湖南省邵阳市武冈市第十中学2025^2026学年高三上学期开学摸底检测数学试题[有解析]

这是一份湖南省邵阳市武冈市第十中学2025^2026学年高三上学期开学摸底检测数学试题[有解析]，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．[5分]为虚数单位，的值为（ ）
A．B．5C．2D．4
2．[5分]已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．[5分]已知，，则（ ）．
A．B．C．D．
4．[5分]不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
5．[5分]已知函数，则（ ）
A．B．0C．D．1
6．[5分]某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌、跳舞、书法是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项，经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为（ ）
A．27B．23C．25D．29
7．[5分]已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线垂直于的一条渐近线，且与的左、右两支分别交于点，若，则的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．[5分]已知各项均为正数的等比数列中，若，则＝（ ）
A．2B．3C．4D．9
二、多选题（本大题共3小题，共15分）
9．[5分]已知中，内角，，所对的边分别为，，，则下列命题中，正确的命题是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则；反之，若，则
C．，，，要使此三角形的解有两个，则的取值范围为
D．，角的平分线交边于，且，则的最小值为12
10．[5分]设抛物线的焦点为，若直线与交于，两点，其中为第一象限内的点，与的准线交于点，则（ ）
A．B．C．D．
11．[5分]某同学抽取一个学习小组统计这些同学本学期的用笔情况，结果如下表：
则关于这名学生本学期的用笔数量，下列说法正确的是（ ）
A．中位数是支B．平均数是支C．众数是支D．方差是
三、填空题（本大题共3小题，共15分）
12．[5分]已知向量，．若，则 ．
13．[5分]一个被染满颜料的蚂蚱从数轴上的原点开始跳动，每次跳跃有等可能的概率向左或向右跳动1个单位长度，蚂蚱所在的点会留下颜色，则蚂蚱跳动4次后染上颜色的点数个数X的期望 .
14．[5分]如图，两个正方形ABCD，CDEF的边长都是2，且二面角为60°，M，N为对角线AC和FD上的动点，且满足，则线段MN长的最小值为 ．
四、解答题（本大题共5小题，共80分）
15．[10分]为了研究臭氧效应，先选取40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，将试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）.试验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量为
试验组的小白鼠体重的增加量为
（1）求40只小白鼠体重的增加量的中位数，并分别统计两样本中小于与不小于的数据的个数，完成如下列联表：
（2）根据（1）中的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？
附：，其中.
16．[16分]设函数.
（1）若，求的单调区间；
（2）若，当时，不等式恒成立，求的取值范围.
17．[20分]已知椭圆：（）的右焦点为，且点到长轴两个端点的距离分别为和，为坐标原点.
（1）求的方程.
（2）过点且不与轴重合的直线与交于两点.
（ⅰ）若的面积为，求的方程；
（ⅱ）若线段的中点为，在点处分别作的切线，两切线相交于点，求证：，，三点共线.
18．[18分]在四棱锥中，底面是正方形，与交于点O，底面，为的中点.

（1）求证：//平面；
（2）求证：；
（3）若在线段上是否存在点，使平面？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由．
19．[16分]已知函数．
（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；
（2）若函数在区间上的值域为，求m的取值范围．
答案
1．【正确答案】A
【详解】因为，
所以.
故选A.
2．【正确答案】D
【详解】，又，
，
则，不包含于，不包含于，．
故选D．
3．【正确答案】B
【详解】因为，所以，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，，
所以，所以．
故选B．
4．【正确答案】D
【详解】不等式可化为，
等价于，
解得或，
所以原不等式的解集为.
故选D.
5．【正确答案】D
【详解】由题设.
故选D
6．【正确答案】A
【详解】作出韦恩图，如图所示，
可知5人只喜欢唱歌，2人只喜欢跳舞，1人只喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞但不喜欢书法的有10人，同时喜欢唱歌和书法但不喜欢跳舞的有4人，
同时喜欢跳舞和书法但不喜欢唱歌的有3人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为.
故选A.
7．【正确答案】A
【详解】由AB=AF1,AF2−AF1=2a，可得，连接，则．
设双曲线的渐近线方程为，即，右焦点为，
右焦点到渐近线的距离为bc±a×0a2+b2=b，
因为垂直于的一条渐近线，所以．
在中，由余弦定理可得BF12=BF22+F1F22−2BF2F1F2cs∠BF2F1，
即，化简整理得，
解得或（舍去），故的渐近线方程为y=±bax=±1+3x．
故选A.
8．【正确答案】C
【详解】由题意得，由等比中项性质得，
故.
故选C
9．【正确答案】BCD
【详解】对于A，若，则，所以，所以或，
所以为等腰三角形或直角三角形，A选项错误；
对于B，由正弦定理得，若，则，所有；反之，若，则，所有，B选项正确；
对于C，因为，，，所以，所以，要使此三角形的解有两个，
则，所以，则的取值范围为，C选项正确；
对于D，因为，角的平分线交边于，且，
则，所以，所以，
所以，所以，
当且仅当时，取的最小值为12，D选项正确.
故选BCD.
10．【正确答案】AC
【详解】因为抛物线的焦点为，所以，解得，A正确；
易知的准线方程为，由x=−122x−y−1=0解得，则D−12,−2，B错误；
由上可知，，联立方程组y2=2x2x−y−1=0，整理得，
设，，则，
因为在直线上，所以，C正确；
又DF=−12−122+−2−02=5，
其中为第一象限内的点，则为第四象限内的点，
则，所以，D错误.
故选AC.
11．【正确答案】ACD
【详解】将20名学生本学期的用笔数量从小到大排列可得
，
排在第位的数为，排在第位的数为，
所以这名学生本学期的用笔数量的中位数为，A正确；
这名学生本学期的用笔数量的平均数为，B错误，
这名学生本学期的用笔数量的众数为，C正确；
这名学生本学期的用笔数量的方差为
，D正确；
故选ACD.
12．【正确答案】
【详解】∵，，∴，
由得，解得，解得.
13．【正确答案】
【详解】蚂蚱跳动4次后染上颜色的点数个数X的可能取值为，
表示蚂蚱在或者之间来回跳动，
则；
表示蚂蚱由向右最远跳到，
可以为“右右左左”，“右左右右”，“右右左右”共种，
由对称性知由向左最远跳到，也有种，
由向左最远跳到，最右跳到，可能为“左右右左”，“右左左右”有种，
故一共有种，
则；
表示蚂蚱跳动为“右右右左”，“左左左右”，“左右右右”，“右左左左”，共种，
则；
表示蚂蚱跳动为“右右右右”，“左左左左”，共种，
则；
则.
14．【正确答案】
【详解】由题意知，ABCD，CDEF都是正方形，
则，且，，
所以即为二面角的平面角，即.
因为，，设，
则，且，，
则
则，
，
则，当时，有最小值为.
所以，.
所以，线段MN长的最小值为.
15．【正确答案】（1）；列联表如下：
（2）依据小概率值的独立性检验，能认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异.
【详解】（1）由题意知：这40只小鼠体重增量的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排序后，第20位和第21位数据的平均值，第20位为23.2，第21位为23.6.
所以这组数据的中位数.
填写列联表如下：
（2）根据（1）中的列联表数据，结合给定公式，
可得,
根据小概率值的独立性检验：，
则.
所以依据小概率值的独立性检验，即能认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常体重的增加量有差异.
16．【正确答案】（1）见详解
（2）
【详解】（1）依题意得.
①当时，在上恒成立，所以在上单调递增；
②当时，令，得，令，得或，
所以在上单调递减，在和上单调递增.
所以当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在和上单调递增.
（2）当时，不等式恒成立，
即不等式在上恒成立，
当时，不等式显然成立，此时；
当时，即在上恒成立，
令，则，
令，则，
所以在上单调递增，注意到，
所以当时，，此时单调递减，
当时，，此时单调递增，
所以在时取到最小值为，
所以，所以，
综上，的取值范围为.
17．【正确答案】（1）；
（2）（ⅰ）或或或；
（ⅱ）见详解.
【详解】（1）由题意可得，解得，则，
所以椭圆的方程为.
（2）由（1）可知，，设直线，
联立，可得，
则，
设，则.
（ⅰ），
则，
整理可得即，解得或，则或，
所以，直线的方程为或或或.
（ⅱ）设点，则，，所以.
设以点为切点的切线方程为即，
联立，可得，
则，
整理得，
则，
因为点是椭圆上的点，所以，即，
则，
所以以点为切点的切线方程为.
同理可得，以点为切点的切线方程为.
联立两切线方程，消去，可得，整理得,
结合化简可得，
由题意，，故，代入直线方程，可得，
所以，则,其中，
故，，三点共线.
18．【正确答案】（1）见详解
（2）见详解
（3）
【详解】（1）连接，由是正方形可知,点为中点.
又为的中点，所以//
又平面平面
所以//平面
（2）由底面底面，所以，
由是正方形可知, ，所以BD⊥平面,
又平面，所以.
（3）在线段上存在点，使平面. 理由如下：
如图，取中点，连接.
在四棱锥中，，
所以. 由（2）可知，平面，平面
所以，平面平面，交线是
因为，所平面
由为中点，得

19．【正确答案】（1），的单调递减区间为
（2）
【详解】（1）解：函数的最小正周期；
令，，解得，．
即的单调递减区间为．
（2）当时，，
令，即，
画出上的图象如图，
因为在的值域为，
所以，
解得，即m的取值范围为．用笔数（支）
学生数
15.2
18.8
20.2
21.3
22.5
23.2
25.8
26.5
27.5
30.1
32.6
34.3
34.8
35.6
35.6
35.8
36.2
37.3
40.5
43.2
7.8
9.2
11.4
12.4
13.2
15.5
16.5
18.0
18.8
19.2
19.8
20.2
21.6
22.8
23.6
23.9
25.1
28.2
32.3
36.5
对照组
试验组
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
合计
对照组
6
14
20
试验组
14
6
20
合计
20
20
40
合计
对照组
6
14
20
试验组
14
6
20
合计
20
20
40