2026届四川省成都市第七中学高三上学期入学考试数学试卷（含解析）

这是一份2026届四川省成都市第七中学高三上学期入学考试数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了 若随机事件满足，，，则， 已知，2B， 不等式恒成立，则的取值范围是等内容，欢迎下载使用。
1. 若随机事件满足，，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知（是虚数单位）是关于方程的一个根，则（ ）
A. 17B. 9C. 13D. 4
3. 已知变量x和y统计数据如表，若由表中数据得到回归直线方程为，则时的残差为（ ）
A. 0.2B. C. 0.4D.
4. 已知随机变量，若函数为偶函数，则（ ）
A. 2B. 1C. 0D.
5. 三角高程测量法是一种常用的测量方法.如图，，，三点在水平地面上的投影，，满足，.到地面的距离为，到地面的距离为，在测得的仰角为，在测得的仰角为，则到地面的距离约为（ ）（参考数据：）

A. B. C. D.
6. 为考察药物A对预防疾病B的效果，在两个不同规模的动物种群中分别进行了试验，根据种群一的试验结果得到如下列联表：
计算得到．假设种群二试验结果对应的列联表中，每个单元格的数据都为上表对应单元格数据的5倍，则根据小概率值的独立性检验，（ ）
附：，
A. 当时，种群一中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过5%
B. 当时，种群一中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过10%
C. 当时，种群二中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过1%
D. 当时，种群二中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过0.5%
7. 已知双曲线的左、右焦点分别为是上的一点，为线段的中点．若，则的离心率为（ ）
A. B. 2C. D.
8. 不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分．部分选对的得部分分．有选错的得0分．
9. 在空间直角坐标系中，为坐标原点，，，．记在方向上的投影向量为，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 设，已知随机变量的分布列如下表，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 的值最大
C. 随着p的增大而增大D. 当时，
11. 已知正四面体的顶点均在一个底面半径为1的圆柱侧面上（圆柱的高足够大），且点到圆柱下底面的距离相等，则该四面体的边长的取值可以是（ ）
A. B. 2C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于________．
13. 已知函数的最大值为______．
14. 在平面直角坐标系中，定义，两点的“距离”为．其中LA,B=x1−x2+y1−y2．已知定点，Nd,0d>0．动点满足LP,M+LP,N=2m．其中.记的轨迹为“椭圆”．为“焦点”．已知数列，，均为正项数列，，椭圆，记以Mn−dn,0，Nndn,0为“焦点”的“椭圆”为，的边均与相切，且的顶点均在上，若是等比数列，则的离心率是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．其中15题13分，16-17题各15分，18-19题给17分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数．
（1）当时，求曲线在点处切线方程；
（2）若在单调递增，求的取值范围；
16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面平面，，为中点，且.
（1）求证：；
（2）求与平面所成角的正弦值.
17. 在中，为的中点，在边上，交于，且，设，．
（1）若，，，求余弦值；
（2）若在上，且，设，，，若，求的取值范围．
18. 已知两点的坐标分别是，，直线相交于点，且它们的斜率之积是，记点的轨迹为曲线.两个不同点在上运动，满足直线与直线的斜率之比是.
（1）求曲线的方程；
（2）直线是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，请说明理由；
（3）证明：三角形是钝角三角形.
19. 已知数列满足以下分组规律：第1组为第1项，第2组为接下来2项，，第3组为接下来项，，，，，
第组有项，分别为，，，，，设为的前项和，
（1）求的值；
（2）若，m≤200，求的值；
（3）求证：存在无穷多个正整数，使得．
四川省成都市第七中学2026届高三上学期入学考试数学试卷
一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．
1. 若随机事件满足，，，则（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件概率公式进行求解即可.
【详解】因为，
所以，所以.
所以.
故选：C.
2. 已知（是虚数单位）是关于的方程的一个根，则（ ）
A. 17B. 9C. 13D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由是方程的一个根，则是另一个根，利用韦达定理即可求解.
【详解】由题意知：是方程的一个根，所以是另一个根，
所以，
所以，
故选：B.
3. 已知变量x和y的统计数据如表，若由表中数据得到回归直线方程为，则时的残差为（ ）
A. 0.2B. C. 0.4D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，由条件可得样本中心点的坐标，即可得到，得到线性回归方程，然后求得时的预测值，再由残差定义即可求解.
【详解】因为，，
则样本中心点为，代入可得，
所以回归直线方程为，
当时，，
所以时的残差为.
故选：D
4. 已知随机变量，若函数为偶函数，则（ ）
A. 2B. 1C. 0D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据偶函数和正态分布的性质进行求解即可.
【详解】因为函数为偶函数，
所以，
因此，
故选：B
5. 三角高程测量法是一种常用的测量方法.如图，，，三点在水平地面上的投影，，满足，.到地面的距离为，到地面的距离为，在测得的仰角为，在测得的仰角为，则到地面的距离约为（ ）（参考数据：）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作出辅助线，得到各边长，由题易知为等腰直角三角形，根据可求得.在中，由正弦定理得可解得的长，又，，结合即可求解.
【详解】
如图所示，过点作于点，过点作于点，
则，，.
由题易知，，为等腰直角三角形，
所以，即，所以.
在中，，，
所以，
所以由正弦定理得，即，
解得，所以.
在等腰直角中，，
所以.
故选：C.
6. 为考察药物A对预防疾病B效果，在两个不同规模的动物种群中分别进行了试验，根据种群一的试验结果得到如下列联表：
计算得到．假设种群二试验结果对应的列联表中，每个单元格的数据都为上表对应单元格数据的5倍，则根据小概率值的独立性检验，（ ）
附：，
A. 当时，种群一中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过5%
B. 当时，种群一中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过10%
C. 当时，种群二中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过1%
D. 当时，种群二中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过0.5%
【答案】C
【解析】
【分析】设各项数据变为原来的5倍后，根据题意计算对应出的值，参考数据逐项分析即可得出答案.
【详解】对于A,B，因为，
所以当时，无法推断种群一中药物A对预防疾病B有效，故A,B错误；
对于C,由，将各项数据变为原来的5倍，
则，
所以当时，则种群二中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过.故C正确；
对于D,因为，
所以当时，无法推断种群二中药物A对预防疾病B有效，故D错误.
故选：C.
7. 已知双曲线的左、右焦点分别为是上的一点，为线段的中点．若，则的离心率为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由双曲线定义、离心率公式即可求解.
【详解】记的焦距为，依题意，，，
因为为等腰三角形，所以，所以，
故，所以．
故选：C．
8. 不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求定义域，变形得到，设，求导，得到在上单调递增，．设，得到的单调性，，因此.
【详解】函数定义域为．
不等式．
设，求导得，
当时，，函数在上单调递增，．
设，则，当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，，
因此，于是，
则，
所以的取值范围为．
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分．部分选对的得部分分．有选错的得0分．
9. 在空间直角坐标系中，为坐标原点，，，．记在方向上的投影向量为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项，计算出，设，根据得到方程，求出，A正确；B选项，计算出，结合A选项得到不平行；C选项，利用空间向量夹角余弦公式计算出答案；D选项，根据投影向量公式进行求解.
详解】A选项，，
设，则，
，即，
所以，解得，故，A正确；
B选项，，
又，设，则，无解，
故不平行，B错误；
C选项，，，
，
，C正确；
D选项，在方向上的投影向量为，D正确.
故选：ACD
10. 设，已知随机变量的分布列如下表，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 的值最大
C. 随着p的增大而增大D. 当时，
【答案】AD
【解析】
【分析】根据的范围可判断选项A正确；
给取特殊值验证选项B错误；
求出，根据二次函数的单调性进行判断选项C；
根据方差公式求出，从而判断选项D.
【详解】，所以A正确；
令，则，，所以B错误；
由题意得，
因为，所以随着p的增大而减小，所以C错误；
当时，，
，所以D正确.
故选：AD.
11. 已知正四面体的顶点均在一个底面半径为1的圆柱侧面上（圆柱的高足够大），且点到圆柱下底面的距离相等，则该四面体的边长的取值可以是（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据正四面体和圆柱的图形特征求解.
【详解】由于到圆柱下底面的距离相等，故在平行于底面的一个截面圆上，
①若在与平行于底面的一个截面圆上一边，易知在平行于底面的截面上．
根据正四面体性质可知投影到底面圆上分别为时,
此时显然可知与互相平分且垂直，
因此与为底面圆上两条互相垂直的直径，因此；
②若在与平行于底面的一个截面圆上两边，如图（1），

设正四面体的棱长为，过的中点以及的平面，
则，取中点为，，，，
由于平面，平面，故，
因此AN=AC2−CN2=a2−a22=32a，
由于，则，
故NM=AN2−AM2=322−a22=22a，
如图（2）：在过且平行于圆柱底面的截面圆中，
由勾股定理可得，解得，
综上可得或．

故选：BC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于________．
【答案】3
【解析】
【详解】由已知可得，－f(1)＋g(1)＝2，
f(1)＋g(1)＝4，两式相加解得，g(1)＝3.
13. 已知函数的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】设，得到且，把函数转化为ft=12(t+1)2,t∈[−2,2]，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】设，
则，可得，
因为fx=csx−sinx−sinxcsx+1，
可得ft=t+t2−12+1=12t2+t+12=12(t+1)2,t∈[−2,2]
当时，函数取得最大值，最大值为f2=32+2，
即函数的最大值为.
故答案为：.
14. 在平面直角坐标系中，定义，两点的“距离”为．其中LA,B=x1−x2+y1−y2．已知定点，Nd,0d>0．动点满足LP,M+LP,N=2m．其中.记的轨迹为“椭圆”．为“焦点”．已知数列，，均为正项数列，，椭圆，记以Mn−dn,0，Nndn,0为“焦点”的“椭圆”为，的边均与相切，且的顶点均在上，若是等比数列，则的离心率是______．
【答案】##
【解析】
【分析】通过分析“椭圆”的定义，结合椭圆的性质，找出数列，，之间的关系，再利用等比数列的性质，求解的离心率.
【详解】由题意可得x+dn+x−dn+2y=2m，
易知“椭圆”关于轴，轴，原点对称.
只需考虑第一象限即可，此时y=−x+m,dn≤x≤mm−dn,0≤x