宿迁市2024-2025学年中考数学最后一模试卷含解析

这是一份宿迁市2024-2025学年中考数学最后一模试卷含解析，共23页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，二次函数y＝ax2+bx+c等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．当ab＞0时，y＝ax2与y＝ax+b的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC=35°，则∠CAB的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
3．根据中国铁路总公司3月13日披露，2018年铁路春运自2月1日起至3月12日止，为期40天全国铁路累计发送旅客3.82亿人次．3.82亿用科学记数法可以表示为（ ）
A．3.82×107B．3.82×108C．3.82×109D．0.382×1010
4．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，若∠C＝65°，则∠P的度数为( )
A．65°B．130°C．50°D．100°
5．如图，已知，那么下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，直线y＝kx+b与y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣1，0），B（4，0），则函数y＝（kx+b）（mx+n）中，则不等式的解集为（ ）
A．x＞2B．0＜x＜4
C．﹣1＜x＜4D．x＜﹣1 或 x＞4
8．已知，如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，连接AD、BD、DC、AC，如果∠BAD＝25°，那么∠C的度数是（ ）
A．75°B．65°C．60°D．50°
9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y＝﹣x的图象如图所示，则方程ax2+（b+ ）x+c＝0（a≠0）的两根之和（ ）
A．大于0B．等于0C．小于0D．不能确定
10．已知☉O的半径为5，且圆心O到直线l的距离是方程x2-4x-12=0的一个根，则直线l与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
11．一个正方形花坛的面积为7m2，其边长为am，则a的取值范围为（ ）
A．0＜a＜1B．l＜a＜2C．2＜a＜3D．3＜a＜4
12．如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH=（ ）
A．B．C．12D．24
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝_______.
14．如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段 的长为________．
15．三个小伙伴各出资a元，共同购买了价格为b元的一个篮球，还剩下一点钱，则剩余金额为__元（用含a、b的代数式表示）
16．Rt△ABC的边AB=5，AC=4，BC=3，矩形DEFG的四个顶点都在Rt△ABC的边上，当矩形DEFG的面积最大时，其对角线的长为_______．
17．如图，在4×4正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任选取一个白色的小正方形并涂黑，使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是_____．
18．如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（﹣1，0），∠ABO=30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ=，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为__________．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）已知：四边形ABCD是平行四边形，点O是对角线AC、BD的交点，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，连接EC、AF．
（1）求证：DF=EB；（2）AF与图中哪条线段平行？请指出，并说明理由．
20．（6分）小明对,,,四个中小型超市的女工人数进行了统计，并绘制了下面的统计图表，已知超市有女工20人.所有超市女工占比统计表
超市共有员工多少人？超市有女工多少人？若从这些女工中随机选出一个，求正好是超市的概率；现在超市又招进男、女员工各1人，超市女工占比还是75%吗？甲同学认为是，乙同学认为不是.你认为谁说的对，并说明理由.
21．（6分）2018年4月12日上午，新中国历史上最大规模的海上阅兵在南海海域隆重举行，中国人解放军海军多艘战舰、多架战机和1万余名官兵参加了海上阅兵式，已知战舰和战机总数是124，战数的3倍比战机数的2倍少8.问有多少艘战舰和多少架战机参加了此次阅兵.
22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连结AC，过上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连结AE交CD于点F，且EG=FG，连结CE．
（1）求证：∠G=∠CEF；
（2）求证：EG是⊙O的切线；
（3）延长AB交GE的延长线于点M，若tanG =，AH=3，求EM的值．
23．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．求∠CDE的度数；求证：DF是⊙O的切线；若AC=DE，求tan∠ABD的值．
24．（10分）（1）计算：（1﹣）0﹣|﹣2|+；
（2）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别是边BC，AC的中点，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求∠F的度数．
25．（10分）立定跳远是嘉兴市体育中考的抽考项目之一，某校九年级（1），（2）班准备集体购买某品牌的立定跳远训练鞋．现了解到某网店正好有这种品牌训练鞋的促销活动，其购买的单价y（元/双）与一次性购买的数量x（双）之间满足的函数关系如图所示．当10≤x＜60时，求y关于x的函数表达式；九（1），（2）班共购买此品牌鞋子100双，由于某种原因需分两次购买，且一次购买数量多于25双且少于60双；
①若两次购买鞋子共花费9200元，求第一次的购买数量；
②如何规划两次购买的方案，使所花费用最少，最少多少元？
26．（12分）菱形的边长为5，两条对角线、相交于点，且，的长分别是关于的方程的两根，求的值．
27．（12分）如图，已知在梯形ABCD中，，P是线段BC上一点，以P为圆心，PA为半径的与射线AD的另一个交点为Q，射线PQ与射线CD相交于点E，设.
（1）求证：；
（2）如果点Q在线段AD上（与点A、D不重合），设的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）如果与相似，求BP的长.
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、D
【解析】
∵ab＞0，∴a、b同号．当a＞0，b＞0时，抛物线开口向上，顶点在原点，一次函数过一、二、三象限，没有图象符合要求；
当a＜0，b＜0时，抛物线开口向下，顶点在原点，一次函数过二、三、四象限，B图象符合要求．
故选B．
2、C
【解析】
分析：由同弧所对的圆周角相等可知∠B=∠ADC=35°；而由圆周角的推论不难得知∠ACB=90°，则由∠CAB=90°-∠B即可求得.
详解：∵∠ADC=35°，∠ADC与∠B所对的弧相同，
∴∠B=∠ADC=35°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°-∠B=55°，
故选C．
点睛：本题考查了同弧所对的圆周角相等以及直径所对的圆周角是直角等知识.
3、B
【解析】
根据题目中的数据可以用科学记数法表示出来，本题得以解决．
【详解】
解：3.82亿=3.82×108，
故选B．
本题考查科学记数法-表示较大的数，解答本题的关键是明确科学记数法的表示方法．
4、C
【解析】
试题分析：∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠OAP=∠OBP=90°，又∵∠AOB=2∠C=130°，则∠P=360°﹣（90°+90°+130°）=50°．故选C．
考点：切线的性质．
5、A
【解析】
已知AB∥CD∥EF，根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可．
【详解】
∵AB∥CD∥EF，
∴．
故选A．
本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错选其他答案．
6、A
【解析】
设索长为x尺，竿子长为y尺，根据“索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x、y的二元一次方程组．
【详解】
设索长为x尺，竿子长为y尺，
根据题意得：．
故选A．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
7、C
【解析】
看两函数交点坐标之间的图象所对应的自变量的取值即可．
【详解】
∵直线y1＝kx+b与直线y2＝mx+n分别交x轴于点A(﹣1，0)，B(4，0)，
∴不等式(kx+b)(mx+n)＞0的解集为﹣1＜x＜4，
故选C．
本题主要考查一次函数和一元一次不等式，本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．
8、B
【解析】
因为AB是⊙O的直径，所以求得∠ADB=90°，进而求得∠B的度数，又因为∠B=∠C，所以∠C的度数可求出．
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∵∠BAD=25°，
∴∠B=65°，
∴∠C=∠B=65°（同弧所对的圆周角相等）．
故选B．
9、C
【解析】
设的两根为x1，x2，由二次函数的图象可知，；设方程的两根为m，n，再根据根与系数的关系即可得出结论．
【详解】
解：设的两根为x1，x2，
∵由二次函数的图象可知，，
．
设方程的两根为m，n，则
.
故选C．
本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键．
10、C
【解析】
首先求出方程的根,再利用半径长度,由点O到直线a的距离为d,若dr,则直线与与圆相离.
【详解】
∵x2-4x-12=0，
(x+2)(x-6)=0，
解得:x1=-2(不合题意舍去)，x2=6，
∵点O到直线l距离是方程x2-4x-12=0的一个根，即为6，
∴点O到直线l的距离d=6，r=5，
∴d＞r，
∴直线l与圆相离.
故选：C
本题考核知识点：直线与圆的位置关系.解题关键点：理解直线与圆的位置关系的判定方法.
11、C
【解析】
先根据正方形的面积公式求边长，再根据无理数的估算方法求取值范围.
【详解】
解：∵一个正方形花坛的面积为，其边长为，


则a的取值范围为：．
故选：C．
此题重点考查学生对无理数的理解，会估算无理数的大小是解题的关键.
12、A
【解析】
解：如图，设对角线相交于点O，
∵AC=8，DB=6，∴AO=AC=×8=4，BO=BD=×6=3，
由勾股定理的，AB===5，
∵DH⊥AB，∴S菱形ABCD=AB•DH=AC•BD，
即5DH=×8×6，解得DH=．
故选A．
本题考查菱形的性质．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13、48°
【解析】
连接OA，分别求出正五边形ABCDE和正三角形AMN的中心角，结合图形计算即可．
【详解】
连接OA，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠AOB==72°，
∵△AMN是正三角形，
∴∠AOM==120°，
∴∠BOM=∠AOM-∠AOB=48°，
故答案为48°．
点睛：本题考查的是正多边形与圆的有关计算，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键．
14、
【解析】
已知BC=8， AD是中线，可得CD=4， 在△CBA和△CAD中， 由∠B=∠DAC，∠C=∠C， 可判定△CBA∽△CAD，根据相似三角形的性质可得 ， 即可得AC2=CD•BC=4×8=32，解得AC=4.
15、（3a﹣b）
【解析】解：由题意可得，剩余金额为：（3a-b）元，故答案为：（3a-b）．
点睛：本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
16、或
【解析】
分两种情形画出图形分别求解即可解决问题
【详解】
情况1：如图1中，四边形DEFG是△ABC的内接矩形，设DE=CF=x，则BF=3-x
∵EF∥AC，
∴=
∴=
∴EF=(3-x)
∴S矩形DEFG=x•(3-x)=﹣(x-)2+3
∴x=时，矩形的面积最大，最大值为3，此时对角线=．
情况2：如图2中，四边形DEFG是△ABC的内接矩形，设DE=GF=x，
作CH⊥AB于H，交DG于T．则CH=，CT=﹣x，
∵DG∥AB，
∴△CDG∽△CAB，
∴
∴
∴DG=5﹣x，
∴S矩形DEFG=x（5﹣x）=﹣（x﹣）2+3，
∴x=时，矩形的面积最大为3，此时对角线==
∴矩形面积的最大值为3，此时对角线的长为或
故答案为或
本题考查相似三角形的应用、矩形的性质、二次函数的最值等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题
17、
【解析】
如图，有5种不同取法；故概率为 .
18、4
【解析】
首先根据题意正确画出从O→B→A运动一周的图形，分四种情况进行计算：①点P从O→B时，路程是线段PQ的长；②当点P从B→C时，点Q从O运动到Q，计算OQ的长就是运动的路程；③点P从C→A时，点Q由Q向左运动，路程为QQ′；④点P从A→O时，点Q运动的路程就是点P运动的路程；最后相加即可．
【详解】
在Rt△AOB中，∵∠ABO=30°，AO=1，
∴AB=2，BO=
①当点P从O→B时，如图1、图2所示，点Q运动的路程为，
②当点P从B→C时，如图3所示，这时QC⊥AB，则∠ACQ=90°
∵∠ABO=30°
∴∠BAO=60°
∴∠OQD=90°﹣60°=30°
∴AQ=2AC,
又∵CQ=,
∴AQ=2
∴OQ=2﹣1=1,则点Q运动的路程为QO=1，
③当点P从C→A时，如图3所示，点Q运动的路程为QQ′=2﹣，
④当点P从A→O时，点Q运动的路程为AO=1，
∴点Q运动的总路程为：+1+2﹣+1=4
故答案为4.
考点：解直角三角形
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19、（1）见解析；（2）AF∥CE，见解析.
【解析】
（1）直接利用全等三角三角形判定与性质进而得出△FOC≌△EOA（ASA），进而得出答案；
（2）利用平行四边形的判定与性质进而得出答案．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，点O是对角线AC、BD的交点，
∴AO=CO，DC∥AB，DC=AB，
∴∠FCA=∠CAB，
在△FOC和△EOA中
，
∴△FOC≌△EOA（ASA），
∴FC=AE，
∴DC-FC=AB-AE，
即DF=EB；
（2）AF∥CE，
理由：∵FC=AE，FC∥AE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥CE．
此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确得出△FOC≌△EOA（ASA）是解题关键．
20、（1）32（人），25（人）；（2）；（3）乙同学，见解析.
【解析】
（1）用A超市有女工人数除以女工人数占比，可求A超市共有员工多少人；先求出D超市女工所占圆心角度数，进一步得到四个中小型超市的女工人数比，从而求得B超市有女工多少人；
（2）先求出C超市有女工人数，进一步得到四个中小型超市共有女工人数，再根据概率的定义即可求解；
（3）先求出D超市有女工人数、共有员工多少人，再得到D超市又招进男、女员工各1人，D超市有女工人数、共有员工多少人，再根据概率的定义即可求解．
【详解】
解：（1）A超市共有员工：20÷62.5％＝32（人），
∵360°－80°－100°－120°＝60°，
∴四个超市女工人数的比为：80：100：120：60＝4：5：6：3，
∴B超市有女工：20×＝25（人）；
（2）C超市有女工：20×＝30（人）．
四个超市共有女工：20×＝90（人）．
从这些女工中随机选出一个，正好是C超市的概率为＝．
（3）乙同学.
理由：D超市有女工20×＝15（人），共有员工15÷75%＝20（人），
再招进男、女员工各1人，共有员工22人，其中女工是16人，女工占比为＝≠75％．
本题考查了统计表与扇形统计图的综合，以及概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21、有48艘战舰和76架战机参加了此次阅兵.
【解析】
设有x艘战舰，y架战机参加了此次阅兵，根据题意列出方程组解答即可.
【详解】
设有x艘战舰，y架战机参加了此次阅兵，
根据题意，得，
解这个方程组，得 ，
答：有48艘战舰和76架战机参加了此次阅兵.
此题考查二元一次方程组的应用，关键是根据题意列出等量关系进行解答.
22、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.
【解析】
试题分析：（1）由AC∥EG，推出∠G=∠ACG，由AB⊥CD推出，推出∠CEF=∠ACD，推出∠G=∠CEF，由此即可证明；
（2）欲证明EG是⊙O的切线只要证明EG⊥OE即可；
（3）连接OC．设⊙O的半径为r．在Rt△OCH中，利用勾股定理求出r，证明△AHC∽△MEO，可得，由此即可解决问题；
试题解析：（1）证明：如图1．∵AC∥EG，∴∠G=∠ACG，∵AB⊥CD，∴，∴∠CEF=∠ACD，∴∠G=∠CEF，∵∠ECF=∠ECG，∴△ECF∽△GCE．
（2）证明：如图2中，连接OE．∵GF=GE，∴∠GFE=∠GEF=∠AFH，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，∵∠AFH+∠FAH=90°，∴∠GEF+∠AEO=90°，∴∠GEO=90°，∴GE⊥OE，∴EG是⊙O的切线．
（3）解：如图3中，连接OC．设⊙O的半径为r．
在Rt△AHC中，tan∠ACH=tan∠G==，∵AH=，∴HC=，在Rt△HOC中，∵OC=r，OH=r﹣，HC=，∴，∴r=，∵GM∥AC，∴∠CAH=∠M，∵∠OEM=∠AHC，∴△AHC∽△MEO，∴，∴，∴EM=．
点睛：本题考查圆综合题、垂径定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，正确寻找相似三角形，构建方程解决问题吗，属于中考压轴题．
23、（1）90°；（1）证明见解析；（3）1．
【解析】
（1）根据圆周角定理即可得∠CDE的度数；（1）连接DO，根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质易证∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，即可判定DF是⊙O的切线；（3）根据已知条件易证△CDE∽△ADC，利用相似三角形的性质结合勾股定理表示出AD，DC的长，再利用圆周角定理得出tan∠ABD的值即可．
【详解】
解：（1）解：∵对角线AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠EDC=90°；
（1）证明：连接DO，
∵∠EDC=90°，F是EC的中点，
∴DF=FC，
∴∠FDC=∠FCD，
∵OD=OC，
∴∠OCD=∠ODC，
∵∠OCF=90°，
∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，
∴DF是⊙O的切线；
（3）解：如图所示：可得∠ABD=∠ACD，
∵∠E+∠DCE=90°，∠DCA+∠DCE=90°，
∴∠DCA=∠E，
又∵∠ADC=∠CDE=90°，
∴△CDE∽△ADC，
∴，
∴DC1=AD•DE
∵AC=1DE，
∴设DE=x，则AC=1x，
则AC1﹣AD1=AD•DE，
期（1x）1﹣AD1=AD•x，
整理得：AD1+AD•x﹣10x1=0，
解得：AD=4x或﹣4.5x（负数舍去），
则DC=，
故tan∠ABD=tan∠ACD=．
24、（1）﹣1+3；（2）30°．
【解析】
（1） 根据零指数幂、 绝对值、 二次根式的性质求出每一部分的值, 代入求出即可;
（2）根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=,根据三角形内角和定理即可求解;
【详解】
解：（1）原式=1﹣2+3=﹣1+3；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵点D，E分别是边BC，AC的中点，
∴DE∥AB，
∴∠EDC=∠B=60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°﹣∠EDC=30°．
（1） 主要考查零指数幂、 绝对值、 二次根式的性质；
（2）考查平行线的性质和三角形内角和定理.
25、（1）y＝150﹣x； （2）①第一批购买数量为30双或40双．②第一次买26双，第二次买74双最省钱，最少9144元．
【解析】
（1）若购买x双（10＜x＜1），每件的单价＝140﹣（购买数量﹣10），依此可得y关于x的函数关系式；
（2）①设第一批购买x双，则第二批购买（100﹣x）双，根据购买两批鞋子一共花了9200元列出方程求解即可．分两种情况考虑：当25＜x≤40时，则1≤100﹣x＜75；当40＜x＜1时，则40＜100﹣x＜1．
②把两次的花费与第一次购买的双数用函数表示出来．
【详解】
解：（1）购买x双（10＜x＜1）时，y＝140﹣（x﹣10）＝150﹣x．
故y关于x的函数关系式是y＝150﹣x；
（2）①设第一批购买x双，则第二批购买（100﹣x）双．
当25＜x≤40时，则1≤100﹣x＜75，则x（150﹣x）+80（100﹣x）＝9200，
解得x1＝30，x2＝40；
当40＜x＜1时，则40＜100﹣x＜1，
则x（150﹣x）+（100﹣x）[150﹣（100﹣x）]＝9200，
解得x＝30或x＝70，但40＜x＜1，所以无解；
答：第一批购买数量为30双或40双．
②设第一次购买x双，则第二次购买（100﹣x）双，设两次花费w元．
当25＜x≤40时w＝x（150﹣x）+80（100﹣x）＝﹣（x﹣35）2+9225，
∴x＝26时，w有最小值，最小值为9144元；
当40＜x＜1时，
w＝x（150﹣x）+（100﹣x）[150﹣（100﹣x）]＝﹣2（x﹣50）2+10000，
∴x＝41或59时，w有最小值，最小值为9838元，
综上所述：第一次买26双，第二次买74双最省钱，最少9144元．
考查了一元二次方程的应用，根据实际问题列一次函数关系式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
26、．
【解析】
由题意可知：菱形ABCD的边长是5，则AO2+BO2=25，则再根据根与系数的关系可得：AO+BO=−(2m−1)，AO∙BO=m2+3；代入AO2+BO2中，得到关于m的方程后，即可求得m的值．
【详解】
解：∵，的长分别是关于的方程的两根，
设方程的两根为和，可令，，
∵四边形是菱形，
∴，
在中：由勾股定理得：，
∴，则，
由根与系数的关系得：，，
∴，
整理得：，
解得：，
又∵，
∴，解得，
∴．
此题主要考查了菱形的性质、勾股定理、以及根与系数的关系，将菱形的性质与一元二次方程根与系数的关系，以及代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
27、（1）见解析；（2）；（3）当或8时，与相似.
【解析】
（1）想办法证明即可解决问题；
（2）作A于M，于N.则四边形AMPN是矩形.想办法求出AQ、PN的长即可解决问题；
（3）因为，所以，又，推出，推出相似时，与相似，分两种情形讨论即可解决问题；
【详解】
（1）证明：四边形ABCD是等腰梯形，
，
，
，
，
，
，
.
（2）解：作于M，于N.则四边形是矩形.
在中，，
，
，
，
，
.
（3）解：，
，
，
相似时，与相似，
，
当时，，此时，
当时，，此时，
综上所述，当PB=5或8时，与△相似.
本题考查几何综合题、圆的有关性质、等腰梯形的性质，锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形和特殊四边形解决问题，属于中考压轴题.
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