湖南省永州市宁远县第三中学2025^2026学年高三上学期开学考试数学试题[有解析]

这是一份湖南省永州市宁远县第三中学2025^2026学年高三上学期开学考试数学试题[有解析]，共23页。试卷主要包含了已知双曲线等内容，欢迎下载使用。
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知样本数据1，2，2，3，7，9，则2.5是该组数据的（ ）
A. 极差B. 众数C. 平均数D. 中位数
2．已知抛物线上点的纵坐标为1，则到的焦点的距离为（ ）
A. 1B. C. D. 2
3．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则此双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为（ ）
A. B. 2C. D.
4．双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
5．一组数据满足，若去掉后组成一组新数据.则新数据与原数据相比（ ）
A. 极差变大B. 平均数变大C. 方差变小D. 第25百分位数变小
6．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，M，N为双曲线一条渐近线上的两点，为双曲线的右顶点，若四边形为矩形，且，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
7．甲、乙、丙三个地区分别有、、的人患了流感，且、、构成以为公差的等差数列．已知这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一人，在此人患了流感的条件下，此人来自甲地区的概率最大，则的可能取值为（ ）
A. B. C. D.
8．已知双曲线：的左右焦点分别为，过点作直线交双曲线右支于两点（点在轴上方），使得.若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D. 2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．现有甲､乙两家检测机构对某品牌的一款智能手机进行拆解测评，具体打分如下表（满分分）.设事件表示从甲机构测评分数中任取个，至多个超过平均分”，事件表示“从甲机构测评分数中任取个，恰有个超过平均分”.下列说法正确的是（ ）
A. 甲机构测评分数的平均分小于乙机构测评分数的平均分
B. 甲机构测评分数的方差大于乙机构测评分数的方差
C. 乙机构测评分数的第一四分位数为91.5
D. 事件互为对立事件
10．2023年旅游市场强劲复苏，7，8月暑期是旅游高峰期．甲、乙、丙、丁四名旅游爱好者计划2024年暑期在北京、上海、广州三个城市中随机选择一个去旅游，每个城市至少有一人选择．事件M为“甲选择北京”，事件N为“乙选择上海”，则下列结论正确的是（ ）
A. 事件与互斥B.
C. D.
11．棱长为2的正方体中，下列选项中正确的有（ ）
A. 过的平面截此正方体所得的截面为四边形
B. 过的平面截此正方体所得的截面的面积范围为
C. 四棱锥与四棱锥的公共部分为八面体
D. 四棱锥与四棱锥的公共部分体积为
三，填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知 的图象在处的切线与与函数的图象也相切，则该切线的斜率 __________.
13.已知是边长为8的正三角形，是的中点，沿将折起使得二面角为，则三棱锥外接球的表面积为___________．
14.已知是双曲线上任意一点，若到的两条渐近线的距离之积为，则上的点到焦点距离的最小值为__________．
四，解答题：本题共5个小题，共77分。
15，如图，在中，AD平分，且.
（1）求的值；
（2）若，，求的面积.
16，如图所示，是四棱锥的高，四边形为正方形，点是线段的中点，.
（1）求证：；
（2）若点是线段上靠近的四等分点，求直线与平面所成角的正弦值.
17，已知抛物线：，过其焦点作斜率为1的直线交抛物线于，两点，且线段的中点的纵坐标为4.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若不过原点且斜率存在的直线与抛物线相交于、两点，且.求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.
18，高尔顿(钉)板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行､水平间隔相等的圆柱形铁钉(如图)，并且每一排铁钉数目都比上一排多一个，一排中各个铁钉恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央.从入口处放入一个直径略小于两颗铁钉间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉.如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球.
（1）理论上，小球落入4号容器的概率是多少？
（2）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球的个数为，求的分布列.
19，已知函数，其中.
（Ⅰ）若曲线在处的切线与直线平行，求实数的值；
（Ⅱ）讨论函数的单调性；
答案
一，选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知样本数据1，2，2，3，7，9，则2.5是该组数据的（ ）
A. 极差B. 众数C. 平均数D. 中位数
【正确答案】D
由题意得众数为，极差，均值，中位数，故D正确.
故选：D.
2．已知抛物线上点的纵坐标为1，则到的焦点的距离为（ ）
A. 1B. C. D. 2
【正确答案】B
抛物线的准线方程为，
又点在抛物线上且纵坐标为，所以点到的焦点的距离为.
故选：B
3．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则此双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为（ ）
A. B. 2C. D.
【正确答案】A
因为双曲线的一条渐近线的倾斜角为，，
所以该渐近线的方程为，所以，
解得或（舍去），所以，
此双曲线的右焦点坐标为，到一条渐近线的距离为.
故选：A
4．双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
由焦距为4可得，即，
所以，可得，即；
则的渐近线方程为.
故选：B
5．一组数据满足，若去掉后组成一组新数据.则新数据与原数据相比（ ）
A. 极差变大B. 平均数变大C. 方差变小D. 第25百分位数变小
【正确答案】C
由于，
故，，……，，，
A选项，原来的极差为，去掉后，极差为，极差变小，A错误；
B选项，原来的平均数为，
去掉后的平均数为，平均数不变，B错误；
C选项，原来的方差为，
去掉后的方差为，
方差变小，C正确；
D选项，，从小到大排列，选第3个数作为第25百分位数，即，
，故从小到大排列，选择第3个数作为第25百分位数，即，
由于，第25百分位数变大，D错误.
故选：C
6．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，M，N为双曲线一条渐近线上的两点，为双曲线的右顶点，若四边形为矩形，且，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
如图，因为四边形为矩形，所以（矩形的对角线相等），所以以MN为直径的圆的方程为.
直线MN为双曲线的一条渐近线，不妨设其方程为，
由解得，或
所以，或，.
不妨设，，又，
所以，.
在△AMN中，，
由余弦定理得，
即，
则，所以，则，
所以.
故选:C.
7．甲、乙、丙三个地区分别有、、的人患了流感，且、、构成以为公差的等差数列．已知这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一人，在此人患了流感的条件下，此人来自甲地区的概率最大，则的可能取值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
设事件、、分别为“此人来自甲、乙、丙三个地区”，
事件、、分别为“此人患了流感，且分别来自甲、乙、丙地区”，
事件为“此人患了流感”．
由题可知，，，，
，
由条件概率公式可得，
，，
由题意可得，即，解得，
故选：D.
8．已知双曲线：的左右焦点分别为，过点作直线交双曲线右支于两点（点在轴上方），使得.若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D. 2
【正确答案】D
如图所示，取的中点，连接，可得，
由，可得，所以，则，
可得，
则，
在与中,
由余弦定理可得：，
因为，所以，
即，解得，即.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．现有甲､乙两家检测机构对某品牌的一款智能手机进行拆解测评，具体打分如下表（满分分）.设事件表示从甲机构测评分数中任取个，至多个超过平均分”，事件表示“从甲机构测评分数中任取个，恰有个超过平均分”.下列说法正确的是（ ）
A. 甲机构测评分数的平均分小于乙机构测评分数的平均分
B. 甲机构测评分数的方差大于乙机构测评分数的方差
C. 乙机构测评分数的第一四分位数为91.5
D. 事件互为对立事件
【正确答案】BD
对于选项A，甲机构测评分数的平均分，
乙机构测评分数的平均分，所以选项A错误，
对于选项B，甲机构测评分数的方差，
，所以选项B正确，
对于选项C，乙机构测评分数从小排到大为：91，92，93，94，95，
又，所以乙机构测评分数的第一四分位数为92，所以选项C错误，
对于选项D，因为甲机构测评分数中有且仅有2个测评分数超过平均分，由对立事件的定义知，事件互为对立事件，所以选项D正确，
故选：BD.
10．2023年旅游市场强劲复苏，7，8月暑期是旅游高峰期．甲、乙、丙、丁四名旅游爱好者计划2024年暑期在北京、上海、广州三个城市中随机选择一个去旅游，每个城市至少有一人选择．事件M为“甲选择北京”，事件N为“乙选择上海”，则下列结论正确的是（ ）
A. 事件与互斥B.
C. D.
【正确答案】BC
对于A，甲选择北京与乙选择上海可能会同时发生，即事件与会同时发生，不互斥，A错误；
对于B，由题意知共有事件个数，事件与的个数均为个，
故，,
则，，即，B正确，
对于C，，C正确；
对于D，，D错误，
故选：BC
11．棱长为2的正方体中，下列选项中正确的有（ ）
A. 过的平面截此正方体所得的截面为四边形
B. 过的平面截此正方体所得的截面的面积范围为
C. 四棱锥与四棱锥的公共部分为八面体
D. 四棱锥与四棱锥的公共部分体积为
【正确答案】ABD
连接与线段上任意一点，过作交于，
所以过的平面截此正方体所得的截面为四边形，A对；

由上分析及正方体结构特征易知：四边形为平行四边形，
若为各线段上的中点时，四边形为菱形，
此时截面最小面积为；
根据正方体对称性，从中点向或运动时，四边形面积都是由小变大，
当与重合时，截面最大面积为；
综上，过的平面截此正方体所得的截面的面积范围为，B对；
令交于，交于，交于，
显然是各交线的中点，若是中点，连接，
所以四棱锥与四棱锥的公共部分为六面体，C错；
其体积，D对.
故选：ABD
三，填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知 的图象在处的切线与与函数的图象也相切，则该切线的斜率 __________.
【正确答案】
函数的图象在处的切线的切点为，
因为，所以切线斜率为，切线方程为，即，
设的图象的切线的切点为，因为，所以切线斜率为，
切线方程为，即，
由题，解得，，斜率为.
故答案为.
13.已知是边长为8的正三角形，是的中点，沿将折起使得二面角为，则三棱锥外接球的表面积为___________．
【正确答案】
在三棱锥中，平面，
由二面角为，，得是正三角形，令其外接圆圆心为，
则，令三棱锥外接球的球心为，球半径为，
则平面，即有，显然球心在线段的中垂面上，令线段的中垂面交于，
则，显然，于是，四边形是平行四边形，且是矩形，
而，因此，
所以三棱锥外接球的表面积.
故
14.已知是双曲线上任意一点，若到的两条渐近线的距离之积为，则上的点到焦点距离的最小值为__________．
【正确答案】
所求的双曲线方程为，则渐近线方程为，
设点，则，
点到的两条浙近线的距离之积为，
解得：，故双曲线方程为：，
故，故双曲线上的点到焦点距离的最小值为．
故．
四，解答题：本题共5个小题，共77分。
15，如图，在中，AD平分，且.
（1）求的值；
（2）若，，求的面积.
【正确答案】（1）3；（2）.
（1）在中，，在中，.
因为AD平分，且，所以.
（2）由正弦定理及（1）可知.
因为，，所以，
.
因为
，
所以.
16，如图所示，是四棱锥的高，四边形为正方形，点是线段的中点，.
（1）求证：；
（2）若点是线段上靠近的四等分点，求直线与平面所成角的正弦值.
【正确答案】（1）见解析；（2）.
（1）因为，，所以.
因为为正方形，所以，
又因为，所以.
因为，所以.
因为，故，而为线段的中点，
所以，
又因为，所以.
而，故；
（2）因为，，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形的边长为2，则，，，，，
∴，，
设为平面的法向量，则
所以取，则，而，
故直线与平面所成角的正弦值为
17，已知抛物线：，过其焦点作斜率为1的直线交抛物线于，两点，且线段的中点的纵坐标为4.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若不过原点且斜率存在的直线与抛物线相交于、两点，且.求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.
【正确答案】（1）；（2）.
（1）设，两点的坐标分别为，，
则，，两式相减得.
即，
又线段的中点的纵坐标为4，直线的斜率为1，∴，∴.
即抛物线的标准方程为.
（2）设直线：与抛物线：交于点，，
则，
，∴，
∴，，
由得，即，，
直线为，∴过定点.
18，高尔顿(钉)板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行､水平间隔相等的圆柱形铁钉(如图)，并且每一排铁钉数目都比上一排多一个，一排中各个铁钉恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央.从入口处放入一个直径略小于两颗铁钉间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉.如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球.
（1）理论上，小球落入4号容器的概率是多少？
（2）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球的个数为，求的分布列.
【正确答案】（1）；（2）分布列答案见解析.
（1）记“小球落入4号容器”为事件，
若要小球落入4号容器，则需要在通过的四层中有三层向右，一层向左，
∴理论上，小球落入4号容器的概率.
（2）落入4号容器的小球的个数的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
的分布列为
19，已知函数，其中.
（Ⅰ）若曲线在处的切线与直线平行，求实数的值；
（Ⅱ）讨论函数的单调性；
【正确答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）答案见解析；
（Ⅰ），∵曲线在处的切线与直线平行，
∴，即，故；
（Ⅱ）函数的定义域为.
当时，恒成立，故在上单调递增；
② 当时，，令，得.
∵，∴方程有两不等实根.
∵，，∴.
令，得或；令，得.
综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增.
另法（常规方法）：讨论的符号.
当，即时，恒成立，则，在上递增；
② 当，即或时，方程有两不等实根.
（i）当时，由知，则恒成立，故在上递增；
（ii）当时，由知，
令，得或；令，得.
故在、上递增，在上递减.
综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增.
机构名称
甲
乙
分值
90
98
90
92
95
93
95
92
91
94
机构名称
甲
乙
分值
90
98
90
92
95
93
95
92
91
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0
1
2
3