北京市中国人民大学附属中学2025-2026学年高三上学期暑假自主复习检测 数学试卷（含解析）

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说明：本试卷21道题，共150分；考试时间120分钟；请在答题纸上填写个人信息，并将条形码贴在答题纸的相应位置上．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）
1. 若复数，则的虚部为（ ）
A. B. C. D. 1
2. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 若圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是钝角，那么其侧面展开所得扇形的圆心角可能是（ ）
A. B. C. D.
4. 若双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
5. 为了得到的图象，只需把图象上所有点（ ）
A. 纵坐标变成原来的2倍，再向右平移3个单位
B. 纵坐标变成原来的2倍，再向左平移3个单位
C. 纵坐标变成原来的，再向右平移3个单位
D. 纵坐标变成原来的，再向左平移3个单位
6. 如果正数满足，那么（ ）
A ，且等号成立时取值唯一
B. ，且等号成立时取值唯一
C. ，且等号成立时取值不唯一
D ，且等号成立时取值不唯一
7. 在无线通信（如路由器信号）中，信号强度会随着传播距离增加而衰减，是信号衰减值（单位：分贝，dB），（单位：米）为信号传播距离、某路由器信号在自由空间（无遮挡、无干扰）中，信号衰减公式可简化为：（为常数），若距离增加一倍，信号衰减值约减少为6dB，信号传播距离从增加到时，测得信号衰减值从变到，则（ ）
A. 5B. 6C. D.
8. 已知无穷数列，，则“中元素存在最小值”是“有最大值”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
9. 若函数满足如下条件，
①任意，
②存唯一，
③存在．
则的值是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知平面直角坐标系中，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．谐把结果填在答题纸上的相应位置．）
11. 抛物线的准线方程_________．
12. 已知等比数列的前项和为，，，，成等差数列，，则的最小值是_________．
13. 已知，则_________；_________．
14. 已知为定义域为的函数，其中为奇函数，为偶函数，下列命题正确的序号是________；
①存在使得恒成立；
②使得恒成立的存在且唯一；
③使得恒成立的存在且唯一；
④满足当时，恒成立有无穷多个．
15. 如图所示多面体中为平面多边形，平面平面，平面平面，，，，．
（1）_________；
（2）若该多面体的体积是，则当该多面体表面积最小时，_________．
三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．请在答题纸上的相应位置作答．）
16. 如图，在四棱锥中，面面，．

（1）证明：平面；
（2）求面与面夹角的余弦值．
17. 在中，．
（1）若，求；
（2）若，在以下三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求边上的高．
条件①：；条件②：；条件③：．
18. 某汽车品牌计划推出两款新车型：纯电动版（EV）和插电混动版（PHEV）在某市随机调查了300名消费者的购买意愿，调查数据按收入水平分组如下表（单位：人）．
假设所有消费者的购买意愿相互独立，用频率估计概率．
（1）从该市全体消费者中随机抽取1人，估计其愿意购买纯电动版（EV）概率；
（2）从该市全体中收入群体和高收入群体中各自随机抽取2人，记为这4人中愿意购买插电混动版（PHEV）的人数，求的分布列和数学期望；
（3）假设该市社区内的低收入，中收入和高收入的消费者人数之比为，从社区的全体消费者中随机抽取1人，将其愿意购买纯电动版（EV）的概率估计值记为，试比较与的大小．
19. 已知椭圆，其中，为椭圆的左焦点．
（1）若椭圆离心率为，求椭圆方程；
（2）点是第一象限内椭圆与直线的公共点，直线与直线交于，直线与轴交于，直线与轴交于，连接，设的面积为，的面积为，试比较与的大小．
20. 已知函数在上可导，且．
（1）当时，求的最小值点；
（2）设函数在处的切线为，求证：恒过定点；
（3）若，且时，单调递减，试问当时，是否恒在直线下方？说明理由．
21. 已知正整数，若正整数集的子集同时满足
条件①：对任意，存在唯一，使得；
条件②：对任意整数，及任意，均存在，使得，则称为 “可表集合组”．
（1）若，则是否为“7可表集合组”？说明理由，
（2）若为 “可表集合组”，求的最小值；
（3）若为“15可表集合组”，求的最大值．车型
低收入群体（20万/年）
中收入群体（20万/年-50万/年）
高收入群体（50万/年）
愿意
不愿意
愿意
不愿意
愿意
不愿意
EV
70
30
70
50
40
40
PHEV
20
80
60
60
60
20