDF=BPDG，
∵BF=2DF，
∴BPDG=2，
∴BP=2DG，
又∵BP=3EG，
∴3EG=2DG，
∴EGDG=23，
故选：B．
二、填空题
9.
【答案】
x≤35
【考点】
二次根式有意义的条件
【解析】
本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数不小于零的条件进行解题即可．
【解答】
解：由题可知，
3−5x≥0，
解得x≤35．
故答案为：x≤35．
10.
【答案】
8（答案不唯一）
【考点】
根据一元二次方程根的情况求参数
【解析】
本题考查了根的判别式，先把方程化为一般式，再根据根的判别式的意义得到Δ=−62−4m>0，解不等式得到m的取值范围，即可解答．
【解答】
解：方程化为x2−6x+m=0，
根据题意得Δ=−62−4m>0，
解得m