湖北省武汉市洪山高级中学2024-2025学年高一上学期9月考试数学试卷（含解析）

这是一份湖北省武汉市洪山高级中学2024-2025学年高一上学期9月考试数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知命题p：，，则命题p的否定为( )
A. ，B. ，
C. ，D. ，
2.下列各组函数是同一函数的是（ ）
A. 与B. 与
C. 与D. 与
3. “”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4. 若，，且，，则( )
A. B. C. D.
5. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
7. 关于x的不等式的解集中恰有2个整数，则实数a的取值范围是( )
A．B．
C．D．
8.已知表示不超过x的最大整数，集合，，且，则集合B的子集个数为（ ）．
A．4B．8C．16D．32
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选得0分.
9.已知非空集合都是R的子集，满足，，则( )
A. B. C. D.
10. 已知函数，下列关于函数的结论正确的是（ ）
A．的定义域是B．的值域是
C．若，则D．的图象与直线有一个交点
11. 已知，则下列正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．最大值为8D．的最大值为6
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合，，若，则实数的取值范围是______.
13. 函数的定义域是_________．
14. 定义集合的“长度”是，其中a，R．已如集合，，且M，N都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是 ；若，集合的“长度”大于，则n的取值范围是 .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15. (13分)已知为全集，集合，集合．
(1)求集合A；
(2)若，求实数的取值范围．
16.（15分）已知集合，且.
(1)若“命题，”是真命题，求实数的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
17.（15分）已知， 且．
(1)证明: ．
(2)若， 求的最小值．
18. （17分）LED灯具有节能环保的作用，且使用寿命长．经过市场调查，可知生产某种LED灯需投入的年固定成本为4万元，每生产x万件该产品，需另投入变动成本万元，在年产量不足6万件时，，在年产量不小于6万件时，每件产品售价为6元．假设该产品每年的销量等于当年的产量．
写出年利润万元关于年产量万件的函数解析式．注：年利润=年销售收入-固定成本-变动成本
年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？
19. (17分) 问题：正实数a，b满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题：
(1)若正实数x，y满足，求的最小值；
(2)若实数a，b，x，y满足，求证：；
(3)求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值.
9月月考答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知命题p：，，则命题p的否定为( )
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
2.下列各组函数是同一函数的是（ ）
A. 与B. 与
C. 与D. 与
【答案】D
3. “”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】时，由，解得：，时，解得：，不是必要条件，
反之也推不出，比如，不是充分条件，
故“”是“”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
4. 若，，且，，则( )
A. B. C. D.
【答案】B
解：因为，，所以，
又因为，所以或，
因为，所以不合要求，所以，
综上：
故选：B
【解析】
5. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】，
当时，表示的整数倍与的和，表示的整数倍与的和，
故，
故选：A
6. 不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【详解】因为的解集为，
所以方程的两根分别为和1，且，
则变形可得
故函数的图象开口向下，
且与x轴的交点坐标为和，故A选项的图象符合.
故选：A
7. 关于x的不等式的解集中恰有2个整数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由可得，
当时，，即原不等式无解，不满足题意；
当时，原不等式解得，由于解集中恰有2个整数，
所以该整数解为2和3，因此可得，即；
当时，原不等式解得，由于解集中恰有2个整数，
所以该整数解为和0，因此由数轴法可得，即；
综上：或，所以实数的取值范围为或．故选：C．
8. 已知表示不超过x的最大整数，集合，，且，则集合B的子集个数为（ ）．
A．4B．8C．16D．32
【答案】C
【详解】由题设可知，，
又因为，所以，
而，
因为的解为或，的两根满足，
所以分属方程与的根，
若是的根，是的根，则有，解得，
代入与，解得或与或，
故；
若是的根，是的根，则有，解得，
代入与，解得或与或，
故；
所以不管如何归属方程与，集合总是有4个元素，
故由子集个数公式可得集合的子集的个数为.
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选得0分.
9.已知非空集合都是R的子集，满足，，则( )
A. B. C. D.
【答案】ABD
解：对于A选项，由 ，可得，故A选项正确；
对于B选项，由，可得，从而，故B选项正确；
对于C、D选项，结合与，可知，
又，所以，故C选项错误，D选项正确.
故选：
10. 已知函数，下列关于函数的结论正确的是（ ）
A．的定义域是B．的值域是
C．若，则D．的图象与直线有一个交点
【答案】BCD
【详解】A选项，的定义域是，所以A选项错误.
B选项，当时，，
当时，，
所以的值域是，所以B选项正确.
C选项，由B选项的分析可知，若，
则，解得，所以C选项正确.
D选项，画出的图象如下图所示，由图可知，D选项正确.
故选：BCD
11. 已知，则下列正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．最大值为8D．的最大值为6
【答案】BC
【详解】依题意，，
A选项，，
，解得，
当且仅当，即时等号成立，
所以，所以A选项错误.
B选项，，，
，
当且仅当时等号成立，所以B选项正确.
D选项，，
整理得，，
当且仅当时等号成立，所以D选项错误.
C选项，，
由D选项的分析可知：，所以C选项正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合，，若，则实数的取值范围是______.
【答案】
13. 函数的定义域是_________．
【答案】
14. ．定义集合的“长度”是，其中a，R．已如集合，，且M，N都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是 ；若，集合的“长度”大于，则n的取值范围是 .
【答案】 /
【详解】集合，，且M，N都是集合的子集，
由，可得，由，可得．
要使的“长度”最小，只有当取最小值、取最大或取最大、取最小时才成立.
当，，，“长度”为，
当，，，“长度”为，
故集合的“长度”的最小值是；
若，，
要使集合的“长度”大于，故或
即或又，故.
故答案为：；.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15. (13分)已知为全集，集合，集合．
(1)求集合A；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
（1），即，，
等价于，解得：，
故；
（2）由（1）得：，
所以或x>2，
因为，所以，
又，
因为，故，
则或，
解得：或，
综上：实数的取值范围为.
16.（15分）已知集合，且.
(1)若“命题，”是真命题，求实数的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以
命题是真命题，可知，
因为，，
，,
故的取值范围是.
（2）若是的充分不必要条件,得是的真子集，，
，解得，
故的取值范围是.
17. （15分已知， 且．
(1)证明: ．
(2)若， 求的最小值．
【详解】（1），①
②
③
①+②+③得，
即，
当且仅当时，等号成立．
（2）由，得，即，
所以
由，得，得，即，
所以
．
所以的最小值为，
当且仅当，即时，等号成立．
18. （17分）LED灯具有节能环保的作用，且使用寿命长．经过市场调查，可知生产某种LED灯需投入的年固定成本为4万元，每生产x万件该产品，需另投入变动成本万元，在年产量不足6万件时，，在年产量不小于6万件时，每件产品售价为6元．假设该产品每年的销量等于当年的产量．
写出年利润万元关于年产量万件的函数解析式．注：年利润=年销售收入-固定成本-变动成本
年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？
【答案】解：每件产品售价为6元，万件产品的销售收入为6x万元，
依题意得，当时，，
当时，
当时，，
当时，取得最大值
当时，，
当且仅当，即时，取得最大值
，
当年产量为10万件时，年利润最大，最大年利润为15万元．
19. 问题：正实数a，b满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题：
(1)若正实数x，y满足，求的最小值；
(2)若实数a，b，x，y满足，求证：；
(3)求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值. 【分析】（1）利用“1”的代换凑配出积为定值，从而求得和的最小值；
（2）利用已知，，然后由基本不等式进行放缩：，再利用不等式的性质得出大小．并得出等号成立的条件．
（3）令，，构造，即以，即，然后利用（2）的结论可得．
【详解】（1）因为,，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是．
（2），
又，当且仅当时等号成立，
所以，
所以，当且仅当且同号时等号成立．此时满足.
（3）令，，由得，
，
又，所以，
构造，
由，可得，因此，
由（2）知，
取等号时，且同正，
结合，解得，即，．
所以时，取得最小值．
综上：的最大值为.