2025年陕西省初中学业水平模拟考试数学试卷（附答案解析）

这是一份2025年陕西省初中学业水平模拟考试数学试卷（附答案解析），共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．计算：（ ）
A．B．C．D．
2．下列图形的对称轴最少的是（ ）
A．菱形B．正方形C．圆D．等边三角形
3．如图，已知，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．计算：（ ）
A．B．C．D．
5．当时，正比例函数与一次函数的图象交点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．如图，在中，D，E分别为边的中点，连接并延长至点F，使得，再连接，交于点M，若，则的长为（ ）
A．3B．4C．4.5D．
7．一半径为的小球放在一个无盖的长方体盒子上，其主视图如图所示．已知边的长为，边的长为，则圆到边的最短距离为（ ）
A．B．C．D．
8．已知二次函数的表达式为（为常数），当时，，在自变量满足的取值范围时，对应函数值的最小值为，则的值为（ ）
A．B．C．或D．或
二、填空题
9．已知实数的绝对值为，且在数轴上对应点的位置位于原点左侧，则表示的数为 ．
10．如图，在正六边形中，连接，，则的度数为 ．
11．如图，四边形是菱形，对角线与相交于点O，，，于点E，则的长为 ．
12．如图，直线与反比例函数的图象在第二象限内交于点，并交轴于点，交轴于点，知，若，则值为 ．
13．如图，正方形的边长为2，是的中点，，是对角线上的两个动点，且，连接，，则的最小值为 ．
三、解答题
14．计算：
15．求不等式的最大整数解．
16．化简．
17．如图，在Rt△ABC中，，请用尺规作图的方法作一条过点A的直线，将Rt△ABC分为两个等腰三角形．（不写作法，保留作图痕迹）
18．如图，在中，为的中线，延长至点，使得，连接．求证：．
19．文学作品中经常使用对仗的手法，比如“天对地，雨对风，大陆对长空，山花对海树，赤日对苍穹”……现将A大陆，B长空，C赤日，D苍穹四个词语分别写在材质，大小完全相同的四张卡片上，洗匀后卡片背面朝上．
(1)如果小明先抽取到一张写有A大陆的卡片，那么在剩下的三张卡片中，随机再抽取一张，恰好抽到B长空，使得对仗工整的概率是 ．
(2)小王将四张卡片洗匀后随机抽取两张，请用列表或画树状图的方法求抽到两张卡片上的词语刚好对仗工整（不考虑词语被抽到的先后性）的概率是多少？
20．某车间现有19名工人，加工某种由一个杯盖和一个杯身组成的水晶杯，已知该车间工人每人每天可加工16个杯盖或22个杯身．请问如何分配工人才能恰好使每天加工的杯盖和杯身刚好配套？
21．星期天小秦带着测角仪，皮尺和平面镜去公园测量一路灯的高度．如图所示，小秦先将测角仪放在地面点C处，从点D处测得路灯顶端A的仰角为，他挪开测角仪后，又将一平面镜（平面镜大小忽略不计）放在地面点C处，并自点C处向后退2.4米到达点F，此时小秦刚好可以从平面镜中看到路灯顶端A的像，已知测角仪的高为1.8米，小秦眼睛到地面的高度为1.6米，请你根据以上数据，帮助小秦求得路灯的高度（参考数据：）
22．新学期，蒋老师要为学校购买一批消毒液现有两个卖场给出不同的优惠方案，甲卖场：每瓶消毒液可打八折；乙卖场：前瓶消毒液原价销售，之后每瓶可打七折．两家消毒液的报价均为元每瓶．假设蒋老师要购买瓶消毒液，预计总花费元．
(1)请你帮助蒋老师分别求出，在甲、乙两个卖场购买这种消毒液时与之间的函数关系式；
(2)若学校确定购进消毒液瓶，请问蒋老师到哪个卖场买更划算？
23．年月日，中国探月工程嫦娥六号探测器在人类历史上首次实现月球背面采样返回．某中学为了增加学生对此次探月工程知识的掌握情况，随机抽取部分学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下：
．成绩频数分布表：
．成绩在这一组的具体分数是（单位：分）：
请根据以上信息回答下列问题：
(1)本次测试共抽了 名学生；
(2)本次测试成绩的中位数是 分；
(3)若成绩在分及以上为优秀，该学校总共有名学生，估计该学校成绩优秀的学生有多少名？
24．如图，为内接三角形，已知的半径为，为延长线上一点，连接，则有．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的值．
25．周末，甲乙二人相约在操场进行一场羽毛球的友谊赛，如图，甲站在地面上点处，在点正上方米的点处将球发出，羽毛球的飞行轨迹可近似的看做一条抛物线，当羽毛球水平飞出米远时，距地面的垂直高度为米，此时为整个飞行轨迹的最高点．
(1)若设羽毛球的飞行高度为（），距点的水平距离为（），建立平面直角坐标系，求羽毛球飞行轨迹所在抛物线的表达式；
(2)若距点米远的点处立有羽毛球网，球网顶部距地面米，请你通过计算判断此次发球能不能飞过球网．
26．问题提出
（）如图，为的内接三角形，已知的半径为，当点在弦所对的优弧上移动时，边的最大值为 ，若，则 ；
问题解决
（）如图，一块空地由三条线段和一条弧线围成，政府准备将这块空地改建为公园，并在公园内修建四条供市民健身用的步道和，其中步道的两个入口点分别位于边和上，另外两个入口分别为点，经过测量得知所对扇形的半径为千米，千米，千米，且．请问是否存在一种规划方案，使得四条跑道总长度最大？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．
成绩（分）
频数
《2025 年陕西省初中学业水平模拟考试数学试卷》参考答案
1．C
【分析】本题考查了有理数的加法运算，根据有理数的加法运算法则计算即可求解，掌握有理数的加法运算法则是解题的关键．
【详解】解：，
故选：．
2．A
【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．
根据轴对称图形的定义判断即可．
【详解】解：菱形有条对称轴，正方形有条对称轴，圆有无数条对称轴，等边三角形有条对称轴，
对称轴最少的是菱形，
故答案为：A．
3．A
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，延长交于，由平行线的性质可得，进而根据三角形的外角性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：如图，延长交于，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：．
4．B
【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据多项式除以单项式的运算法则计算即可求解，掌握多项式除以单项式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：，
故选：．
5．D
【分析】本题考查了一次函数的图象，根据的值分别得出两函数图象经过的象限，进而即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴正比例函数的图象经过二、四象限，一次函数的图象经过一、三、四象限，
∴两函数的图象相交于第四象限，
故选：．
6．B
【分析】本题考查了三角形中位线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，根据题意易证是的中位线，设，求出，，证明，推出，即可解答．
【详解】解：、E分别是、的中点，
是的中位线，
，，
设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
E是的中点，，
∴，
∴，
故选：B．
7．C
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，设点为圆心，过点作于，交于点，交于点，连接，则的长为到边的最短距离，由垂径定理得，由勾股定理得，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，设点为圆心，过点作于，交于点，交于点，连接，则的长为到边的最短距离，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴圆到边的最短距离为，
故选：．
8．B
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由二次函数解析式得，即得该函数的对称轴为直线，函数图象开口向 上， 又由时，，可得，进而分 和两种情况，根据二次函数的性质解答即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数，
∴该函数的对称轴为直线，函数图象开口向 上，
∵当时，，
∴，
解得，
∵当时，的最小值为，
∴当时，时取得最小值，即，
解得，（不合，舍去）；
当时，时取得最小值，即，
解得（不合，舍去）；
综上，的值是，
故选：．
9．
【分析】本题考查了实数与数轴，绝对值的意义，根据绝对值的意义和数轴的特点即可求解，掌握以上知识点的解题的关键．
【详解】解：∵实数的绝对值为，
∴，
又∵在数轴上对应点的位置位于原点左侧，
∴，
故答案为：．
10．#60度
【分析】本题考查了正多边形的性质、等腰三角形的性质以及角度和差计算等知识点，解题的关键在于利用正六边形内角为的性质，通过等腰三角形中等边对等角的原则计算出辅助角度．首先明确正六边形每个内角的度数，再分析和的角度，最后通过角度和差计算．
【详解】解：∵六边形是正六边形，
，，
，
．
．
同理，．
．
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理的应用．注意菱形的面积等于对角线积的一半或底乘以高．首先利用勾股定理求得菱形的边长，然后由菱形的两个面积计算，求得边上的高的长即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴在直角三角形中，，
∴．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，待定系数法求反比例函数解析式，由已知可得，，，进而由可求出点坐标，再代入反比例函数解析式即可求解，利用相似三角形的性质求出点坐标是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，，
∴，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查最短路线问题．取的中点，连接，，，，根据数量关系确定的最小值为的长度，求出的值即可．
【详解】解：如图，取的中点，连接，，
为的中点，
为的中位线，即，且，
正方形的边长为2，
，
，
，
，且，即四边形为平行四边形，
，
连接，，根据正方形的对称性可知，，
，
根据两点间线段最短可得，当点，，在同一直线上时，取得最小值，
即此时的最小值为线段的长度，
连接，则在中，
，，
，
故的最小值为，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握负整指数幂、特殊角的三角函数值是解题的关键．
先根据负整指数幂运算法则、绝对值的意义计算，并把特殊角的三角函数值代入，再计算乘法，最后计算加减即可．
【详解】解：原式
．
15．
【分析】本题考查了求一元一次不等式的整数解，先求出不等式的解集，进而根据解集即可求解，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
【详解】解：去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得，
∴不等式的最大整数解为．
16．
【分析】本题考查了分式的混合运算，根据分式的性质和运算法则计算即可求解，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
．
17．见解析
【分析】作斜边的中垂线可以求得中点，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得．
【详解】如解图，
直线AD即为所求．
【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，关键在于用中垂线求得中点和运用直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，把分割成两个等腰三角形．
18．证明见解析
【分析】本题考查了三角形中线的性质，全等三角形的判定和性质，由三角形中线的性质得，由得，进而证明即可求证，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】证明：∵为的中线，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
19．(1)
(2)
【分析】此题考查了用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，熟记概率公式是解决本题的关键．
（1）利用概率公式解答即可；
（2）先画出树状图得到可能出现的结果，再找出两张卡片上的词语刚好对仗工整的结果数，利用概率公式计算即可得．
【详解】（1）解：根据题意在剩下的三张卡片中，随机再抽取一张，恰好抽到B长空的概率为：；
（2）解：画树状图如下：
由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中抽到的两张卡片上的词语刚好对仗工整的结果数有4种，
∴抽到的两张卡片上的词语刚好对仗工整的概率为．
20．分配人生产杯盖，则人生产杯身刚好配套
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设分配人生产杯盖，则人生产杯身，根据题意列出方程即可求解，正确列出方程是解题的关键．
【详解】解：设分配人生产杯盖，则人生产杯身，
根据题意：，
解得：，
则（人）
答：分配人生产杯盖，则人生产杯身刚好配套．
21．路灯的高度为米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用中仰角俯角问题，解分式方程，矩形的判定，过点D作于点H，根据题意得到，设米，利用正切的定义求出米，证明四边形是矩形，得到，求出米，米，根据题意镜面反射得到，利用正切的定义建立方程求解即可．
【详解】解：过点D作于点H，
由题意得：，米，米，米，
设米，
在中，，
∴米，
∵，
∴四边形是矩形，
∴米，米，
∴米，
根据题意得：，
在中，
∴，
∴，
解得：（经检验，符合题意），
∴米，
答：路灯的高度为米．
22．(1)，
(2)蒋老师到乙卖场买更划算
【分析】（）根据题意列出函数解析式即可；
（）根据（）所求函数解析式，分别求出时的值，比较即可求解；
本题考查了一次函数的应用，根据题意正确列出函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：甲卖场：，
即；
乙卖场：当时，；当时，，
即；
（2）解：当时，
元，元，
∵，
∴蒋老师到乙卖场买更划算．
23．(1)
(2)
(3)名
【分析】（）由信息可得成绩在这一组的频数，进而即可求解；
（）根据中位数定义解答即可求解；
（）用乘以分及以上的学生人数占比即可求解；
本题考查了频数分布表，中位数，样本估计总体，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】（1）解：由信息可得，成绩在这一组的频数为，
∴本次测试共抽的学生人数为名，
故答案为：；
（2）解：∵本次测试共抽了名学生，
∴成绩由低到高排列，中位数为第名和第名学生成绩的平均数，
∴中位数分，
故答案为：；
（3）解：，
答：估计该学校成绩优秀的学生有名．
24．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接并延长交于点，连接，根据直径所对的圆周角等于得，所以，根据等弧对等角得到，再结合，得到，所以，即，即可得证；
（2）由题意得直径，在中，根据解直角三角形的知识得，证明得，代入数据即可求解．
【详解】（1）解：连接并延长交于点，连接，如图所示：
为直径，
，
，
，，
，
，
，即，
又为直径，
为的切线；
（2）解：的半径为，
，
在中，，
，
，，
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定，直径所对的圆周角等于，等弧对等角，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解答本题的关键．
25．(1)
(2)能飞过球网
【分析】（）由题意可得，点为抛物线的顶点，点的坐标为，设抛物线的表达式为，利用待定系数法解答即可求解；
（）求出时的值，进而比较即可判断求解；
本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数表达式是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意可得，点为抛物线的顶点，点的坐标为，
设抛物线的表达式为，
把代入得，，
解得，
∴羽毛球飞行轨迹所在抛物线的表达式为；
（2）解：当时，米，
∵，
∴此次发球能飞过球网．
26．（），；（）存在，最大值为千米
【分析】（）当为的直径时，取最大值，连接，过点作于，利用三角函数可得，进而由等腰三角形的性质即可求解；
（）设所在圆的圆心为，连接，连接并延长，交于点，在上取点，使得，连接，取的中点，连接，证明四边形是的内接四边形，得出，进而即可求解．
【详解】解：（）∵点在弦所对的优弧上移动，
∴当为的直径时，取最大值，
∵的半径为，
∴边的最大值为，
连接，过点作于，则，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：，；
（）解：存在，最大值为千米，理由如下：
如图，设所在圆的圆心为，连接，连接并延长，交于点，在上取点，使得，连接，取的中点，连接，
则千米，
∵千米，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴,
∴，，
∴千米，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点在上，
∴四边形是的内接四边形，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴
∵，，，
∴，
∴，
∴，
当是直径时，取最大值，最大值为，
∵四边形周长，
∴四边形的周长最大值千米，
即四条跑道总长度最大值为千米．
【点睛】本题考查了三角函数，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，垂径定理，圆周角定理等，正确地作出辅助线是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
C
A
A
B
D
B
C
B