数学-宁夏育才中学2026届高三上学期第一次月考试题及答案

这是一份数学-宁夏育才中学2026届高三上学期第一次月考试题及答案，共19页。试卷主要包含了若 f等内容，欢迎下载使用。
数 学 试 卷
（
试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将信息填写在答题卡上，并将条形码贴在答题卡指定位置．
2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草搞纸上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回，试卷保留．
一、单项选择题（每小题 5 分共计 40 分）
1
. 已知集合
，则
（
）
A.
B.
C.
D.
2
. 已知
角
的终边过点
，则 p 是 q 的（
）
A. 充分不必要条件
. 设
A.
B. 必要不充分条件
C. 充要条仵
D. 既不充分也不必要条件
3
，
，
，则
，
， 的大小关系是（ ）.
B.
C.
D.
4
. 设
是奇函数且满足
B. -1.2
，当
时，
C. 0.7
，则
（
）
A. -1.6
D. 0.84
5
. 设
，若
恒成立，则 k 的最小值为（
）
A. 9
B. 8
C. －1
D. －2
6
. 函数
的图象的大致形状是（
）
A.
B.
C.
D.
第 1页/共 4页

7
. 若随机变量
，则
的最小值为（
）
A. 4
B. 9
C. 18
D. 32
8
. 已知函数
，若
在
上单调递增，则实数
取值范围为（
）
A
B.
C.
D.
二、多选（每小题 6 共计 18 分）
9
. 下列说法正确的是（
）
A. 随机变量
，且
，则
B. 随机变量 服从两点分布，且
，则
C. 对
两个变量进行相关性检验，得到相关系数为
，对
两个变量进行相关性检验，得到相
关系数为
，则
与
负相关，
与
正相关，其中
与
的相关性更强
D. 残差平方和
越小，模型的拟合效果越差
1
0. 函数
的零点所在的区间是（
）
A.
B.
C.
D.
11. 已知函数
，则（
）
A.
C.
有一个零点
B.
的极小值为
是曲线
的对称中心为
D. 直线
的切线
三、填空题（每小题 5 分共计 15 分）
1
1
2. 已知多项式
，则
______．
3. 定义“伴随函数”：对于任意函数 f(x)，其伴随函数记为 f∗ (x)，且满足 f∗ (x)=f(x)+2f(−x)．若 f
(x)=2x+1，则 f∗ （2）的值为______．
1
_
4. 已知函数
，若
恒成立，其中
，则 的取值范围是
_________．
第 2页/共 4页

三、解答题（5 个小题共计 77 分）
1
5. 函数
，函数
的值；
是定义在 R 上的奇函数，且当
时，
．
（
（
1）求
和
2）求函数
在
时的解析式．
1
6. 已知函数
处取得极值.
（
（
1）求函数
的单调区间；
在区间
2）求函数
上的最大值与最小值.
1
7. 2025 年 4 月，中国新能源汽车零售渗透率突破
，进入“以电为主”的新阶段，充电桩的使用率也成
为关注焦点．经调查，某市今年
月份的充电桩日均使用时长 （时）与新能源汽车保有量 （万辆）
及充电桩日均使用率
月份
（
，为常数）的数据如下表所示：
1
8
5
2
13
7
3
4
5
6
新能源汽车保有量 （万辆）
充电桩日均使用时长 （时）
15
10
18
12
23
15
25
17
0
21
充电桩日均使用率
0.15
0.3 0.36 0.45 0.51
（
1）若用充电桩日均使用率近似估计一个充电桩一天内被使用的概率，设该市某个充电桩在 3 月份的某 3
天中被使用的天数为 ，求 的分布列；
（
（
2）求 关于 的样本相关系数，并说明线性相关程度的强弱；（精确到 0.01）
3）若 关于 的经验回归方程为 ，求 的值（精确到 0.1），并预测当该市某月的新能源汽车
保有量为 36 万辆时，充电桩的日均使用率为多少．
参考数据：
，
．
参考公式：相关系数
．
1
8. 某地区有 20000 名学生参加数学联赛（满分为 100 分），随机抽取 100 名学生的成绩，绘制了频率分布
第 3页/共 4页
公众号：高一高二高三试卷

直方图，如图所示．
（
（
1）根据频率分布直方图，求样本平均数 估计值；（同一组数据用该区间的中点值作代表）
2）根据频率分布直方图，求样本的
分位数（四舍五入精确到整数）；
（
3）若所有学生的成绩 X 近似服从正态分布
，其中 为样本平均数的估计值，
．试估计
成绩不低于 90 分的学生人数．
附：若随机变量 X 服从正态分布
，则
，
，
．
1
9. 已知函数
．
（
（
（
1）求曲线
2）求
在点
处的切线方程；
的单调区间；
3）证明：
．
第 4页/共 4页

宁夏育才中学 2026 届高三年级第一次月考
数 学 试 卷
（
试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将信息填写在答题卡上，并将条形码贴在答题卡指定位置．
2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草搞纸上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回，试卷保留．
一、单项选择题（每小题 5 分共计 40 分）
1
. 已知集合
，则
（
）
A.
B.
C.
D.
【
【
【
答案】A
解析】
分析】解一元二次不等式，根据并集运算得解.
【
详解】因为
，
所以
．
故选：A
2
. 已知
角
的终边过点
，则 p 是 q 的（
）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条仵
D. 既不充分也不必要条件
【
【
【
答案】A
解析】
分析】根据充分必要条件的定义判断．
【
详解】 的终边过点
时，
，充分性满足，
但当 的终边过点
时，也有
，必要性不满足，
因此为充分不必要条件．
故选：A．
第 1页/共 15页

3
. 设
，
，
，则
，
， 的大小关系是（ ）.
A.
【
【
【
B.
C.
D.
答案】B
解析】
分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的性质比较大小.
详解】依题意， ，所以
【
.
故选：B
. 设
A. -1.6
4
是奇函数且满足
B. -1.2
，当
时，
，则
（
）
C. 0.7
D. 0.84
【
【
【
答案】B
解析】
分析】根据给定条件，求出函数
详解】由 ，得
的周期，再结合周期性求出函数值.
【
，函数
的周期是 2，
又函数
奇函数，且当
时，
，
所以
.
故选：B
5
. 设
，若
恒成立，则 k 的最小值为（
）
A. 9
B. 8
C. －1
D. －2
【
【
答案】C
解析】
分析】用“1”的代换及基本不等式求得
【
的最小值为 9，解不等式
，求出 范围得最
，当且仅当
值.
【
详解】因为
时取等号，
所以
，解得
，
第 2页/共 15页

所以 的最小值为
.
故选：C.
6
. 函数
的图象的大致形状是（
）
A.
C.
B.
D.
【
【
【
答案】B
解析】
分析】根据函数的奇偶性及函数值的正负即可判断得出.
【
详解】由
，令
，则
，
所以
即
和
都是奇函数，得
，
为偶函数，图像关于 轴对称，所以 C，D 错误；
而
，再由当
时，
，
，
得
，
，所以 A 错误，B 正确.
故选：B.
7
. 若随机变量
，则
的最小值为（
）
A. 4
B. 9
C. 18
D. 32
【
【
答案】B
解析】
【
【
分析】由正态分布的对称性得到
详解】因为
，利用基本不等式“1”的代换求最值.
，所以
，
，
所以
，所以
第 3页/共 15页

所以
，
当且仅当
时取等号，又
，所以当且仅当
时取等号.
故选：B.
8
. 已知函数
，若
在
上单调递增，则实数
的取值范围为（
）
A.
B.
C.
D.
【
【
答案】A
解析】
【
分析】根据分段函数单调递增，得到不等式，求出
，并得到
，从而根据
得到
，从而求出
的取值范围.
【
详解】
上单调递增，故
，解得
，
，
因为
，所以
，
，
，
故
.
故选：A
二、多选（每小题 6 共计 18 分）
9
. 下列说法正确的是（
）
A. 随机变量
，且
，则
B 随机变量 服从两点分布，且
，则
C. 对
两个变量进行相关性检验，得到相关系数为
，对
两个变量进行相关性检验，得到相
关系数为
，则
与
负相关，
与
正相关，其中
与
的相关性更强
第 4页/共 15页

D. 残差平方和
越小，模型的拟合效果越差
【
【
【
答案】AB
解析】
分析】利用正态分布的概率分布曲线的对称性即可计算判断 A；运用两点分布的数学期望、方差的定义
与性质即可判断 B；利用两变量相关系数的意义即可判断 C；残差和以及模型的拟合效果的关系即可判断 D
．
【
则
详解】对于 A，由题意得，
，
，
，故 A 正确；
对于 B，因为两点分布的
，
所以
，
所以
，故 B 正确；
对于 C，因为
，且
，
所以 a 与 b 负相关，m 与 n 正相关，且 a 与 b 的相关性更强，故 C 错误；
对于 D，残差平方和
越小，模型的拟合效果越好，故 D 错误.
故选：AB．
1
0. 函数
的零点所在的区间是（
B.
）
A.
C.
D.
【
【
【
答案】AD
解析】
分析】利用导数探讨函数单调性，再利用零点存在性定理判断即得.
【
当
详解】函数
时，
的定义域为
时，
，求导得
，
，
；当
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
第 5页/共 15页

，
因此函数
的零点所在的区间是
和
.
故选：AD
11. 已知函数
，则（
）
A.
C.
有一个零点
B.
D. 直线
的极小值为
的对称中心为
是曲线
的切线
【
【
【
答案】ABD
解析】
分析】对于 A，由函数求导后，由导数的正负可求出函数的单调区间，再结合零点存在性定理分析判断，
，可判断 的图象关于
的对称中心，对于 D，利用导数的几何意义分析判断即可.
，得
，得
对于 B，由选项 A 的得到函数的单调区间分析判断，对于 C，令
原点对称，从而可判断出
【
令
详解】对于 A，由
，
，得
；令
或
，
则函数
且
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
所以当
故函数
时，
在
，当
上只有一个零点，故 A 正确；
的极小值为
时，
存在唯一零点，
对于 B，由选项 A 可知，函数
，故 B 正确；
对于 C，令
，定义域为 ，则
，
所以函数
象，
为奇函数，对称中心为
，将函数
图象向下平移 1 个长度单位，得函数
的图
所以
的对称中心为
，故 C 错误；
第 6页/共 15页

对于 D，由选项 A 知，
，令
，又
，
所以切线方程为
，即
在点
，
所以直线
是曲线
处
切线，故 D 正确，
故选：ABD
【
点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合问题，考查利用导数解决函数零点问题，考查导数解决函数极
问题，考查导数的几何意义，解题的关键是对函数求导，然后由导数的正负求出函数的单调区间，再分析
判断，考查计算能力，属于较难题.
三、填空题（每小题 5 分共计 15 分）
1
2. 已知多项式
，则
______．
【
【
答案】
解析】
【
【
分析】分别写出
与
的展开式通项，求出
即可.
详解】
展开式的通项
，
展开式的通项
，
所以
所以
，
，
，
.
故答案为：10.
3. 定义“伴随函数”：对于任意函数 f(x)，其伴随函数记为 f∗ (x)，且满足 f∗ (x)=f(x)+2f(−x)．若 f
(x)=2x+1，则 f∗ （2）的值为______．
1
【
【
答案】
解析】
【
【
分析】根据题意可得
详解】由题意
从而可求解.
，从而得
.
故答案为：
.
第 7页/共 15页

1
_
4. 已知函数
，若
恒成立，其中
，则 的取值范围是
_________．
【
【
【
答案】
解析】
分析】根据函数
的图像特征，然后根据
知道
的图像是
图像左移
个单位长
度，要使
恒成立，通过分析图像找到相切时的情况，从而确定 的取值范围.
图象如图所示，因为
图象即为函数 图象左移 个单位长度，
【
详解】易知函数
，
所以函数
当曲线
与直线
相切时，
令
，即
，
则
，解得：
恒成立时，由图像可知，
，
故
，
.
故答案为：
.
三、解答题（5 个小题共计 77 分）
1
5. 函数
，函数
的值；
是定义在 R 上的奇函数，且当
时，
．
（
（
【
1）求
和
2）求函数
在
时的解析式．
答案】（1）
，
；
（
【
2）当
时，
.
解析】
第 8页/共 15页

【
（
【
分析】（1）求出
时的函数
，结合奇函数性质求出函数值.
2）利用奇函数定义求出解析式.
小问 1 详解】
函数
，则当
时，
，
，
由函数
是定义在 R 上的奇函数，得
.
【
小问 2 详解】
由（1）知当
时，
，又函数
是定义在 R 上的奇函数，
所以当
时，
，
.
1
6. 已知函数
在
处取得极值.
（
（
1）求函数
的单调区间；
在区间
2）求函数
上的最大值与最小值.
【
（
答案】（1）单调递增区间为
，
，单调递减区间为
.
2）最大值为 2，最小值为
.
【
【
（
【
解析】
分析】（1）根据函数的极值点求出 a，再结合导数与函数单调性的关系，即可求得答案；
2）结合（1）判断函数的极值点，代入解析式求值，即得答案.
小问 1 详解】
由题意得
故
，由题意得
，定义域为 R，
得
，即
，解得
，
，
令
或
，令
得
，
故
在
，
上单调递增，在
符合题意，
，
上单调递减，
易知
所以
为极小值点，
单调递增区间为
，单调递减区间为
.
第 9页/共 15页

【
小问 2 详解】
由（1）知，
在
，
上单调递增，在
上单调递减，
1
0
+
0
-
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以
又
，
.
，
，
故
的最大值为 2，最小值为
.
1
7. 2025 年 4 月，中国新能源汽车零售渗透率突破
，进入“以电为主”的新阶段，充电桩的使用率也成
为关注焦点．经调查，某市今年
月份的充电桩日均使用时长 （时）与新能源汽车保有量 （万辆）
及充电桩日均使用率
月份
（
，为常数）的数据如下表所示：
1
8
5
2
13
7
3
4
5
6
新能源汽车保有量 （万辆）
充电桩日均使用时长 （时）
15
10
18
12
23
15
25
17
充电桩日均使用率
0.15 0.21 0.3 0.36 0.45 0.51
（
1）若用充电桩日均使用率近似估计一个充电桩一天内被使用的概率，设该市某个充电桩在 3 月份的某 3
天中被使用的天数为 ，求 的分布列；
（
（
2）求 关于 的样本相关系数，并说明线性相关程度的强弱；（精确到 0.01）
3）若 关于 的经验回归方程为 ，求 的值（精确到 0.1），并预测当该市某月的新能源汽车
保有量为 36 万辆时，充电桩的日均使用率为多少．
第 10页/共 15页

参考数据：
，
．
参考公式：相关系数
．
【
（
答案】（1）分布列见解析
2）0.99， 与 的线性相关程度较强．
（
【
【
3）
，0.72．
解析】
分析】（1）由题可知充电桩在 3 月份使用的概率为 0.3，故
，根据二项分布写出分布列即可；
（
2）根据题意先求
，利用相关系数公式
，代入数据求值与 1 比较
即可；
（
【
3）由
过回归方程可求 ，根据回归方程进行预测即可.
小问 1 详解】
由题可知 的所有可能取值为
则
，且
，
，
，
，
，
所以 的分布列为
0
1
2
3
0
.343 0.441 0.189 0.027
【
小问 2 详解】由题可知
，
，
第 11页/共 15页

则
，
因为 接近于 1，所以 与 的线性相关程度较强．
【
小问 3 详解】
由题可知
解得
，
，
所以 关于 的经验回归方程为
．
将
代入经验回归方程，得
，
又因为
，所以当
时，
，
故预测当该市某月的新能源汽车保有量为 36 万辆时，充电桩的日均使用率为 0.72．
8. 某地区有 20000 名学生参加数学联赛（满分为 100 分），随机抽取 100 名学生的成绩，绘制了频率分布
直方图，如图所示．
1
（
（
1）根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；（同一组数据用该区间的中点值作代表）
2）根据频率分布直方图，求样本的
分位数（四舍五入精确到整数）；
（
3）若所有学生的成绩 X 近似服从正态分布
，其中 为样本平均数的估计值，
．试估计
成绩不低于 90 分的学生人数．
附：若随机变量 X 服从正态分布
，则
，
，
．
【
答案】（1）62；
（2）71；
第 12页/共 15页

（
【
【
（
（
【
3）455.
解析】
分析】（1）利用频率分布直方图估计样本平均数，列式计算即得.
2）利用
分位数的意义，结合频率分布直方图求解.
3）由（1）的结论，利用正态分布的性质求出
，再估计人数.
小问 1 详解】
由频率分布直方图，得样本平均数的估计值：
，
所以样本平均数的估计值为 62.
【
小问 2 详解】
由频率分布直方图知，前 3 组的频率和为
所以样本的 分位数为
小问 3 详解】
，第 4 组的频率为 0.24，
.
【
由（1）知，样本平均数的估计值
，则
，
因此
,
.
所以成绩不低于 90 分的学生人数约为
1
9. 已知函数
．
（
（
（
1）求曲线
2）求
在点
处的切线方程；
的单调区间；
3）证明：
．
【
（
答案】（1）
2）单调递增区间为
，
，无单调递减区间
（
【
3）证明见解析
解析】
第 13页/共 15页

【
（
分析】（1）先求导，再求切线斜率和切点坐标，再写出切线方程.
2）由 得增区间，由 得减区间．
（
3）将函数解析式代入
得
，对
求导得单调区间，求出最小值，
得
【
的关系，最后判断在定义域内
是否都成立.
小问 1 详解】
，
，
故曲线
即曲线
在点
在点
处的切线方程为
，
处的切线方程为
．
【
设
小问 2 详解】
，
当
当
时，
时，
单调递减.
单调递增.
，
于是
故
，故
，
在
上单调递增.
的单调递增区间为
，
，无单调递减区间．
【
小问 3 详解】
设函数
.
当
当
时，
时，
单调递减.
单调递增.
第 14页/共 15页

于是
当
．对于
，有
，即
.
时，
，即
，此时
.
当
时，
，即
，此时
.
综上，
.
第 15页/共 15页