2025年陕西省初中学业水平模拟考试数学试卷（附答案解析）

这是一份2025年陕西省初中学业水平模拟考试数学试卷（附答案解析），共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．的倒数是（ ）
A．B．C．D．
2．2025年乙巳蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，下图为春晚主标识、将两个“巳”字如图摆放，恰似中国传统的如意纹样．双巳合璧，事事如意，它采用的基本数学变换是（ ）
A．平移B．旋转C．轴对称D．位似
3．如图，将矩形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点G处，折痕为，若，那么的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．不等式的正整数解有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
5．如图，在中，，平分，，若，，则的长为（ ）
A．16B．18C．20D．22
6．已知点和点关于x轴对称，一个正比例函数的图象经过点A，则这个正比例函数的表达式为（）
A．B．C．D．
7．河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡比为，则的长为（ ）
A．6米B．米C．米D．米
8．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，下面结论正确的是（ ）
A．
B．若点在此抛物线上，则
C．
D．若点在此抛物线上且，则
二、填空题
9．分解因式：
10．如图，在中，，，为中线，，则 ．
11．如图，、分别为相切于点、，的切线分别交、于点、，切点在上，若的周长为18，则长是 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过等腰直角的一个顶点，点在轴上，，，轴，则的值为 ．
13．如图，在中，，以为边，在右侧作正方形，对角线与相交于点O，连接，则的最大值为 ．
三、解答题
14．计算：．
15．先化简，再求值：，其中．
16．解方程：．
17．如图，已知，点在上．若，请用尺规作图法，在射线上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法）
18．如图，在矩形中，点M是上一点，连接，且，于点N，求证：．
19．九年级语文组举行诗歌朗诵比赛，24位参赛选手抽签决定比赛内容．在一个不透明的盒子里放有四张大小、形状及质地相同的卡片，卡片上分别写有A．《沁园春·雪》毛泽东，B．《七律·长征》毛泽东，C．《乡愁》余光中，D．《你是人间四月天》林徽因四首诗．
(1)初赛时，每位选手随机抽取一张卡片，记录下内容后再放回．24次抽签中抽到毛泽东诗词的有10次．则抽到毛泽东诗词的频率是__________．
(2)决赛时，小远和小航两名并列第一要赛出一个特等奖，为了避免内容重复，小远先从盒子中随机抽取一张卡片，小航再从余下的卡片中随机抽取一张，用列表法或树状图法求两人恰好都抽到毛泽东诗词的概率．
20．袁隆平，“共和国勋章”获得者，中国工程院院士，“中国杂交水稻之父”，一生致力于对水稻的研究．现有、两块试验田各30亩，块试验田种植普通水稻，块试验田种植杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的倍，两块试验田单次共收获水稻56100千克，求杂交水稻的亩产量是多少千克？
21．如图，某商场开业当天，在商场门前的广场上举行无人机表演，某一时刻，甲在商场的楼顶C处观测到其中一架无人机D的仰角为，同一时刻，乙在A处观测到无人机D的仰角为，已知乙的位置A到商场的距离，商场的高度，，，点A、B、C、D、E都在同一平面上，求此时无人机的高度DE．（结果取整数，参考数据：，，，）
22．某公司开发出一款新的节能产品，成本价为5元／件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月（30天）的试营销，售价为7元／件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象：图中的折线表示日销售量（件）与销售时间（天）之间的函数关系．
(1)分别求出段和段所对应的函数表达式；
(2)试营销这段时间，日销售利润不低于640元的天数共有多少天？
23．“元宵节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“元宵”的习俗．某超市为在元宵节前对购进的元肖袋数作出计划，在该超市附近某居民区对该居民区每户去年购买元宵的袋数进行了抽样调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请根据以上信息回答：
(1)补全条形统计图，所调查居民中去年购买元宵袋数的众数是______袋，中位数是______袋；
(2)求所调查的居民去年平均每户购买元宵的袋数；
(3)若该居民区共有6000户居民，请估计该居民区去年购买2袋元宵的户数．
24．如图，是的直径，点，在上，过点作的切线与的延长线交于点，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
25．如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以，，，为顶点且以为边的四边形是矩形，求满足条件的点的坐标．
26．【问题探究】
（1）如图1在中，对角线、相交于点，若过点，且与边分别相交于点．设，试确定与之间的函数关系式；
【问题解决】
（2）弓形是一个人工湖，其示意图如图2所示，弓形是由弦和优弧组成，点是优弧所在圆的圆心，是两座石桥（点均在优弧上），点分别是石桥的中点，连接，分别在上取，连接，将与设计为观赏区，记与的面积之和为，已知，圆心到弦的距离为，设．
①求与之间的函数关系式；
②当的长为多少米时，观赏区与的面积之和最大，最大面积为多少？
《2025年陕西省初中学业水平模拟考试数学试卷》参考答案
1．D
【分析】本题考查倒数的概念，理解其概念是解题的关键．
根据倒数的定义计算即可．
【详解】解：根据倒数的定义：若两个数的乘积为1，则这两个数互为倒数；
∴的倒数是．
故选：D．
2．B
【分析】本题考查旋转变换的性质，利用旋转变换的性质解决问题即可．
【详解】解：由图可知：春晚主标识是中心对称图形，可以由一个“巳”绕中心顺时针旋转得到另一个“巳”．
故选：B．
3．C
【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，先根据长方形的性质可得，，由平行线的性质得，再利用平角定义可得，最后根据折叠的性质可得，即可求解；掌握折叠的性质，矩形的性质，平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是长方形，
，，
，
，
，
，
，
由折叠得：，
故选：C．
4．D
【分析】本题考查不等式的解法及整数解的确定．解不等式要用到不等式的性质：（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．先分别求出不等式的解集，然后求其正整数解即可．
【详解】解：∵，
∴
∴正整数解为1，2，3，共3个，
故选：D．
5．A
【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的判定与性质，先证明为等边三角形得到，，再根据等腰三角形的性质得到，，然后计算出，从而得到的长，解题时注意：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．能求出的长是解决问题的关键．
【详解】解： ，
，
为等边三角形，
，，
，平分，
，，
，
，
在中，，
，
，
故选：A．
6．A
【分析】本题考查的是待定系数法求正比例函数的解析式，熟知正比例函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．先求得的坐标，然后设该正比例函数的解析式为，再把点的坐标代入求出的值即可．
【详解】解：点和点关于x轴对称，
，
设该正比例函数的解析式为，
正比例函数的图象经过点，
，解得，
这个正比例函数的表达式是．
故选：A．
7．C
【分析】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理，由坡度的概念可得米，再由勾股定理计算即可得解．
【详解】解：∵堤高米，迎水坡的坡比为，
∴，
∴米，
∴米，
故选：C．
8．B
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征．由抛物线开口方向判断A；由函数的性质判断C；由对称轴可判断B；由抛物线的对称性即可判断D．
【详解】解：∵抛物线的顶点在第二象限，
∴，故选项A不符合题意；
∵抛物线的顶点为，
∴对称轴为直线，
∴，
∴，故选项C不符合题意；
∵对称轴为直线，经过点，
∴抛物线经过另一个点，
∵抛物线开口向下，当时，随的增大而减小，
又∵，
∴，故选项B符合题意；
∵抛物线与轴的交点为，抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴点关于对称轴的对称点为，
∴若点在此抛物线上且，则或，故选项D不符合题意；
故选：B．
9．
【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，根据因式分解的方法：1、提公因式法；2、公式法（完全平方式，平方差公式）；3、“十字相乘”法对其分解即可得到答案．
【详解】解：，
故答案为：．
10．14
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，理解等腰三角形的性质是解题关键．根据等腰三角形的性质得，，再结合三角形内角和定理解得，从而求解．
【详解】解：∵，，为中线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：14．
11．
【分析】本题主要考查切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，再根据三角形的周长进行计算即可．
【详解】解：切相切于点，
，
切相切于点，
，
切相切于点，
，
的周长为18，
，
，
故答案为：．
12．2
【分析】本题考查了反比例函数与几何综合、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握反比例函数的应用是解题关键．先根据等腰三角形的定义、勾股定理可得，，从而可得，再根据等腰三角形的判定可得，利用勾股定理可得，从而可得点的坐标，将其代入反比例函数的解析式求解即可得．
【详解】解：∵是等腰直角三角形，，，
∴，，
∴，
∵轴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
将点代入反比例函数得：，
故答案为：2．
13．/
【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，以及三角形的三边关系，以为边作等腰直角，且，由题意可证，可得，根据三角形的三边关系可求的最大值，即可得的最大值．
【详解】解：如图：以为边作等腰直角，且，
∵四边形是正方形，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，且，
∴，
∴，
若点A，点B，点F三点不共线时，；
若点A，点B，点F三点共线时，，
∴，
∴的最大值为9，
∵，
∴的最大值为．
故答案为：．
14．2
【分析】本题考查二次根式的混合运算、立方根、绝对值，根据相关运算法则正确求解即可．
【详解】解：
．
15．；
【分析】本题考查分式的化简求值．根据分式的减法和除法进行运算，再利用提公因式和完全平方公式进行因式分解，再化简化式子，然后将代入化简后的式子后，即可解答．
【详解】解：
，
当时，原式．
16．
【分析】本题考查了解分式方程，方程左右两边同时乘以，去分母，去括号，移项并合并同类项即可，最后要检验．
【详解】解：
方程左右两边同时乘以，得，
∴
即
解得：
经检验，是原方程的解，
故方程的解为．
17．见详解
【分析】该题主要考查了尺规作垂线，解题的关键是掌握尺规作垂线的方法．
过点C作的垂线交于点，点即为所求．
【详解】解：如图，点即为所求．
由作图可得，
∵，
∴，
∴．
18．见解析
【分析】本题考查矩形的性质及全等三角形的判定和性质，正确找出三角形全等的条件是解题的关键．
根据四边形是矩形，可得，，进而可得，即以证明，可得结论．
【详解】证明：∵四边形是矩形，，
，，
．
在和中，
，，，
，
．
19．(1)
(2)2
【分析】本题主要考查了频率和列表法与树状图法，利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
（1）用抽到毛泽东诗词的次数除以总次数即可；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出两人都抽到毛泽东诗词的结果数，然后根据概率公式计算．
【详解】（1）解：（1）抽到毛泽东诗词的频率；
故答案为：；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中两人都抽到毛泽东诗词的结果数为2，
所以两人恰好都抽到毛泽东诗词的概率．
20．杂交水稻的亩产量是千克
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设普通水稻的亩产量是千克，则杂交水稻的亩产量是千克，根据两块试验田单次共收获水稻56100千克，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，再将其代入中，即可求出结论．
【详解】解：设普通水稻的亩产量是千克，则杂交水稻的亩产量是千克，
根据题意得：，
即，
解得：，
∴．
答：杂交水稻的亩产量是千克．
21．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质．熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键．
过点作，则四边形是矩形，根据，设，，分别表示相关边，，，代入三角函数值并求解x即可．
【详解】解：过点作，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴．
，
设，
则，，．
在中，
，即，
解得，
，
此时无人机的高度为．
22．(1)段所对应的函数表达式为；段所对应的函数表达式为
(2)试营销这段时间，日销售利润不低于640元的天数共有11天
【分析】本题考查一次函数的应用．用到的知识点为：函数图象为过原点的直线（射线，线段），函数解析式可设为：，函数图象为任意直线（射线，线段），函数解析式可设为：．
（1）段的函数为正比例函数，设，把点代入可求得的值，进而可得段的函数解析式；段的函数为一次函数，可设，把点和点代入可得和的值，即可求得段的函数解析式；
（2）若日销售利润为640元，则销售量为：（件，把分别代入（1）中得到的两个函数解析式中，可求得相应的时间，即可求得日销售利润不低于640元的天数．
【详解】（1）解：设段所对应的函数表达式为，
将代入 中，得：
．
解得：，
段所对应的函数表达式为：．
设段所对应的函数表达式为．
经过点，，
．
解得：．
段所对应的函数表达式为：；
（2）（件．
在段，当时，，
解得：．
在段，当 时，，
解得：．
（天．
试营销这段时间，日销售利润不低于640元的天数共有11天．
23．(1)图见解析，2，2
(2)1.98袋
(3)2400户
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图综合，用样本估计总体，众数，中位数等知识，灵活运用各知识点是解答本题的关键．
（1）先根据购买4袋的情况求出调查的总户数，再求出购买3袋的户数，可补全条形统计图；根据中位数和众数的定义求出中位数和众数即可；
（2）根据平均数的计算方法求解即可；
（3）用6000乘以样本中购买2袋的户数所占的比例即可．
【详解】（1）解：户，
户，
补全条形统计图如下：
∵从小到大排列后排在100和101位的数都是2，
∴中位数是2．
∵2出现了80次，出现的次数最多，
∴众数是2．
故答案为：2，2；
（2）（袋），
∴所调查的居民去年平均每户购买元宵1.98袋．
（3）解：（户），
∴估计该居民区去年购买2袋元宵的有2400户．
24．(1)证明过程见详解
(2)
【分析】（1）如图所示，连接，由圆周角定理得到，根据切线的性质得到，根据直角三角形两锐角互余，直径所对圆周角为直角得到，由此即可求解；
（2）设，则，由解得，在中，由勾股定理得到，则，，，再证明，得到，即可求解．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∴，
∵点是的切点，
∴，
在中，，
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：设，则，
∵，
∴，
解得，，
在中，，
∴，
解得，（负值舍去），
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，即，
解得，．
【点睛】本题主要考查切线的性质，圆周角定理，直径所对圆周角是直角，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质是解题的管家．
25．(1)
(2)点的坐标为或
【分析】（1）将点，代入得到关于、的二元一次方程组，求解即可；
（2）分两种情况，分别根据等腰三角形的判定和性质、平移和矩形的性质解答即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，，
∴，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）∵将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，
∴，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线与轴交于点，
∴，
∵，，
∴，，
①如图，当为矩形一边，且点在轴的下方，过作轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵在的对称轴直线上，，
∴，，
∴，
∴，
∴点，
∴点向右平移个单位，向下平移个单位可得到点，
∴点向右平移个单位，向下平移个单位可得到；
②当为矩形一边，且点在轴的上方，的对称轴直线与轴交于点，
∴，，
∵在的对称轴直线上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点向左平移个单位，向上平移个单位可得到点，
∴点向左平移个单位，向上平移个单位可得到点；
综上所述，点的坐标为或时，以，为顶点，且以为边的四边形是矩形．
【点睛】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的性质及图像的平移，平移的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，两点间距离等知识点，掌握二次函数的性质和矩形的性质是解题的关键．
26．（1）；（2）①；②当的长为时，和的面积和最大，最大面积为．
【分析】如图，过O点作于点H，由角的直角三角形的性质得出，再由勾股定理即可得出所求解析式；
如图，过O点作于H点，连，，由勾股定理和垂径定理可得出和，进而即可得解，化简为顶点式，利用二次函数的性质即可得解．
【详解】，
，
，
，
对角线、相交于点，
，
如图，过O点作于点H，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴y与x的函数关系式为：；
如图，过O点作于H点，连，，
∵为的弦，
∴，，
在中,，
∴，
∴，
∵为的弦且分别为中点，
∴，
∵、，
∴和都为等腰直角三角形，
在中,，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中,，
∴，
∴，
∴，
，
当时，S有最大值，最大值为，
∴当的长为时，和的面积和最大，最大面积为．
【点睛】本题主要考查了角的直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
D
B
C
D
A
A
C
B