【中考数学】2025年山东省枣庄市中考适应性模拟试卷（含解析）

这是一份【中考数学】2025年山东省枣庄市中考适应性模拟试卷（含解析），共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）如图，数轴上表示﹣2的点是（ ）
A．MB．NC．PD．Q
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）我国“深蓝2号”大型智能深海养殖网箱的主体是一个正六棱柱，其示意图的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）好客山东以其宽厚仁德的人文情怀、风景秀丽的河海山川吸引了来自世界各地的朋友，据统计，山东省2024年全年接待游客超9亿人次．数据“9亿”用科学记数法表示为（ ）
A．9×107B．0.9×108C．9×108D．0.9×109
5．（3分）已知a≠0，则下列运算正确的是（ ）
A．﹣2a+3a＝5aB．（﹣2a3）2＝4a6
C．a2﹣a＝aD．a6÷a2＝a3
6．（3分）某班学生到山东省博物馆参加研学活动．博物馆为同学们准备了以镇馆之宝“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品．若抽到每一款的可能性相等，则甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是（ ）
A．19B．16C．13D．23
7．（3分）明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有x个，夜叉有y个，则根据条件所列方程组为（ ）
A．x+3y=368x+6y=108B．x+3y=366x+8y=108
C．3x+y=368x+6y=108D．3x+y=366x+8y=108
8．（3分）在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．如图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．πB．2πC．3πD．4π
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，A，C两点在坐标轴上，四边形OABC是面积为4的正方形．若函数y=kx（x＞0）的图象经过点B，则满足y≥2的x的取值范围为（ ）
A．0＜x≤2B．x≥2C．0＜x≤4D．x≥4
10．（3分）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y（厘米/天）和光照强度x（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（200≤x＜1000）内，y与x近似成一次函数关系；在中高光照强度范围（x≥1000）内，y与x近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（ ）
A．当x≥1000时，y随x的增大而减小
B．当x＝2000时，y有最大值
C．当y≥0.6时，x≥1000
D．当y＝0.4时，x＝600
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11．（3分）写出使分式12x−3有意义的x的一个值 ．
12．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（3，4）向下平移2个单位长度，得到的对应点P′的坐标是 ．
13．（3分）若关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ．
14．（3分）取直线y＝﹣x上一点A（x1，y1），①过点A1作x轴的垂线，交y=1x于点A（x2，y2）；②过点A2作y轴的垂线，交y＝﹣x于点A3（x3，y3）；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点A1的坐标为（1，﹣1），则点A2025的坐标是 ．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．点P为边AC上异于A的一点，以PA，PB为邻边作▱PAOB，则线段PQ的最小值是 ．
三、解答题：本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
16．（8分）（1）计算：|−13|×9+π0；
（2）先化简，再求值：（x2﹣1）（1x+1+1），其中x＝2．
17．（8分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，如图1．
（1）求∠ADC的度数；
（2）已知AB＝3，分别以C，D为圆心，以大于12CD的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点E，交AD的延长线于点F．如图2，求DF的长．
18．（8分）山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径．某地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型．
已知本次注水前蓄水池的水位高度为5米，注水时水位高度每小时上升6米．
（1）请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式；
（2）已知蓄水池的底面积为0.4万平方米，每立方米的水可供发电0.3千瓦时，求注水多长时间可供发电4.2万千瓦时？
19．（10分）在2025年全国科技活动周期间，某校科技小组对甲、乙两个水产养殖基地水体的pH值进行了检测，并对一天（24小时）内每小时的pH值进行了整理、描述及分析．
【收集数据】
甲基地水体的pH值数据：
7.27，7.28，7.34，7.35，7.36，7.51，7.53，7.67，7.67，7.67，7.67，7.81，7.81，7.88，7.91，8.01，8.02，8.03，8.07，8.16，8.17，8.23，8.26，8.26．
乙基地水体的pH值数据：
7.11，7.12，7.14，7.25，7.36，7.52，7.63，7.67，7.69，7.75，7.77，7.77，7.81，7.84，7.89，8.01，8.12，8.13，8.14，8.16，8.17，8.18，8.20，8.21．
【整理数据】
【描述数据】
【分析数据】
根据以上信息解决下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）填空：b＝ ，c＝ ；
（3）请判断甲、乙哪个基地水体的pH值更稳定，并说明理由；
（4）已知两基地对水体pH值的日变化量（pH值最大值与最小值的差）要求为0.5～1，分别判断并说明该日两基地的pH值是否符合要求．
20．（10分）如图，在△OAB中，点A在⊙O上，边OB交⊙O于点C，AD⊥OB于点D．AC是∠BAD的平分线．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，∠AOB＝45°，求CB的长．
21．（9分）【问题情境】
2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章．某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用3D打印完成，如图1．
【问题提出】
部件主视图如图2所示，由于1的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到l的长度的方案，以检测该部件中l的长度是否符合要求．
【方案设计】
兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法．
测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱（圆柱）．
操作步骤：如图3，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合．示意图如图4，⊙O分别与AC，AD相切于点B，D．用游标卡尺测量出CC′的长度y．
【问题解决】
已知∠CAD＝∠C′A′D′＝60°，l的长度要求是1.9cm∼2.1cm．
（1）求∠BAO的度数；
（2）已知钢柱的底面圆半径为1cm，现测得y＝7.52cm．根据以上信息，通过计算说明该部件l的长度是否符合要求．（参考数据：3≈1.73）
【结果反思】
（3）本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗？如果能，写出一个；如果不能，说明理由．
22．（11分）已知二次函数y＝x（x﹣a）+（x﹣a）（x﹣b）+x（x﹣b），其中a，b为两个不相等的实数．
（1）当a＝0、b＝3时，求此函数图象的对称轴；
（2）当b＝2a时，若该函数在0≤x≤1时，y随x的增大而减小；在3≤x≤4时，y随x的增大而增大，求a的取值范围；
（3）若点A（a，y1），B（a+b2，y2），C（b，y3）均在该函数的图象上，是否存在常数m，使得y1+my2+y3＝0？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
23．（11分）【图形感知】
如图1，在四边形ABCD中，已知∠BAD＝∠ABC＝∠BDC＝90°，AD＝2，AB＝4．
（1）求CD的长；
【探究发现】
老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究．
在线段CD上取一点E，连接BE．将四边形ABED沿BE翻折得到四边形A′BED′，其中A′，D′分别是A，D的对应点．
（2）其中甲、乙两位同学的折叠情况如下：
①甲：点D′恰好落在边BC上，延长A′D′交CD于点F，如图2．判断四边形DBA′F的形状，并说明理由；
②乙：点A′恰好落在边BC上，如图3．求DE的长；
（3）如图4，连接DD′交BE于点P，连接CP．当点E在线段CD上运动时，线段CP是否存在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由．
2025年山东省枣庄市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题目要求。
1．（3分）如图，数轴上表示﹣2的点是（ ）
A．MB．NC．PD．Q
【分析】根据数轴的定义即可得出答案．
【解答】解：数轴上表示﹣2的点是M．
故选：A．
【点评】本题考查了数轴，解题的关键是熟练掌握数轴的定义．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．
【解答】解：A、C、D中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A、C、D不符合题意；
B、图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故B符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查中心对称图形，轴对称图形，关键是掌握中心对称图形和轴对称图形的定义．
3．（3分）我国“深蓝2号”大型智能深海养殖网箱的主体是一个正六棱柱，其示意图的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看，是一行三个相邻的矩形．
故选：C．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，从正面看得到的视图是主视图．
4．（3分）好客山东以其宽厚仁德的人文情怀、风景秀丽的河海山川吸引了来自世界各地的朋友，据统计，山东省2024年全年接待游客超9亿人次．数据“9亿”用科学记数法表示为（ ）
A．9×107B．0.9×108C．9×108D．0.9×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：9亿＝900000000＝9×108．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．（3分）已知a≠0，则下列运算正确的是（ ）
A．﹣2a+3a＝5aB．（﹣2a3）2＝4a6
C．a2﹣a＝aD．a6÷a2＝a3
【分析】根据同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可．
【解答】解：A、﹣2a+3a＝a，故该项不正确，不符合题意；
B、（﹣2a3）2＝4a6，故该项正确，符合题意；
C、a2与a不是同类项，不能进行合并，故该项不正确，不符合题意；
D、a6÷a2＝a4，故该项不正确，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
6．（3分）某班学生到山东省博物馆参加研学活动．博物馆为同学们准备了以镇馆之宝“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品．若抽到每一款的可能性相等，则甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是（ ）
A．19B．16C．13D．23
【分析】列表得出共有9种等可能的结果，其中甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的结果有1种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把以镇馆之宝“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”为主题的三款文创产品分别记为A、B、C，
列表如下：
共有9种等可能的结果，其中甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的结果有1种，
∴甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是19，
故选：A．
【点评】此题考查的是用列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
7．（3分）明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有x个，夜叉有y个，则根据条件所列方程组为（ ）
A．x+3y=368x+6y=108B．x+3y=366x+8y=108
C．3x+y=368x+6y=108D．3x+y=366x+8y=108
【分析】根据有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手，列出二元一次方程组即可．
【解答】解：根据题意得：3x+y=366x+8y=108，
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8．（3分）在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．如图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．πB．2πC．3πD．4π
【分析】如图：连接AB、DC相交于O，由正方形的内切圆的半径是2，AC＝BC＝4，OA＝OB，再运用勾股定理可得AB=22，则OA=OB=12AB=2，最后根据圆的面积公式求解即可．
【解答】解：如图：连接AB、DC相交于O，
∵正方形的内切圆的半径是2，
∴AC＝BC＝4，OA＝OB，
∴AB=AC2+BC2=42+42=22，OA=OB=12AB=2，
∴图中阴影部分的面积是π⋅(22)2−π⋅22=4π，
故选：D．
【点评】本题主要考查了正方形的内切圆、外切圆、勾股定理等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，A，C两点在坐标轴上，四边形OABC是面积为4的正方形．若函数y=kx（x＞0）的图象经过点B，则满足y≥2的x的取值范围为（ ）
A．0＜x≤2B．x≥2C．0＜x≤4D．x≥4
【分析】由题意可设点B的坐标为（b，b），易得 b＝2，即点B的坐标为（2，2），再结合反比例函数图象即可解答．
【解答】解：∵四边形OABC是面积为4的正方形，设点B的坐标为（b，b），
∴b2＝4，解得：b＝2（已舍弃负值），
∴点B的坐标为 （2，2），
∵函数y=kx(x＞0)的图象经过点B，
满足y≥2的x的取值范围为0＜x≤2，
故选：A．
【点评】本题主要考查了正方形的性质、坐标与图形、反比例函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．
10．（3分）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y（厘米/天）和光照强度x（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（200≤x＜1000）内，y与x近似成一次函数关系；在中高光照强度范围（x≥1000）内，y与x近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（ ）
A．当x≥1000时，y随x的增大而减小
B．当x＝2000时，y有最大值
C．当y≥0.6时，x≥1000
D．当y＝0.4时，x＝600
【分析】结合图象可得可得抛物线的对称轴为直线x＝2000，可得函数的最值，进而可得y随x的变化情况以及给定y的值或者取值范围所对应的自变量及自变量的取值情况．
【解答】解：A、当x≥1000时，y随x的增大先增大，后减小，故A选项错误，不符合题意；
B、∵抛物线过点（1000，0.6），（3000.0.6），
∴抛物线的对称轴为：直线x=1000+30002=2000，
∵抛物线的开口向下，
∴x＝2000时，y有最大值，
故B选项正确，符合题意；
C、由图象可得：当y＝0.6时，x1＝1000，x2＝3000，
∴当y≥0.6时，1000≤x≤3000，
故C选项错误，不符合题意；
D、由图象可得当y＝0.4时，x对应的值有2个，故D选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的相关知识．采用数形结合的方法解决二次函数的相关问题是解决本题的主要方法．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11．（3分）写出使分式12x−3有意义的x的一个值 2（答案不唯一） ．
【分析】根据分式有意义的条件求得x的取值范围，然后写出一个符合题意的x的值即可．
【解答】解：若分式12x−3有意义，
则2x﹣3≠0，
那么x≠1.5，
因此x＝2，
故答案为：2（答案不唯一）．
【点评】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握其有意义的条件是解题的关键．
12．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（3，4）向下平移2个单位长度，得到的对应点P′的坐标是 （3，2） ．
【分析】根据平移时点的坐标变化规律进行计算即可．
【解答】解：由题知，
将点P（3，4）向下平移2个单位长度后，所得点P′的坐标是（3，2）．
故答案为：（3，2）．
【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键．
13．（3分）若关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 m＞﹣4 ．
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式Δ＞0，可列出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，
即Δ＝42+4m＞0，
解得m＞﹣4．
故答案为：m＞﹣4．
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
14．（3分）取直线y＝﹣x上一点A（x1，y1），①过点A1作x轴的垂线，交y=1x于点A（x2，y2）；②过点A2作y轴的垂线，交y＝﹣x于点A3（x3，y3）；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点A1的坐标为（1，﹣1），则点A2025的坐标是 （1，﹣1） ．
【分析】需要根据给定的操作步骤，依次求出前几个点的坐标，找出坐标变化的循环规律，再利用循环规律计算出A2025的坐标．涉及到一次函数y＝﹣x与反比例函数y=1x的交点求解，以及对循环周期的判断和应用．
【解答】解：已知A1（1，﹣1），过点A1作x轴的垂线，交y=1x于点A2，
∵作x轴垂线时，横坐标不变，
∴A2的横坐标x2＝1，
把x＝1代入y=1x，得y2=11=1，
∴A2（1，1）．
过点A2作y轴的垂线，交y＝﹣x于点A3，作y轴垂线时，纵坐标不变，
∴A3的纵坐标为y3＝1，
把y＝1代入y＝﹣x，得1＝﹣x，即x3＝﹣1，
∴x3＝﹣1，
∴A3（﹣1，1），
过点A3作y轴的垂线，交y=1x于点A4，
作x轴垂线时，横坐标不变，
∴A4的横坐标x4＝﹣1，
把x＝﹣1代入y=1x，得y4=1−1=−1，
∴A4（﹣1，﹣1），
过点A4作y轴的垂线，交y＝﹣x于点A5，
作y轴垂线时，纵坐标不变，
∴A5的纵坐标y5＝﹣1，
把y＝﹣1代入y＝﹣x，得﹣1＝﹣x，即x5＝1，
∴A5（1，﹣1），
∴观察可得，每4个点为一个循环周期，
∴2025÷4＝506…1，
∴A2025坐标与A1相同，
∴A2025的坐标为（1，﹣1），
故答案为：（1，﹣1）．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的性质，通过求函数交点来确定点的坐标，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．点P为边AC上异于A的一点，以PA，PB为邻边作▱PAOB，则线段PQ的最小值是 4.8 ．
【分析】过M作MN⊥AP于N，判定△AMN∽△ACB，推出MN：BC＝AM：AC，由勾股定理求出AC＝10，由平行四边形的性质推出AM=12AB＝3，PQ＝2PM，得到MN：8＝3：10，求出MN＝2.4，由PM≥MN，得到PQ≥2MN＝4.8，即可求出PQ的最小值．
【解答】解：如图，过M作MN⊥AP于N，
∴∠ANM＝∠ABC＝90°，
∵∠MAN＝∠CAB，
∴△AMN∽△ACB，
∴MN：BC＝AM：AC，
∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC=AB2+BC2=10，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AM=12AB＝3，PQ＝2PM，
∴MN：8＝3：10，
∴MN＝2.4，
∵PM≥MN，
∴PQ≥2MN＝4.8，
∴PQ的最小值是4.8．
故答案为：4.8．
【点评】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，垂线段最短，关键是由平行四边形的性质推出PQ＝2PM，判定△AMN∽△ACB，推出MN：BC＝AM：AC，由垂线段最短得到PM≥MN．
三、解答题：本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
16．（8分）（1）计算：|−13|×9+π0；
（2）先化简，再求值：（x2﹣1）（1x+1+1），其中x＝2．
【分析】（1）先算绝对值、算术平方根和零指数幂，再计算加法即可；
（2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x＝2代入进行计算即可．
【解答】解：（1）原式=13×3+1
＝1+1
＝2；
（2）原式＝（x+1）（x﹣1）（1x+1+x+1x+1）
＝（x+1）（x﹣1）•x+2x+1
＝（x﹣1）（x+2）
＝x2+x﹣2，
当x＝2时，
原式＝4+2﹣2＝4．
【点评】本题考查了实数的运算和分式的化简求值，熟知实数的运算法则和分式混合运算的法则是解题的关键．
17．（8分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，如图1．
（1）求∠ADC的度数；
（2）已知AB＝3，分别以C，D为圆心，以大于12CD的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点E，交AD的延长线于点F．如图2，求DF的长．
【分析】（1）根据三角形内角和定理即可求∠ADC的度数；
（2）连接CF，由作图过程可得MN是CD的垂直平分线，所以FC＝FD，证明△CDF是等边三角形，利用含30度角的直角三角形的性质即可求出DF．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∵∠BAC的平分线AD交BC于点D，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴∠ADC＝180°﹣30°﹣30°＝120°；
（2）由（1）知：∠ACD＝∠CAD＝30°，
∴AD＝CD，∠ADB＝60°，
∴∠CDF＝60°，
如图2，连接CF，
由作图过程可知：MN是CD的垂直平分线，
∴FC＝FD，
∴△CDF是等边三角形，
∴FC＝FD＝CD＝AD，
∵AB＝3，∠BAD＝30°，
∴AD=ABcs30°=332=23，
∴DF＝AD＝23．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
18．（8分）山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径．某地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型．
已知本次注水前蓄水池的水位高度为5米，注水时水位高度每小时上升6米．
（1）请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式；
（2）已知蓄水池的底面积为0.4万平方米，每立方米的水可供发电0.3千瓦时，求注水多长时间可供发电4.2万千瓦时？
【分析】（1）根据蓄水池的水位高度＝注水时水位每小时升高的高度×注水时间+本次注水前蓄水池的水位高度解答即可；
（2）根据y与x的函数关系式及圆柱的体积公式列关于x的一元一次方程并求解即可．
【解答】解：（1）y＝6x+5，
∴蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式为y＝6x+5．
（2）根据题意，得0.4（6x+5）×0.3＝4.2，
解得x＝5．
答：注水5小时可供发电4.2万千瓦时．
【点评】本题考查一次函数的应用、圆柱的体积，写出函数关系式、掌握圆柱的体积计算公式是解题的关键．
19．（10分）在2025年全国科技活动周期间，某校科技小组对甲、乙两个水产养殖基地水体的pH值进行了检测，并对一天（24小时）内每小时的pH值进行了整理、描述及分析．
【收集数据】
甲基地水体的pH值数据：
7.27，7.28，7.34，7.35，7.36，7.51，7.53，7.67，7.67，7.67，7.67，7.81，7.81，7.88，7.91，8.01，8.02，8.03，8.07，8.16，8.17，8.23，8.26，8.26．
乙基地水体的pH值数据：
7.11，7.12，7.14，7.25，7.36，7.52，7.63，7.67，7.69，7.75，7.77，7.77，7.81，7.84，7.89，8.01，8.12，8.13，8.14，8.16，8.17，8.18，8.20，8.21．
【整理数据】
【描述数据】
【分析数据】
根据以上信息解决下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）填空：b＝ 7.67 ，c＝ 7.79 ；
（3）请判断甲、乙哪个基地水体的pH值更稳定，并说明理由；
（4）已知两基地对水体pH值的日变化量（pH值最大值与最小值的差）要求为0.5～1，分别判断并说明该日两基地的pH值是否符合要求．
【分析】（1）用24分别减去其它四部分的频数，即可得出“7.90≤x＜8.20”的频数，进而补全频数分布直方图；
（2）根据中位数和众数的定义解答即可；
（3）根据方差的意义解答即可；
（4）根据极差的定义解答即可．
【解答】解：（1）由题意得：a＝24﹣4﹣2﹣9﹣2＝7，
补全频数分布直方图如下：
（2）在甲基地水体的pH值数据中7.67出现的次数最多，故众数b＝7.67；
把乙甲基地水体的pH值数据从小到大排列，排在中间的两个数分别是7.77，7.81，故中位数c=7.77+7.812=7.79，
故答案为：7.67，7.79；
（3）甲基地水体的pH值更稳定，理由：
因为甲基地水体的pH值的方差比乙基地水体的pH值的方差小，所以甲基地水体的pH值更稳定；
（4）甲基地水体的pH值的极差为：8.26﹣7.27＝0.99＜1，乙基地水体的pH值的极差为：8.21﹣7.11＝1.1＞1，
所以甲基地的pH值符合要求，乙基地的pH值不符合要求．
【点评】本题考查频数（率）分布直方图，频数（率）分布表，中位数、众数和极差，从统计图中有效的获取信息是解题的关键．
20．（10分）如图，在△OAB中，点A在⊙O上，边OB交⊙O于点C，AD⊥OB于点D．AC是∠BAD的平分线．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，∠AOB＝45°，求CB的长．
【分析】（1）由AD⊥OB于点D，得∠ADB＝90°，由∠DAC＝∠BAC，∠OAC＝∠OCA，且∠OAC＝∠OAD+∠DAC＝∠OAD+∠BAC，∠OCA＝∠B+∠BAC，得∠OAD+∠BAC＝∠B+∠BAC，则∠OAD＝∠B，所以∠OAB＝∠OAD+∠BAD＝∠B+∠BAD＝90°，即可证明AB为⊙O的切线；
（2）由∠OAB＝90°，∠AOB＝45°，得∠B＝∠AOB＝45°，则AB＝OA，因为⊙O的半径为2，所以AB＝OA＝OC＝2，求得OB=2OA＝22，则CB＝OB﹣OC＝22−2．
【解答】（1）证明：∵AD⊥OB于点D，
∴∠ADB＝90°，
∵AC是∠BAD的平分线，
∴∠DAC＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠OAC＝∠OAD+∠DAC＝∠OAD+∠BAC，∠OCA＝∠B+∠BAC，
∴∠OAD+∠BAC＝∠B+∠BAC，
∴∠OAD＝∠B，
∴∠OAB＝∠OAD+∠BAD＝∠B+∠BAD＝90°，
∵OA是⊙O的半径，且AB⊥OA，
∴AB为⊙O的切线．
（2）解：∵∠OAB＝90°，∠AOB＝45°，
∴∠B＝∠AOB＝45°，
∴AB＝OA，
∵⊙O的半径为2，
∴AB＝OA＝OC＝2，
∴OB=AB2+OA2=2OA＝22，
∴CB＝OB﹣OC＝22−2，
∴CB的长是22−2．
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、切的的判定、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出∠OAD＝∠B是解题的关键．
21．（9分）【问题情境】
2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章．某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用3D打印完成，如图1．
【问题提出】
部件主视图如图2所示，由于1的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到l的长度的方案，以检测该部件中l的长度是否符合要求．
【方案设计】
兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法．
测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱（圆柱）．
操作步骤：如图3，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合．示意图如图4，⊙O分别与AC，AD相切于点B，D．用游标卡尺测量出CC′的长度y．
【问题解决】
已知∠CAD＝∠C′A′D′＝60°，l的长度要求是1.9cm∼2.1cm．
（1）求∠BAO的度数；
（2）已知钢柱的底面圆半径为1cm，现测得y＝7.52cm．根据以上信息，通过计算说明该部件l的长度是否符合要求．（参考数据：3≈1.73）
【结果反思】
（3）本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗？如果能，写出一个；如果不能，说明理由．
【分析】（1）根据切线长定理求解即可；
（2）解直角三角形求得AB=OBtan30°=3，推出AC=BC+AB=1+3，据此求解即可；
（3）能，将圆柱换成正方体．
【解答】解：（1）∵⊙O分别与AC，AD相切于点B，D，
∴AB＝AD，∠OAB=∠OAD=12∠CAD=30°；
（2）∵钢柱的底面圆半径为1cm，
∴BC＝OB＝1，
∵∠OAB＝30°，∠OBA＝90°，
∴AB=OBtan30°=3，
∴AC=BC+AB=1+3，
同理A′C′=1+3，
∴l=7.52−2(1+3)≈2.06，
∵1.9＜2.06＜2.1，
该部件l的长度符合要求；
（3）能，将圆柱换成正方体．
【点评】本题考查了切线长定理，解直角三角形的应用，掌握解直角三角形是解题的关键．
22．（11分）已知二次函数y＝x（x﹣a）+（x﹣a）（x﹣b）+x（x﹣b），其中a，b为两个不相等的实数．
（1）当a＝0、b＝3时，求此函数图象的对称轴；
（2）当b＝2a时，若该函数在0≤x≤1时，y随x的增大而减小；在3≤x≤4时，y随x的增大而增大，求a的取值范围；
（3）若点A（a，y1），B（a+b2，y2），C（b，y3）均在该函数的图象上，是否存在常数m，使得y1+my2+y3＝0？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）将 a＝0、b＝3 代入y＝x（x﹣a）+（x﹣a）（x﹣b）+x（x﹣b） 化简，然后根据二次函数的性质即可解答；
（2）b＝2a代入y＝x（x﹣a）+（x﹣a）（x﹣b）+x（x﹣b）化简可得y＝3x2﹣6ax+2a2然后根据二次函数的性质即可解答；
（3）先求出y1，y2，y3然后代入y1+my2+y3＝0进行求解即可．
【解答】解：（1）当a＝0，b＝3 时，二次函数y＝x（x﹣a）+（x﹣a）（x﹣b）+x（x﹣b）可化为：y＝x（x﹣0）+（x﹣0）（x﹣3）+x（x﹣3）＝3x2﹣6x，
∴此函数图象的对称轴为直线x=−b2a=−−62×3=1；
（2）当 b＝2a时，二次函数y＝x（x﹣a）+（x﹣a）（x﹣b）+x（x﹣b）可化为：y＝x（x﹣a）+（x﹣a）（x﹣2a）+x（x﹣2a）＝3x2﹣6ax+2a2，
∴抛物线对称轴为直线x=−b2a=−−6a2×3=a，
∵3＞0，
∴抛物线开口方向向上，
∵在0≤x≤1时，y随x的增大而减小，
∴a≥1，
∵在3≤x≤4时，y随x的增大而增大，
∴a≤3，
∴1≤a≤3；
（3）若点A（a，y1），B（a+b2，y2），C（b，y3）均在该函数的图象上，
∴y＝a（a﹣a）+（a﹣a）（a﹣b）+a（a﹣b）＝a2﹣ab，
y＝x（x﹣a）+（x﹣a）（x﹣b）+x（x﹣b）＝3x2﹣2（a+b）x+ab，
∴y2=3(a+b2)2−2(a+b)(a+b2)+ab
=3×(a+b)24−(a+b)2+ab
=−(a+b)24+ab
=−14a2−ab2−14b2+ab
=−14a2+ab2−14b2
=−14(a2−2ab+b2)
=−14(a−b)2，
y3=b(b−a)+(b−a)(b−b)+b(b−b)=b2−ab；
∵y1+my2+y3＝0，
∴a2−ab+m[−14(a−b)2]+b2−ab=0，
整理得：(a−b)2[1−14m]=0，
∵a，b为两个不相等的实数，
∴a﹣b≠0，
∴1−14m=0，解得：m＝4．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质、因式分解的应用等知识点，灵活运用二次函数的性质成为解题的关键．
23．（11分）【图形感知】
如图1，在四边形ABCD中，已知∠BAD＝∠ABC＝∠BDC＝90°，AD＝2，AB＝4．
（1）求CD的长；
【探究发现】
老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究．
在线段CD上取一点E，连接BE．将四边形ABED沿BE翻折得到四边形A′BED′，其中A′，D′分别是A，D的对应点．
（2）其中甲、乙两位同学的折叠情况如下：
①甲：点D′恰好落在边BC上，延长A′D′交CD于点F，如图2．判断四边形DBA′F的形状，并说明理由；
②乙：点A′恰好落在边BC上，如图3．求DE的长；
（3）如图4，连接DD′交BE于点P，连接CP．当点E在线段CD上运动时，线段CP是否存在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由．
【分析】（1）利用勾股定理求得BD=22+42=25，再证明△ADB∽△DBC，利用相似三角形的性质求解即可；
（2）①由折叠的性质得∠A＝∠A'＝90°，∠ABD＝∠ABD，再证明∠ABD＝90°，根据有三个角是直角的四边形是矩形即可得解；
②延长AD和AD相交于点Q，连接BQ，证明四边形ABAQ是正方形，再证明△DQE∽△CBE，据此求解即可；
（3）先利用折叠的性质求得∠BPD＝90°，推出点P在以BD为直径的⊙O上，连接OC，OP，得到CP≤OC﹣OP，据此求解即可．
【解答】解：（1）∵∠BAD＝∠ABC＝∠BDC＝90°，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴△ADB∽△DBC，
∴ADBD=ABCD，
∵∠BAD＝90°，AD＝2，AB＝4，
∴BD=22+42=25，
∴225=4CD，
∴CD=45；
（2）①四边形DBA'F是矩形，理由如下，
由折叠的性质得∠A＝∠A'＝90°，∠ABD＝∠A'BD'，
∵∠ABD+∠DBC＝∠ABC＝90°，
∴∠A'BD＝∠A'BD'+∠DBC＝90°，
∴四边形DBA'F是矩形；
②延长AD和A'D'相交于点Q，连接BQ，
由折叠的性质得∠A＝∠A'＝90°，∠ABD＝∠A'BD'，∠EBD＝∠EBD'，
∵点A'恰好落在边BC上，
∴AB＝A'B＝4，∠ABA'＝90°，
∴四边形ABA'Q是矩形，
∵AB＝A'B＝4，
∴四边形ABA'Q是正方形，
∵∠ABE＝∠ABD+∠EBD＝∠A'BD'+∠EBD′＝∠ABE＝5×90°＝45°，
∴点E在对角线BQ上，
∴DQ＝AQ﹣AD＝2，BC=BD2+CD2=(25)2+(45)2=10，
∵四边形ABA'Q是正方形，
∴AQ∥CB，
∴△DQE∽△CBE，
∴DECE=DQBC=210=15，
∴DE=16CD=253；
（3）由折叠的性质得∠EBD＝∠EBD'，BD＝BD'，
∴BE是线段DD'的垂直平分线，
∴∠BPD＝90°，
∴点P在以BD为直径的⊙O上，连接OC，OP，
∴CP≤OC﹣OP，即点P在OC上时，线段CP存在最小值，
∵OC=OD2+CD2=(5)2+(45)2=85，
线段CP的最小值为85−5．
【点评】本题考查了翻折的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识点，难度较大，第三问判断点P在以BD为直径的⊙O上是解题的关键．
7.00≤x＜7.30
7.30≤x＜7.60
7.60≤x＜7.90
7.90≤x＜8.20
8.20≤x≤8.50
甲
2
5
7
7
3
乙
4
2
9
a
2
平均数
众数
中位数
方差
甲
7.79
b
7.81
0.10
乙
7.78
7.77
c
0.13
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
C
C．
B
A
D
D
A
B
A
B
C
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
7.00≤x＜7.30
7.30≤x＜7.60
7.60≤x＜7.90
7.90≤x＜8.20
8.20≤x≤8.50
甲
2
5
7
7
3
乙
4
2
9
a
2
平均数
众数
中位数
方差
甲
7.79
b
7.81
0.10
乙
7.78
7.77
c
0.13