2025-2026学年吉林省九年级上册9月阶段质量检测数学检测试卷【含答案】

这是一份2025-2026学年吉林省九年级上册9月阶段质量检测数学检测试卷【含答案】，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ）
A.y=2x2−5xB.y=6x+1C.y=1xD.y=34x

2.若x=3是关于x的一元二次方程x2+kx−6=0的一个根，则k的值为（ ）
A.3B.2C.−2D.−1

3.一元二次方程x2+2x=1的根的情况是（ ）
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.没有实数根D.无法确定

4.已知点A0,y1和点B3,y2在二次函数y=x−12的图象上，则y1与y2的大小关系是（ ）
A.y1>y2B.y1=y2C.y13时，y随x增大而增大D.与y轴交于点0, 2

6.俗语有云：“一日不练，手生脚慢；两日不练，技艺减半；三日不练，成门外汉；四日不练，只能旁观．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两日不练，技艺减半”，则每天“遗忘”的百分比约为（ ）．（参考数据：2≈1.4）
A.50%B.30%C.25%D.20%
二、填空题

7.若抛物线y=a−2x2+x+4开口向上，则a满足的条件为______________．

8.如图，根据小丽与DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的答案是_______________．

9.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一元二次方程ax2+bx+c=0的解是 __________________．

10.电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为45m），其他的边用总长70m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形．若车棚占地面积为384m2，设电动车车棚的宽AB为xm，则列方程为：______________．

11.如图，四边形OABC是正方形，且点A，C恰好在抛物线 y=12x2上，点B在y轴上，则OB的长为______________．
三、解答题

12.解方程: 2x2+3x−5=0

13.将抛物线y=ax2向右平移1个单位后经过点3,4．求平移后的解析式．

14.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？

15.已经抛物线y=x2−3x−4与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）若该抛物线的顶点为P，求△PAB的面积．

16.已知二次函数y=−x2−m−1x+m+1．
（1）求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个交点；
（2）若该函数图象的对称轴是直线x=1，将该函数的图象向下平移1个单位长度后新的函数解析式是：__________．

17.课本再现．人教版初中数学教科书九年级上册第23页数学活动对三角点阵中前行的点数计算进行了探究：如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第1行有一个点，第2行有两个点⋅⋅⋅第n行有n个点⋅⋅⋅
小明同学发现，前2行的点数和是1+2=3，前3行的点数和是1+2+3=6，前4行的点数和是1+2+3+4=10 ⋅⋅⋅前n行的点数和是1+2+3+4+5+⋅⋅⋅+n，他有点疑惑，能不能用含n的式子把1+2+3+4+5+⋅⋅⋅+n表示出来．
小明同学通过阅读课本知道了答案，但他仍在问自己这个结果是怎么来的．经过思考后，他发现：
（1）探索：三角点阵中前8行的点数之和为________，那么，前n行的点数之和为________；
（2）应用：若图中三角点阵前a行的点数之和为136，求a的值为________．

18.阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于−1，记为i2=−1，这个数i叫做虚数单位，那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为a+bi（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式的加法、减法、乘法运算类似．
例如：解方程x2=−1，解得x1=i，x2=−i．
同样我们也可以化简：
读完这段文字，请解答以下问题：
（1）填空：i3＝________，i4＝________，i6＝________，i2025＝_______．
（2）在复数范围内解方程：x−12=−1．

19.请仔细阅读并完成相应的任务．
任务：
（1）“步骤二”中二次函数一般式化为顶点式是_______．
（2）将材料中的表格补充完整，并画出图象．
（3）请直接写出一元二次不等式−x2+2x+3>0的解集是_______．

20.“抖音”平台爆红网络，某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为70元/件，为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过110元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件．
（1）当销售量为30件时，产品售价为_______元/件．
（2）直接写出日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式：_______（写化简后的解析式并写出自变量取值范围）．
（3）该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利最大并求出最大值？

21.如图，抛物线y=−x2+bx+c经过点A3,0和点B0,3．
（1）求抛物线y=−x2+bx+c的解析式为_______．
（2）若直线l⊥x轴，在第一象限内与抛物线交于点M，与直线AB交于点N，设线段MN 的长度为n，请结合函数图象求出n的取值范围．
（3）若抛物线y=−x2+bx+c的图象上存在点P，使△PAB的面积等于△AOB的面积的一半，则这样的点P共有_______个．

22.掷实心球是某市中考体育考试的选考项目，小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从y轴上的点A0,2处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点B的坐标为4,3.6，落在x轴上的点C处．
（1）求抛物线的解析式；
（2）某市男子实心球的得分标准如表：
请你求出小强在这次训练中的成绩，并根据得分标准给小强打分；
（3）若抛物线经过Mm,y1，Nm+2,y2两点，抛物线在M，N之间的部分为图象H（包括M，N两点），图象H上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为15，求m的值．
参考答案与试题解析
2025-2026学年吉林省九年级上学期9月阶段质量检测数学试题
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
二次函数的定义
【解析】
本题考查了二次函数，根据二次函数的定义“形如y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，且a≠0)的函数叫做二次函数”进行判断即可求解，掌握二次函数的定义是解题的关键．
【解答】
解：A、y=2x2−5x是二次函数，符合题意；
B、y=6x+1是一次函数，不合题意；
C、y=1x是反比例函数，不合题意；
D、y=34x是正比例函数，不合题意；
故选：A．
2.
【答案】
D
【考点】
此题暂无考点
【解析】
本题主要考查了已知方程的解求参数， 把x=3代入一元二次方程x2+kx−6=0，得出关于k的一元一次方程，求解即可得出答案．
【解答】
解：把x=3代入x2+kx−6=0，
得：9+3k−6=0，
解得：k=−1，
故选D
3.
【答案】
A
【考点】
根的判别式
【解析】
本题考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是掌握Δ>0时方程有两个不相等的实数根，Δ=0时方程有两个相等的实数根，Δ0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
4.
【答案】
C
【考点】
y=a（x-h）²的图象和性质
【解析】
此题考查了二次函数的性质．把点的坐标代入函数解析式求出y1=0−12=1，y2=3−12=4，即可得到答案．
【解答】
解；∵点A0,y1和点B3,y2在二次函数y=x−12的图象上，
∴y1=0−12=1，y2=3−12=4，
∴y13时y随x的增大而增大，
6.
【答案】
B
【考点】
一元二次方程的应用——增长率问题
【解析】
本题主要考查一元二次方程在实际问题中的应用，熟练掌握根据等量关系列一元二次方程并求解是解题的关键．本题通过设每天“遗忘”的百分比为x，依据“两日不练，技艺减半”这一条件建立一元二次方程，求解方程，并结合实际意义确定x的值．
【解答】
解：设每天“遗忘”的百分比为x，由题意得
1−x2=12．
解得x1=2−22，x2=2+22（x2>1，不符合题意，舍去 ）．
∵2−22≈0.3=30%，
∴ 每天“遗忘”的百分比约为30%
故选：B
二、填空题
7.
【答案】
a>2
【考点】
二次函数y=ax^2+bx+c (a≠0)的图象和性质
【解析】
本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数系数与图象的关系是解题关键．根据抛物线开口向上，得到a−2>0，即可求解．
【解答】
解：∵抛物线y=a−2x2+x+4的开口向上，
∴a−2>0，
∴a>2，
故答案为：a>2
8.
【答案】
1
【考点】
一元二次方程的应用——数字问题
【解析】
本题考查了解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．设这个数为x，根据“先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同”列出方程即可求解．
【解答】
解：设这个数为x，则有x2−x+1=x
x2−2x+1=0，
x−12=0 ，
x−1=0，
解得x=1．
故答案为：1．
9.
【答案】
x1=−8，x2=2
【考点】
已知抛物线上对称的两点求对称轴
根据二次函数图象确定相应方程根的情况
【解析】
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．先根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为−8,0，然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程ax2+bx+c=0的解．
【解答】
解：∵抛物线的对称轴为直线x=−3，抛物线与x轴的一个交点坐标为2,0，
∴抛物线与x轴的一个交点坐标与对称轴距离为：2−−3=5．
∴根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标：−3−5=−8．
∴抛物线与x轴的一个交点坐标为−8,0．
即x=−8或2时，y=0．
∴一元二次方程ax2+bx+c=0的解为x1=−8，x2=2．
故答案为：x1=−8，x2=2．
10.
【答案】
x72−3x=384
【考点】
一元二次方程的应用——几何图形面积问题
【解析】
本题考查了一元二次方程的应用，设电动车车棚的宽AB为xm，则车棚的长BC=72−3xm，根据车棚占地面积为384m2，列出一元二次方程即可．
【解答】
解：设电动车车棚的宽AB为xm，则车棚的长BC=72−3xm，
由题意得，x72−3x=384，
故答案为：x72−3x=384．
11.
【答案】
4
【考点】
根据正方形的性质求线段长
y=ax²的图象与性质
【解析】
本题主要考查了正方形的性质、二次函数的性质．过点A作AE⊥x轴于点E，设Ax,12x2，由四边形ABCO是正方形，且点B在y轴上，得∠AOB=∠AOE=45∘，得出△AOE是等腰直角三角形，推出AE=OE，即x=12x2，解得x=0（舍去）或x=2，求出AO=22，由勾股定理可求出OB=4．
【解答】
解：过点A作AE⊥x轴于点E，如图，
设Ax,12x2，
∵四边形ABCO是正方形，且点B在y轴上，
∴∠AOB=∠AOE=45∘，
∴∠OAE=45∘=∠AOE,
∴OE=AE，
∴x=12x2，
解得：x=0（舍去）或x=2，
∴A2,2，
∴AO=22+22=22,
∴AB=AO=22，
∴OB=AB2+AO2=222+222=4．
故答案为：
三、解答题
12.
【答案】
x1=1;x2=−52
【考点】
解一元二次方程-公式法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
试题分析：找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．
试题解析：
∵a=2, b=3, c=−5 △=b2−4ac=32−4×2×−5=49>0
x=−b±b2−4ac2a=−3±492×2=−3±74
∴x1=1;x2=−52
13.
【答案】
y=x−12
【考点】
待定系数法求二次函数解析式
二次函数图象的平移规律
【解析】
本题主要考查二次函数的平移及待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的平移是解题的关键；根据向右平移1个单位则横坐标加1，求出平移后的抛物线顶点坐标，然后写出顶点式解析式，再将经过的点的坐标代入求出a的值，从而得解．
【解答】
解：∵抛物线y=ax2向右平移1个单位，
∴平移后的抛物线顶点坐标为1,0，解析式为y=ax−12，
∵抛物线y=ax2向右平移1个单位后经过点3,4，
∴a3−12=4，
解得a=1，
∴平移后的解析式为y=x−12．
14.
【答案】
解：设每个支干长出的小分支的数目是x个，
根据题意列方程得：x2+x+1=91，
解得：x=9或x=−10（不合题意，应舍去）；
∴ x=9.
故每支支干长出9个小分支．
【考点】
一元二次方程的应用
【解析】
由题意设每个支干长出的小分支的数目是x个，每个小分支又长出x个分支，则又长出x2个分支，则共有x2+x+1个分支，即可列方程求得x的值．
【解答】
解：设每个支干长出的小分支的数目是x个，
根据题意列方程得：x2+x+1=91，
解得：x=9或x=−10（不合题意，应舍去）；
∴ x=9.
故每支支干长出9个小分支．
15.
【答案】
（1）A−1,0，B4,0，C0,−4；
（2）S△PAB=1258．
【考点】
把y=ax^2+bx+c化成顶点式
抛物线与x轴的交点
求抛物线与y轴的交点坐标
【解析】
（1）令y=0，则x2−3x−4=0，计算求解可得A、B点的坐标；令x=0，则y=4，可得C点的坐标；
（2）由y=x2−3x−4=x−322−254，可得顶点P32,−254，利用三角形面积公式计算求解即可．
【解答】
（1）解：令y=0，则x2−3x−4=0，
解得x1=−1，x2=4，
∴A−1,0，B4,0，
令x=0，则y=−4，
∴C0,−4；
（2）解：∵y=x2−3x−4=x−322−254，
∴顶点P32,−254，
∴S△PAB=12×254×4+1=1258．
16.
【答案】
（1）见解析
y=−x−12
【考点】
根的判别式
二次函数图象的平移规律
二次函数y=ax^2+bx+c (a≠0)的图象和性质
抛物线与x轴的交点
【解析】
（1）证明判别式大于0，即可得出结论；
（2）根据函数图象的对称轴是直线x=1，求出m=−1，代入抛物线解析式，求出抛物线的顶点式，然后根据二次函数的平移规律求解即可．
【解答】
（1）解：∵y=−x2−m−1x+m+1，
∴Δ=b2−4ac
=m−12−4×−1×m+1
=m2−2m+1+4m+4
=m+12+4，
∵m+12≥0，
∴m+12+4>0，
∴不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个交点；
（2）解：∵该函数图象的对称轴是直线x=1，
∴对称轴为直线x=−−m−12×−1=1，
∴m=−1，
∴y=−x2−−1−1x+−1+1
=−x2+2x
=−x−12+1，
∴抛物线向下平移1个单位后，新的函数解析式为y=−x−12+1−1=−x−12，
故答案为：y=−x−12．
17.
【答案】
36，nn+12
16
【考点】
规律型：图形的变化类
解一元二次方程-因式分解法
【解析】
（1）由于第一行有1个点，第二行有2个点，⋯，第n行有n个点，则前8行共有1+2+3+4+5+6+7+8个点；前n行共有SS=1+2+3+⋯+n个点，根据题意①+②可得2S=nn+1，然后即可计算求解；
（2）由题意，利用1中表达式可得，aa+12=136，再用因式分解法解一元二次方程即可求解．
【解答】
（1）解：∵第一行有1个点，第二行有2个点，⋯，第n行有n个点，
∴前8行的点数之和为1+2+3+4+5+6+7+8=36，
记前n行的点数之和为S，
则S=1+2+3+⋯+n①，
又S=n+n−1+n−2+⋯+1②，
①+②得，2S=1+n+2+n−1+3+n−2+⋯+n+1=nn+1，
∴S=nn+12，即前n行的点数之和为nn+12．
故答案为：36，nn+12．
（2）解：由1知，前n行的点数之和为nn+12，
∴前a行的点数之和为aa+12=136，
整理得，a2+a−272=0，
因式分解得，a+17a−16=0，
于是得，a+17=0或a−16=0，
∴ a1=−17，a2=16，
∵a>0，
∴a=16，即a的值为16．
故答案为：16．
18.
【答案】
−i，1，−1，i
（2）
x1=1+i，x2=1−i
【考点】
有理数的乘方运算
规律型：数字的变化类
【解析】
（1）先根据虚数单位 “i²=−1” 和幂的运算法则，推导得出i3、i4、i6的值，进而总结出i的幂次以4为周期的规律，通过计算2025除以4的余数求出i2025；
（2）依据平方根的定义，结合i²=−1，求解方程x−1²=−1得到x的两个解．
【解答】
（1）解：根据虚数单位的定义i2=−1，利用幂的运算法则推导：
i3=i2⋅i=−1⋅i=−i；
i4=i22=−12=1；
i6=i23=−13=−1；
观察i的幂次规律：
i1=i，i2=−1，i3=−i，i4=1，周期为4，
2025÷4=506⋯⋯1，其中余数为1，
∴i2025=i4×506+1=i4506⋅i=1506⋅i=i．
（2）根据平方根的定义，若a2=b，则a=±b（b为复数时适用），
对于方程x−12=−1，因为i2=−1，
∴x−1=±i，
分别求解：
当x−1=i时，x=1+i；
当x−1=−i时，x=1−i．
19.
【答案】
y=−x−12+4
（2）见解析
−1