2025-2026学年上海市浦东新区张江集团学校九年级上学期九月月考数学试题

这是一份2025-2026学年上海市浦东新区张江集团学校九年级上学期九月月考数学试题，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在中，，如果，那么等于（ ）
A．B．C．D．
2．下列说法中，错误的是（ ）
A．设为单位向量，那么；
B．如果，那么或；
C．如果，其中，那么；
D．平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解．
3．如图，已知，，那么下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．已知一个单位向量，设是非零向量，那么下列等式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，点在线段上，在的同侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形，与、分别交于点、．对于下列结论：①；②；③．其中正确的结论是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
6．如图，中，，，，某同学进行了如下的操作：以点为圆心，以长为半径画弧，交于点；再以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．他有两个猜想：①点是线段的黄金分割点；②．你的判断是（ ）
A．①②都正确B．①正确，②错误
C．①错误，②正确D．①②都错误
二、填空题
7．一斜坡的坡度是，则此斜坡的坡角为 ．
8．已知锐角，如果，那么 ．
9．如图，直线，，，则的长是 ．
10．在中，，，，那么长为 ．
11．如图，中，G是重心，，，那么
12．如图，已知平行四边形中，是对角线上一点，且．设，，那么向量 （结果用含、的式子表示）．
三、解答题
13．已知如图，，分别是的边，上的点，，，，．求的长度．
四、填空题
14．如图，在中，，点D、E分别在边、上，且，如果，，那么 ．
15．如图，在中，已知线段经过三角形的重心，，四边形的面积为，那么的面积为 ．
16．已知的三条中线相交于点G，，那么的面积等于 ．
17．如图1，在学习三角形的中位线时，我们知道D，E，F分别是三边的中点，且，则三条中位线在三角形内部构成的新三角形，其面积与原三角形面积的比值是；如图2，已知D，E，F分别是三边的三等分点，且，依次连接，则与面积的比值是 ．
18．如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝16，AC＝12，F是DE的中点， 若点E是直线BC上的动点，连接BF，则BF的最小值是 ．
五、解答题
19．计算：．
20．如图，点，在线段上，是等边三角形，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
21．如图，在梯形中，，E是的中点，且，与交于点F．
(1)若，请用m，n来表示；
(2)请直接在图中画出在方向上的分向量（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论）．
22．某数学兴趣小组开展一项综合实践活动，记录如下：
【活动项目】测量山坡上一棵垂直于水平地面的大树的高度．
【测量方案】示意图如图所示：
1．在水平地面上正对大树的方向上选取点，在点处测量大树顶端的仰角；
2．沿方向前进到达坡脚点处，在点处测量大树顶端的仰角；
3．测量之间的距离；
4．测量斜坡的坡角．
【测量数据】
1．在点处测得的仰角为；
2．在点处测得的仰角为；
3．；
4．斜坡的坡角为．
请根据以上方案，计算大树的高度．（结果保留精确值．参考数据：，
23．如图所示，已知的三边分别为，
(1)如果，求证：；
(2)如果，求证：．
24．已知在直角坐标系内的位置如图所示，，双曲线与边交于点，与边交于点的正切值为．
(1)求的值；
(2)连接，求直线的表达式与的面积；
(3)设直线与轴交于点，点在射线上，连接，如果与相似，试求点的坐标．
25．在中，，，垂足为，且，点是边上一动点（点不与点、点重合），连接，过点作，交线段于点，交线段于点．
(1)如图①，求证：．
(2)如图②，若，求的面积．
(3)若，，连接，且与相似，请直接写出的长．
《上海市张江集团学校2025-2026学年上学期数学九月份阶段试卷》参考答案
1．D
【分析】本题主要考查了三角函数的定义，掌握余切函数的定义即可解答．
根据余切的定义求解即可．
【详解】解：如图：在中，，，
∴，即．
故选D．
2．B
【分析】本题考查平面向量，根据平面向量的运算法则和向量的模的定义逐一判断即可．
【详解】解：A. 设为单位向量，那么，说法正确；
B. 如果，只能说明向量的模是向量的模的3倍，方向不一定是相同或相反，所以不能说明或，故说法错误；
C.∵，（为非零向量），
∴，
即，
∴，
∴与平行，故说法正确；
D. 平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解，说法正确．
故选：B．
3．B
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，理解并掌握平行线分线段成比例的计算方法是解题的关键．
根据平行线分线段成比例的计算方法得到，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
A、∵的值不确定，无法比较，故原选项不正确，不符合题意；
B、∵，
∴，
∴，故该选项正确，符合题意；
C、∵的值不确定，故原选项错误，不符合题意；
D、∵的值不确定，故原选项错误，不符合题意；
故选：B ．
4．B
【分析】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据平面向量的性质一一判断即可．
【详解】解：A、与的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意．
B、，计算正确，故本选项符合题意．
C、和的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意．
D、和的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意．
故选：B．
5．D
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，理解等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质是解答关键．
①由等腰直角和等腰直角三边比，根据相似三角形的判定2证明；②通过等积式倒推可知，证明即可；③根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：，是等腰直角三角形，，
，，
．
∵，
∴，
∴，
所以①正确；
∵，
∴．
∵，
∴，
，
∴，
所以②正确；
设与相交于，
则．
∵，
∴，
∴．
是等腰直角三角形，
，
，
∴正确的有①②③，
故选：D．
6．A
【分析】本题考查了黄金分割点，勾股定理，等腰三角形的性质等，利用勾股定理求出，进而得到，即得，根据黄金分割的定义可判断①；由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，，即得，得到，即可判断②，综上即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：①∵，，
∴，
∵，
∴，
由作图可知，，，
∴，
∴，
∴点是线段的黄金分割点，故①正确；
②连接，如图，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∴①②都正确，
故选：．
7．30
【分析】本题考查了解直角三角形的应用--坡度坡比问题．根据坡角的正切坡度，列式可得结果．
【详解】设这个斜坡的坡角为，
由题意得：，
．
故答案为：30．
8．
【分析】本题考查的是锐角三角函数的应用，根据，画图设，则，再求解，从而可得答案．
【详解】解：如图，，，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∴，
故答案为：
9．
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握该定理是解题的关键．
利用平行线分线段成比例定理，结合已知的线段比例和线段长度，求出未知线段长度．
【详解】解：∵
∴
∵ ，
∴
∴
∴
∴
故答案为：．
10．/
【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，熟练掌握正切函数的定义和勾股定理是解题的关键．
先根据正切函数的定义求出的长度，再利用勾股定理求出的长度．
【详解】解：∵ 在中，，，，
∴ ，
解得，
∵
∴
故答案为：．
11．
【分析】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．连接并延长交于E，根据重心的概念和性质得到，进而可得，由题意可得，进而可得，根据相似三角形对应边长的比例相等即可求出．
【详解】解：如图，连接并延长交于E，
∵G是的重心，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了平面向量，平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意可知，求得，再由，求得，最后利用即可求得答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，，
，
故答案为：．
13．6
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题意得到，，可得，然后利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】，，
．
，
∵，，，
，
∴．
14．
【分析】根据，，得出，利用相似三角形的性质解答即可．
【详解】∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
故答案为
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．
15．27
【分析】连接并延长交于，由为的重心，可得，而，有，，故，设，有，即可解得答案．
【详解】解：连接并延长交于，如图：
为的重心，
，
，
，
，，
，
，
设，则，
，
解得，
故答案为：27．
【点睛】本题考查三角形的重心，涉及相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握三角形重心的性质．
16．72
【分析】如图，首先把绕点D作中心对称变换得到，然后根据重心的性质可以分别得到，由此利用勾股定理的逆定理可以证明是直角三角形，即，再利用三角形的面积公式求出，最后可以得到，而，由此即可求解．
【详解】解：如图，把绕点D作中心对称变换得到，
，
，
是直角三角形，即，
，
，
故答案为：72．
【点睛】此题分别考查了旋转的性质、直角三角形的性质、勾股定理的逆定理及三角形的面积公式，其中对于中线问题一般可以尝试中心变换，此题把三条中线的有关线段集中在一起，构造出一个规则图形--直角三角形．
17．
【分析】本题考查三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质．取中点G，中点H，中点I，连接，，，先证，推出，根据等高三角形面积比等于底边长度之比，可得，同理推出，，即可求解．
【详解】解：如图，取中点G，中点H，中点I，连接，，，
，
，，，
，
又，
，
，即，
，
，
同理可证，，
，
综上可知，与的面积的比值为．
故答案为：．
18．8
【分析】根据相似三角形的性质得到∠ADE=∠ABE，推出点A，D，B，E四点共圆，得到∠DBE=90°，根据直角三角形的性质得到，当DE最小时，BF的值最小，DE最小，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：如图，
∵△ABC∽△ADE，
∴∠ADE=∠ABE，
∴点A，D，B，E四点共圆，
∵∠DAE=90°，
∴∠DBE=90°，
∵F是DE的中点，
，
∴当DE最小时，BF的值最小，
∵若点E是直线BC上的动点，
∴当AE⊥BC时，AE最小，此时，DE最小，
∵∠BAC=90°，AB=16，AC=12，
∴BC=20，
，
∵△ABC∽△ADE，
，
，
∴DE=16，
∴BF=8，
故答案为8．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，三角形的面积公式，四点共圆，圆周角定理，直角三角形的性质，确定出当DE最小时，BF的值最小是解题的关键．
19．．
【分析】本题主要考查了特殊三角函数值的运算以及分母有理化，还有四则运算的顺序．熟练掌握特殊三角函数值、分母有理化的方法以及四则运算规则是解题的关键．
本题是一个包含特殊三角函数值的混合运算题，解题思路是先分别将各个特殊三角函数值代入原式，然后按照四则运算的顺序进行计算．
【详解】解：
．
20．(1)见解析
(2)
【分析】此题考查的是相似三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
（1）根据等边三角形的性质可得，由三角形的内角定理证明，即可证明结论；
（2）根据相似三角形的性质及等边三角形的性质可得答案．
【详解】（1）证明：为等边三角形，
．
，
，
．
，
，
，
．
（2）解：，
，
为等边三角形，
设，
，
解得（负值舍去），
．
21．(1)，
(2)见解析
【分析】本题主要考查了向量的线性运算，相似三角形的性质与判定：
（1）根据题意先求出，再由可得；证明，推出，根据，可得；
（2）如图所示，过点C作交于T，则即为所求．
【详解】（1）解：∵E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图所示，过点C作交于T，则即为所求．
22．大树的高度为
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数关系分别表示出相关线段长度，再根据线段之间的关系列方程求解大树高度．
【详解】解：延长交于，则，
∵ 斜坡的坡角为，
∴，
∵，，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即大树的高度为．
23．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形外角的定义与性质等知识，正确作出辅助线，构造相似三角形是解题关键．
（1）延长至，使得，连接，利用“两角对应相等，两个三角形相似”证明，结合相似三角形的性质即可证明结论；
（2）延长至，使得，连接，利用“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”证明，进而可得，再证明，结合三角形外角的性质即可证明结论．
【详解】（1）证明：如图1，延长至，使得，连接，
则有，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴；
（2）证明：如图1，延长至，使得，连接，
∵，
∴，即，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即．
24．(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）先利用点在双曲线上求出的值，再将点代入双曲线解析式求出．
（2）先设出点、的坐标，根据的值和点、在直线上，求出直线的解析式，进而得到点坐标，最后计算的面积．
（3）先求出点坐标，得到直线的解析式，设出点坐标，根据相似三角形的性质分情况讨论求出点坐标．
【详解】（1）解： 双曲线过点，
，
双曲线解析式为，
点在双曲线上，
；
（2）解：设，
∵，
∴，则，
，，，
，即，
设直线的解析式为，
直线过，，，
，
由和，可得，，
代入，解得，
，，，
直线的解析式为，
当时，，
，
，，
，点到（）的距离为，
；
（3）解：在中，令，则，
，
，
直线的解析式为，
设，
，，，，
，，，，
分两种情况：
① 当时，，
，
，
，
点在射线上，
，
，
∴；
② 当时，
∴，
，
，
，
点在射线上，
，
，
∴．
【点睛】本题主要考查了反比例函数、一次函数的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握函数图象上点的坐标特征以及相似三角形的性质是解题的关键．
25．(1)见解析
(2)
(3)的长为或．
【分析】（1）证明，对应边成比例即可解决问题；
（2）由；，可得，设，则，可得，即可解得，，求出，；由三角形面积公式即可解决问题；
（3）与相似，只需或，分两种情况讨论：①当时，②当时，根据相似三角形的判定与性质即可解决问题．
【详解】（1）证明：，，
，
，，
，
，
（2）解：如图：
由（1）知，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得
，
，
，
的面积为；
（3）解：，
与相似，只需或，
①当时，此时如图：，
∵，，，
，，
，

，
设，则
由（1）知：，
解得：负值舍去
；
②当时，如图：
，，
，
，
，，
，
，
是的垂直平分线，
，
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查相似三角形的综合应用、勾股定理、全等三角形的判定及性质以及直角三角形的性质，掌握相似三角形判定定理和分类论讨论思想的应用是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6




答案
D
B
B
B
D
A